分析:由(f'(x)=2x)得,在点((a_k,a_k^2))处的切线方程为(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(kin N*)),
令(y=0),得到切线方程与(x)轴的交点的横坐标为(x=cfrac{a_k}{2}),
即(a_{k+1}=cfrac{a_k}{2}),即(cfrac{a_{k+1}}{a_k}=cfrac{1}{2}),
故数列({a_k})是首项为(a_1=16),公比为(cfrac{1}{2})的等比数列,
故(a_1+a_3+a_5=16+16cdot (cfrac{1}{2})^2+16cdot (cfrac{1}{2})^4=21)。
总结:1、求在点处的切线方程;2、等比数列
分析:由于(y=(2-x)x^n),则(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1});
则(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3));
故切线方程为(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3)),
令(x=0),得到切线与(y)轴的交点的纵坐标为(a_n=(n+2)3^n),
故(cfrac{a_n}{n+2}=3^n),为等比数列,
故数列({cfrac{a_n}{n+2}})的前(n)项和为(S_n=cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=cfrac{3^{n+1}-3}{2})。
提示:(T_n=2^{n+1}-2),仿上例完成。
分析:(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}),则(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n),
则(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)cdot 2^n)
又切点为((2,-2^n)),则切线方程为(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)),
令(x=0),得到切线与(y)轴交点的纵坐标(y=(n+1)2^n=a_n),
令(b_n=cfrac{a_n}{n+1}=2^n),数列(cfrac{a_n}{n+1})的前(n)项和为(T_n=2+2^2+2^3+cdots+2^n=cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2);
(1)、求数列({x_n})的通项公式。
分析:(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}),
则曲线(y=x^{2n+2}+1)在点((1,2))处的切线斜率为(2n+2),
从而切线方程为(y-2=(2n+2)(x-1)),令(y=0),
解得切线与(x)轴交点的横坐标(x_n=1-cfrac{1}{n+1}=cfrac{n}{n+1}),
所以数列({x_n})的通项公式为(x_n=cfrac{n}{n+1})。
(2)、记(T_n=x_1^2x_3^2cdots x_{2n-1}^2),证明:(T_nge cfrac{1}{4n})。
分析:由题设和(1)中的计算结果可知,
(T_n=x_1^2x_3^2cdots x_{2n-1}^2=(cfrac{1}{2})^2cdot (cfrac{3}{4})^2cdots (cfrac{2n-1}{2n})^2),
当(n=1)时,(T_1=cfrac{1}{4});
当(nge 2)时,由于(x_{2n-1}^2=(cfrac{2n-1}{2n})^2=cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2})
(>cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=cfrac{2n-2}{2n}=cfrac{n-1}{n});
则(x_1^2=(cfrac{1}{2})^2),
(x_3^2> cfrac{1}{2})
(x_5^2> cfrac{2}{3})
(cdots),
(x_{2n-3}^2> cfrac{n-2}{n-1})
(x_{2n-1}^2> cfrac{n-1}{n})
所以,(T_n>(cfrac{1}{2})^2 imes cfrac{1}{2} imes cfrac{2}{3} imes cdots imes cfrac{n-2}{n-1} imescfrac{n-1}{n}=cfrac{1}{4n});
综上可知,对任意的(nin N^*),均有(T_nge cfrac{1}{4n})。
分析:(y'=(n+1)x^n),则曲线在点((1,1))处的切线的斜率为(k=n+1),
则切线方程为(y-1=(n+1)(x-1)),
令(y=0),得到(x_n=cfrac{n}{n+1}),
则(a_n=lgx_n=lgcfrac{n}{n+1})
所以(a_1+a_2+cdots+a_{99}=lg(cfrac{1}{2} imes cfrac{2}{3} imescfrac{3}{4} imescdots imescfrac{99}{100}))
(=lg cfrac{1}{100}=-2)。
分析:将原函数拆分为两部分,令(f(x)=xcdot g(x)),(g(x)=)((x-a_1))((x-a_2))$cdots $$(x-a_7)$,
则(f'(x)=g(x)+xcdot g'(x)),则(f'(0)=g(0)+0cdot g'(0)=g(0)),
(g(0)=)((0-a_1))((0-a_2))$cdots $$(0-a_7)=-a_1cdot a_2cdots a_7=-a_4^7$①,
又由于各项均为正数的等比数列({a_n}),(a_3cdot a_5=2),则(a_4^2=2),(a_4=sqrt{2}),
代入①式,得到(f'(0)=g(0)=-8sqrt{2}),故选(B)。
分析:由于(y'=cfrac{1-a-lnx}{x^2}),则(f'(1)=1-a),
则切线方程为(y-a=(1-a)(x-1));
令(x=0)得到(y=2a-1),令(y=0)得到(x=cfrac{1-2a}{1-a}),
所以面积(S=cfrac{1}{2}|x|cdot |y|=cfrac{1}{2}cdot cfrac{|2a-1|^2}{|1-a|}=cfrac{1}{2})
解得(a=0)或(a=cfrac{3}{4}) .