高频易错题目01

前言

有意识的整理总结高中数学中的易错变形和题目，有助于我们避开这些陷阱，减少失误。

集合与逻辑

已知集合(A={1，3，sqrt{m}})，(B={1，m})，(Acup B=A)，求(m)的值。

错解：由(Acup B=A)，可得(Bsubseteq A)，则(m=3)或(m=sqrt{m})，解得(m=3)或(m=0)或(m=1)。

分析：上述解方程的过程没有问题，但是本题目中(m)既是方程的未知数，同时是集合的元素，则其必然要受互异性的限制，

故我们接下来应该将(m)的值，逐一代入集合验证，可知(m=1)不符题意，故(m=3)或(m=0)。

设集合(A={0，-4})，(B={xmid x^2+2(a+1)x+a^2-1=0，xin R})，若(Acap B=B)，则实数(a)的取值范围是_________。

提示：由(Acap B=B)，得到(Bsubseteq A)；分类讨论如下：

当(B=varnothing)，(Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0)，解得(a<-1)；

当(B)为单元素集时，即(B={0})或(B={-4})，详述如下，

当(B={0})时，将(x=0)代入方程得到(a^2-1=0)，解得(a=1)或者(a=-1)，

接下来验证如下，当(a=1)时，(B={0，-4})，不符前提(B={0})，故舍去；再验证(a=-1)时，(B={0})，符合前提(B={0})；

当(B={-4})时，将(x=-4)代入方程得到(a^2-8a+7=0)，解得(a=-1)或者(a=-7)，

接下来验证如下，当(a=-7)时，(B={4，12})，不符前提(B={-4})，故舍去；再验证(a=-1)时，(B={0})，符合前提(B={-4})，故舍去；

即(B={0})时，(a=-1)符合题意；

当(B)为双元素集时，即(B={0，-4})时，由根与系数关系得到，

(left{egin{array}{l}{Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\{x_1x_2=a^2-1=0③}end{array} ight.)

最快的解法是口算②式，得到(a=1)，代入③式口算验证成立，再代入①式口算验证成立，故上述混合组的结果为(a=1).

综上所述，得到参数的取值范围是(ain(-infty，-1]cup {1}).

易错：不分类讨论或者不会分类讨论出错；

若集合(A={xmid (k+2)x^2+2kx+1=0})有且仅有两个子集 ，则实数(k)的取值为　【】

$A.2或-1$ $B.-2或-1$ $C.-2$ $D.pm 2或-1$

分析：由题目可知，集合(A)有且仅有两个子集，说明集合(A)应该为单元素集合，从而说明仿二次方程((k+2)x^2+2kx+1=0)，可能有一次方程和二次方程两种情形。

当(k=-2)时，原方程变形为一次方程(-4x+1=0)，仅有一个解，适合题意；

当(k eq -2)时，原方程要仅有一个解，则必须(Delta =0)，即((2k)^2-4cdot(k+2)cdot 1=0)，解得(k=2)或(k=-1)，满足题意，

综上所述，实数(k)的取值为(pm 2或-1)，故选(D)。

易错：不分类讨论或者不会分类讨论出错；

函数与导数

(2017郑州模拟)已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a)在(x=1)处取得极大值(10)，则(cfrac{a}{b})的值为____________.

分析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(egin{cases}f'(1)=0\f(1)=10end{cases})，

得到(egin{cases}3+2a+b=0\1+a+b-a^2-7a=10end{cases})，

解得(egin{cases}a=-2\b=1end{cases})，或(egin{cases}a=-6\b=9end{cases})，

当(a=-2，b=1)时，(f'(x)=(3x-1)(x-1))，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的变号零点，但是在(x=1)处取到极小值，不符舍去；

当(a=-6，b=9)时，(f'(x)=3(x-1)(x-3))，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的变号零点，且在(x=1)处能取到极大值。

故(cfrac{a}{b}=-cfrac{2}{3})。

反思总结：由方程组解出来的根(x=x_0)，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点(x_0)处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。

函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2)在(x=1)处有极值(10)，求(a，b)的值。

分析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(egin{cases}f'(1)=0\f(1)=10end{cases})，

得到(egin{cases}3+2a+b=0\a^2+a+b+1=10end{cases})，

解得(egin{cases}a=4\b=-11end{cases})，或(egin{cases}a=-3\b=3end{cases})，

注意到此需要检验，当(a=-3，b=3)时，(f'(x)=3(x-1)^2)，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的不变号零点，故在(x=1)处不能取到极值。

当(a=4，b=-11)时，(f'(x)=(3x+11)(x-1))，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的变号零点，故在(x=1)处能取到极值。

综上所述，(a=4，b=-11)。

已知函数(f(x)=cfrac{x-a}{2x-1})在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，求参数(a)的取值范围。

法1：导数法，由于函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，

故(f'(x)=cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}leq 0)在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上恒成立，

即(2a-1leq 0)恒成立，得到(aleq cfrac{1}{2})，

但是当(a=cfrac{1}{2})时

代入原函数得到(f(x)=cfrac{1}{2})，为常函数，

则要舍去，故(a<cfrac{1}{2})。

法2：图像法，将函数变形为(f(x)=cfrac{-a+cfrac{1}{2}}{2x-1}+cfrac{1}{2})，

即函数的对称中心是((cfrac{1}{2}，cfrac{1}{2}))，

如果要函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，

只需要(-a+cfrac{1}{2}>0)即可，故(a<cfrac{1}{2})。

函数(f(x)=cfrac{x-5}{x-a-2})在((-1，+infty))上单调递增，则(a)的取值范围是【】

$A.{3}$ $B.(-infty，+3)$ $C.(-infty，-3]$ $D.[-3，+infty)$

法1：图像法，将函数等价转化为(f(x)=cfrac{x-a-2+a-3}{x-a-2}=1+cfrac{a-3}{x-a-2})，

其对称中心是((a+2，1))，若需要函数(f(x))在((-1，+infty))上单调递增，需要满足(egin{cases}a-3<0\a+2leq -1end{cases})，

解得(aleq -3)，选C.

法2：导数法，求导得到(f'(x)=cfrac{3-a}{(x-a-2)^2})，

由于函数在((-1，+infty))上单调递增，

故(f'(x)=cfrac{3-a}{(x-a-2)^2}ge 0)在((-1，+infty))上恒成立，

故(3-age 0)，此时的解是错的，

原因是我们还不能保证函数在((-1，+infty))上连续，故还需要(a+2leq -1)，

故二者求交解得(aleq -3)。

不等式性质

【利用不等式性质求范围】已知函数(f(x)=ax^2+bx，1leq f(-1)leq 2，2leq f(1)leq 4)， 求(f(-2))的取值范围。

(color{Red}{法1:(错解)})，由(egin{cases}1leq f(-1)leq 2\2leq f(1)leq 4end{cases})得到，

(egin{cases}1leq a-b leq 2&①\2leq a+b leq 4&②end{cases})，

利用不等式的性质，将①②式相加减，

得到(cfrac{3}{2}leq a leq 3，0leq b leq cfrac{3}{2})，

所以(6 leq 4a leq 12，-3leq -2b leq 0)，所以(3 leq 4a-2b leq 12)，

故$ 3 leq f(-2)=4a-2b leq 12$

【错因分析】以上的解法打破了(a，b)取值的内在联系，它们的范围会发生变化，

如由(cfrac{3}{2}leq a leq 3)，(0leq b leq cfrac{3}{2})，

当我们取(a=cfrac{3}{2})，(b=cfrac{3}{2})时，

很明显(a-b=0，a-b otin [1，2])，

故只要解法中没有把(a-b)，(a+b)当成一个整体对待的都是有问题的解法。

【待定系数法】令(f(-2)=mf(-1)+nf(1))，

则由(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b)，又由已知可知(f(-2)=4a-2b)

所以由对应系数相等得到方程(egin{cases} m+n=4 \ m-n=2 end{cases})

解得(m=3，n=1)

又由于(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4，)

所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，

故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)。

【方程组法】由已知有(egin{cases} f(-1)=a-b \ f(\,\,\,\,1)=a+b end{cases})，

解得(egin{cases} a=cfrac{1}{2}cdot [f(-1)+f(1)] \ b=cfrac{1}{2}cdot [f(1)- f(-1)] end{cases})

所以(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1))，

又由于(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)，

所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，

故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，

即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)

【用线性规划分析错误原因】

解法1中得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})，

由此作图得到的是矩形EFGH，而由条件(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)得到的是矩形ABCD，

很显然两个矩形不一样，那么那个图形是对的？我们可以看到在(Delta ADH)内部的点，

由线性规划知识可知并不满足条件(1leq a-bleq 2)，(2leq a+bleq 4)，

因此得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})是错的，

显然扩大了单个(a、b)的取值范围。

正解分析：由线性规划可知，

当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(A(cfrac{3}{2}，cfrac{1}{2}))时，

(z=4x-2y)有最小值，且(z_{min}=4 imescfrac{3}{2}-2 imescfrac{1}{2}=5)；

当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(C(3，1))时，

(z=4x-2y)有最大值，且(z_{max}=4 imes3-2 imes1=10)；

【易错知识点】

1、函数(f(x)=cfrac{1}{x})的单调递减区间是((-infty，0)cup(0，+infty))，这是错的。

应该表述为单调递减区间是((-infty，0))和((0，+infty))；或者表述为单调递减区间是((-infty，0))，((0，+infty))。

错误原因：如我们写成单调减区间为((-infty，0)cup (0，+infty))，

当我们用定义验证时，当自变量(x_1， x_2)同时取在区间((-infty，0))或区间((0，+infty))时，

都满足单调递减的定义，但是若(x_1in (-infty，0))且$x_2in(0，+infty) $时，验证是错误的。

2、函数(f(x)ge g(x))恒成立，等价于(f(x)_{min}ge g(x)_{max})，这时错误的，

其典型的反例就是(f(x)=e^xge x+1=g(x))；很显然，函数(f(x))和函数(g(x))两个既没有最大值，也没有最小值。

3、不可能事件(A)的概率(P(A)=0)，概率为0的事件不一定是不可能事件。

比如，从区间([-5，5])内任取一个数，求取到1的概率。

分析：本题目的所有结果有无限个，又有等可能性，故是几何概型。其概率是(P(A)=cfrac{0}{10}=0)

所以说，比如上例中的事件的概率为0，但却是随机事件，不是不可能事件。

4、有关充要条件的易错题目，充要条件

5、函数(y＝f(x))的图象关于原点对称与函数(y＝f(x))与(y＝-f(-x))的图象关于原点对称一致。这个理解错误。

分析：函数(y＝f(x))的图象关于原点对称，说明函数(f(x))是自身关于原点对称，只是涉及一个图像，即函数(f(x))为中心对称图形；

而函数(y＝f(x))与(y＝-f(-x))的图象关于原点对称，是涉及两个函数图像，其中的每一个图像都不能称为中心对称图形，只能称为两个图像成中心对称；

故其二者的本质是不一致的。

【和事件的概率加法公式的使用条件】【2018凤翔中学高三文科课时作业】

抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字(1，2，3，4，5，6))，事件A表示“朝上一面的数字是奇数”，事件B表示“朝上一面的数字不超过2”，则(P(A+B))=__________.

分析：由题目容易知道，(P(A)=cfrac{3}{6})，(P(B)=cfrac{2}{6})，故(P(A+B)=P(A)+P(B)=cfrac{5}{6})。

其实这个解法是错误的。原因是事件(A，B)不是互斥的，因为如果点数是(1)，则事件(A，B)都发生了，

故彼此不互斥，此时不能使用(P(A+B)=P(A)+P(B))公式计算。

那么，该如何计算呢？

此时我们使用概率的一般加法法则：(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))，

在本题中，(P(A)=cfrac{3}{6})，(P(B)=cfrac{2}{6})，(P(AB)=cfrac{1}{6})，

故(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=cfrac{3}{6}+cfrac{2}{6}-cfrac{1}{6}=cfrac{4}{6}=cfrac{2}{3})。

解后反思：见到题目中的(P(A+B))，不要一味的只想到(P(A+B)=P(A)+P(B))，应该判断事件的关系在先，就像研究函数一样，定义域优先。

如果满足互斥，则使用公式(P(A+B)=P(A)+P(B))来计算；如果不满足互斥，则使用公式(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))来计算。

【求等比中项】【2018凤翔中学高三文科课时作业】

1、已知等比数列({a_n})中， (a_3=4)， (a_9=1)， 求(a_6=)？

分析：(a_6^2=a_3cdot a_9=4)，故(a_6=pm 2)。原因是(a_6=a_3cdot q^3)，(q^3)可取正负两种情形，故(a_6=pm 2)。

对照1-1、已知等比数列({a_n})中， (a_3=4)， (a_{11}=1)， 则(a_7=)？

分析：(a_7^2=a_3cdot a_{11}=4)，故(a_7=pm 2)。又由于(a_7=a_3cdot q^4)，(q^4)只能取正值一种情形，故(a_7=2)。

【坐标系与参数方程中求参数的值】【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】

第22题(2)，容易忽视(Delta >0)的隐含条件而出错。

【易错变形】【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】

• ((-4)^{frac{2}{4}} eq (-4)^{frac{1}{2}}=sqrt{-4})，此处(cfrac{2}{4} eq cfrac{1}{2})，当底数为负数时，分数指数幂不能随意约分。

• (log_2x^2 eq 2log_2x)，应该是(log_2x^2= 2log_2|x|)，注意条件(x>0)

【易错变形】【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上为减函数，则实数(a)的取值范围是【】

$A.[3，+infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令(g(x)=6-ax)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，由题目可知必有(a>0)，

故函数(g(x))单调递减，考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可，再考虑外函数必须是增函数，

故(a>1)，结合(g(2)>0)，解得(1<a<3)，故选(D)。

【2018凤翔中学高三文科冲刺模拟7第22题】【命题的真假判断】

①函数的最大值一定是函数的极大值。错，假命题。

分析：最大值可能在极大值处取到，也可能在端点处取到，而函数的极值不可能出现在端点处，一个点能否成为极值点，需要这一点的函数值和其小邻域内的其他函数值作比较，端点值不具备这一点，故端点值不能成为极值。

②函数的极大值可能会小于这个函数的极小值，正确，真命题。

分析：例如对勾函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})，函数的极小值为(f(1)=2)，而函数的极大值为(f(-1)=-2)。

③函数在某一区间上的极小值就是函数在这一区间上的最小值。错，假命题。

分析：最小值可能在极小值处取到，也可能在端点处取到，端点处的值不能算是极值。

④函数在开区间内不存在最大值和最小值。错，假命题。

分析：正例，(y=x)，(y=x^3)，(y=tanx)在开区间((-infty，+infty))上既没有最大值也没有最小值。

反例，(y=x^2)在开区间((-infty，+infty))上有最小值，但没有最大值。

⑤"(lambda=0)"是"(lambda vec{a}=vec{0})"的充分不必要条件。

分析：显然充分性成立，当(lambda vec{a}=vec{0})时，可能(lambda=0)或者(vec{a}=vec{0})，故必要性不成立，则命题是真命题；

⑥在(Delta ABC)中，"(AB^2+AC^2=BC^2)"是"(Delta ABC)为直角三角形"的充要条件。

分析：充分性成立，但是由直角三角形不一定能得出斜边一定为(BC)，故必要性不成立；故假命题；

⑦若(a，bin R)，则(a^2+b^2 eq 0)是(a，b)全不为零的充要条件。

分析：由(a^2+b^2 eq 0)，可以得到(a eq 0)或者(b eq 0)，即(a，b)不全为零，故充分性不成立，但必要性成立；故假命题；

⑧若(a，bin R)，则(a^2+b^2 eq 0)是(a，b)不全为零的充要条件。

分析：由上可知，充分性和必要性都成立，故真命题。

⑨不等式(ax^2+bx+cleq 0)在(R)上恒成立的条件是(a<0)且(Delta leq 0)。

分析：由于给定不等式是仿二次不等式，故当(a=b=0，cleq 0)时，不等式(ax^2+bx+cleq 0)在(R)上也是恒成立的。故假命题。

⑩二次不等式(ax^2+bx+cleq 0)在(R)上恒成立的条件是(a<0)且(Delta leq 0)。

分析：真命题。

【直线的平行和垂直】已知直线(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0)，直线(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0)，

则(l_1perp l_2Longleftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0)；注意其等价条件并不是(k_1k_2=-1)，因为其中不包括最特殊的垂直的情形(一条直线斜率为0,而另一条直线没有斜率)；

则(l_1// l_2Longleftrightarrow A_1B_2-A_2B_1=0)；注意其等价条件并不是(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2} eq cfrac{C_1}{C_2})；

例如，直线((m+3)x+my-2=0)和直线 (mx-6y+5=0)互相垂直，求(m)的值。

分析：由((m+3)m-6m=0)解得，(m=0)或(m=3)；

例如，直线(ax+y=1)和直线(9x+ay=1)互相平行，求(m)的值。

分析：由(a^2-9=0)解得，(a=-3)或(a=3)；

关于(x)的不等式(cfrac{ax-5}{x-a}<0)的解集是(M)，若(3in M)且(5 otin M)，求实数(a)的范围；

分析：(3in M)对应于(cfrac{3a-5}{3-a}<0)，

(5 otin M)对应与两种情形：不等式分母为零(5-a=0)和(cfrac{5a-5}{5-a}ge 0)，

故需要求解(left{egin{array}{l}{cfrac{3a-5}{3-a}<0}\{5-a=0}end{array} ight.①)和

(left{egin{array}{l}{cfrac{3a-5}{3-a}<0}\{cfrac{5a-5}{5-a}ge 0}end{array} ight.②)

解①得到(a=5)，

解②得到(left{egin{array}{l}{cfrac{5}{3}<a<3}\{1leq a<5}end{array} ight.)，

即(cfrac{5}{3}<a<3)

综上可知实数(a)的范围为(cfrac{5}{3}<a<3或a=5)。

【缺少检验出错】

已知幂函数(f(x)=x^{m^2-2m-3}(min N^*))的图像关于(y)轴对称，且在((0，+infty))上是减函数，则(m)的值是多少？

分析：由于幂函数(f(x))在((0，+infty))上是减函数，则(m^2-2m-3<0)，

解得(-1<m<3)，又(min N^*)，所以(m=1)或(m=2)。

又由于图像关于(y)轴对称，所以(m^2-2m-3<0)为偶数，

当(m=2)时(m^2-2m-3)为奇数，舍去(m=2)，

故(m=1)。

【存在单调递增区间】

若函数(f(x)=-cfrac{1}{3}x^3+ x^2+2ax)在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，则实数(a)的取值范围是__________.

法1：由于函数(f(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，

说明在此区间上，(f'(x)> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(f'(x)=-x^2+x+2a> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(2a> x^2-x=(x-cfrac{1}{2})^2-cfrac{1}{4}=g(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

而函数(g(x)_{min}=g(cfrac{2}{3})=-cfrac{2}{9})，

故(2a> -cfrac{2}{9})，即(a> -cfrac{1}{9})，

反思总结：本题目若转化为(f'(x)ge 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，则最后参数的值会多出(a=-cfrac{1}{9})，

若是(f'(x)ge 0)，则当(f'(cfrac{2}{3})=0)时，由于(f'(x)=-(x-cfrac{1}{2})^2+2a+cfrac{1}{4})在([cfrac{2}{3}，+infty))上单调递减，

则(f'(x)leq 0)，故此时必然不存在单调递增区间，故不符合题意，所以务必要注意转化的等价性。

解后反思： 函数(f(x))在区间([m，n])上为增函数，则(f'(x)ge 0)在区间([m，n])上恒成立，且函数(f'(x))不恒为零；函数(f(x))在区间([m，n])上存在单调递减区间，则(f'(x)<0)能成立，而不是(f'(x)leq 0)能成立；函数(f(x))在区间([m，n])上存在单调递增区间，则(f'(x)>0)能成立，而不是(f'(x)ge 0)能成立。

法2：由于函数(f(x))在([cfrac{2}{3}，+infty))上存在单调递增区间，

说明在此区间上，(f'(x)> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

即(f'(x)=-x^2+x+2a> 0)在([cfrac{2}{3}，+infty))上能成立，

(f′(x)=-x^2+x+2a=-(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4}+2a)，

当(xin [cfrac{2}{3}，+infty)) 时，(f′(x)_{max}=f′(cfrac{2}{3})=cfrac{2}{9}+2a)。

令(cfrac{2}{9}+2a>0)，

解得(a> -cfrac{1}{9})，所以(a)的取值范围是((-cfrac{1}{9}，+infty))。

【存在单调递增区间】【2016 福清市级校期末】已知函数(f(x)=lnx+(x-a)^2(ain R))在区间([cfrac{1}{2}，2])上存在单调递增区间，则实数(a)的取值范围是多少？

分析：函数(f(x)=lnx+(x-a)^2(ain R))在区间([cfrac{1}{2}，2])上存在单调递增区间，

则函数(f(x))在区间([cfrac{1}{2}，2])上存在子区间使得(f'(x)> 0)能成立，

(f'(x)=cfrac{1}{x}+2x-2a=cfrac{2x^2-2ax+1}{x}> 0)；

令(h(x)=2x^2-2ax+1) ，

法1：接上，要使(f'(x)> 0)能成立，则有(h(2)> 0) 或(h(cfrac{1}{2})> 0)，

解得(a< cfrac{9}{4})，故实数(a)的取值范围是((-infty，cfrac{9}{4}))。

法2：正难则反，要使(f'(x)leq 0)恒成立，则在区间([cfrac{1}{2}，2])上，(h(x)leq 0) ，

即(egin{cases}h(cfrac{1}{2})leq 0\h(2)leq 0end{cases})，解得(age cfrac{9}{4})，

故实数(a)的取值范围是((-infty，cfrac{9}{4}))。

• 函数(f(x))在区间([m，n])上为增函数，则(f'(x)ge 0)在区间([m，n])上恒成立，且函数(f'(x))不恒为零。

• 函数(f(x))在区间([m，n])上存在单调递减区间，则(f'(x)<0)能成立，而不是(f'(x)leq 0)能成立。

【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1)，函数(g(x)=f(x)+2x)，且(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，求实数(a)的取值范围；

分析：(g(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1+2x)，则(g'(x)=x^2-ax+2)，

由(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，得到，

(g'(x)=x^2-ax+2<0)在区间((-2，-1))上能成立，

分离参数得到，(a<x+cfrac{2}{x})在区间((-2，-1))上能成立，

而(left(x+cfrac{2}{x} ight)_{max}=-2sqrt{2})，当且仅当(x=cfrac{2}{x})，即(x=-sqrt{2})时取到等号，

故实数(a)的取值范围为((-infty，-2sqrt{2}))。

注意：存在单调递减区间，应该得到(f'(x)<0)能成立，而不是(f'(x)leq 0)能成立。

若(a=-2sqrt{2})，由(g'(x)=x^2+2sqrt{2}x+2=(x+sqrt{2})^2ge 0)恒成立，则函数(g(x))只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

【2019高三理科数学课时作业用题】

数列(a_n=f(n))单调递增，但函数(y=f(x))不一定单调递增，

但是若函数(y=f(x))单调递增，则其对应的数列(a_n=f(n))必然单调递增。

数列({a_n})单调递增的充要条件是(a_{n+1}>a_n)，而不是(f'(x)ge 0)恒成立。题目见等差数列的例5

求解析式

若函数(f(x)=cfrac{x}{ax+b}(a eq 0))，(f(2)=1)，又方程(f(x)=x)有唯一解，求(f(x))的解析式。

法1：从数的角度分析，由(f(2)=1)，得到(cfrac{2}{2a+b}=1)，即(2a+b=2)；

由(f(x)=x)，得到(cfrac{x}{ax+b}=x)，变形得到(x(cfrac{1}{ax+b}-1)=0)，

解此方程得到，(x=0)或(x=cfrac{1-b}{a})，又由于方程有唯一解，故(cfrac{1-b}{a}=0)，

解得(b=1)，代入(2a+b=2)得到(a=cfrac{1}{2})，

再将(x=0)代入方程(cfrac{x}{ax+b}=x)检验，发现此时要方程有意义，必须(b eq 0)，

故上述的解法可能丢失了(b=0)的情形，当(b=0)时，代入(2a+b=2)，得到(a=1)，

代入验证也满足题意，故(a=cfrac{1}{2})且(b=1)或者(a=1)且(b=0)

综上所述，(f(x)=cfrac{2x}{x+2})或者(f(x)=cfrac{x}{1cdot x+0}=1)。

法2：从形的角度分析，图形解释如下。

已知数列({lg(a_n+cfrac{1}{2})})为首项为(lg2)，公比为(2)的等比数列；

求数列({a_n})的通项公式；

分析：(lg(a_n+cfrac{1}{2})=lg2cdot 2^{n-1}=2^{n-1}cdot lg2)

[说明：(2^{n-1}cdot lg2 eq lg2^n=ncdot lg2)，极易出错，对数运算的级别要高于乘法运算，故先计算对数，再计算乘法]

即(lg(a_n+frac{1}{2})=2^{n-1}cdot lg2=lg2^{2^{n-1}})[极易出错]

则(a_n+frac{1}{2}=2^{2^{n-1}})，即(a_n=2^{2^{n-1}}-frac{1}{2}).

向量的夹角

若向量(vec{a})与(vec{b})的夹角( heta)为钝角，则应该是(-1<cos heta<0)，而不是我们所说的(cos heta<0)，错误原因(cos heta<0)中包含了( heta=pi)，此时是平角，而不是钝角；同理，若向量(vec{a})与(vec{b})的夹角( heta)为锐角，则应该是(0<cos heta<1)，而不是我们所说的(cos heta>0)，错误原因(cos heta>0)中包含了( heta=0)，此时不是锐角；

同时注意，实际操作中，我们利用(cos heta<0)且(cos heta eq -1)求解，要比求解(-1<cos heta<0)快捷的多，且不容易出错；