三角函数教学随想

前言

• 三角函数思维导图；

框架梳理

使用以下的问题线索，目的是将三角函数的基础知识穿线结网，便于我们的学习。

• 1、为什么要扩展角的范围？

初中我们对角的认知范围是([0^{circ}，360^{circ}])，随着对实际生活和自然世界的认知逐步深入，越来越需要扩展角的范围。比如拧螺丝。

• 2、怎么扩展角的范围？

改变角的定义方式，静态的(Longrightarrow)动态的；

初中的静态的角的定义：由有公共端点的两条射线形成的图形就称为角。

高中的动态的角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。旋转时自然会涉及到方向和大小。

由旋转方向的不同自然形成正角，负角，零角；由旋转大小就会将角的范围扩展到((-infty，+infty))。

• 3、与( heta)角的终边相同的角的集合的表达形式

应用：借助这个表达，来刻画象限角和象限界角，
①当角的终边旋转时，自然会出现与( heta)角的终边相同的情形，这样自然就表达了轴线角；

由于与(30^{circ})或(-330{circ})或者(690^{circ})角的终边相同的角的集合【角的终边落在射线上】：

({etamid eta=kcdot 360^{circ}+30^{circ}}(kin Z))。

依照这样的做法，很容易得到以下结论：

[终边落在(x)轴的正半轴上]：(alpha=2kpi+0(kin Z))，也称轴线角或象限界角。

[终边落在(x)轴的负半轴上]：(alpha=2kpi+pi(kin Z))，也称轴线角或象限界角。

[终边落在(y)轴的正半轴上]：(alpha=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，也称轴线角或象限界角。

[终边落在(y)轴的负半轴上]：(alpha=2kpi+cfrac{3pi}{2}(kin Z))，也称轴线角或象限界角。

以及以下的相关结论：

若角(alpha)与(eta)的终边关于(x)轴对称，则角(eta)与角(-alpha)的终边相同，则有(alpha+eta=2kcdot 180^{circ}，kin Z)；

若角(alpha)与(eta)的终边关于(y)轴对称，则角(eta)与角(pi-alpha)的终边相同，则有(alpha+eta=(2k+1)cdot 180^{circ}，kin Z)；

②当角的终边旋转时，自然会出现终边落在与( heta)角的终边所在的直线的情形，

那么【角的终边落在直线上】：

[终边落在(x)轴上]：(alpha=kpi+0(kin Z))

[终边落在(y)轴上]：(alpha=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))

[终边落在直线(y=x)上]：(alpha=kpi+cfrac{pi}{4}(kin Z))

[终边落在直线(y=-x)上]：(alpha=kpi+cfrac{3pi}{4}(kin Z))

③当角的终边落在某个范围内时，如何表达【扇形】：

[第Ⅰ象限角]：(2kpi+0< heta<2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))；

[第Ⅱ象限角]：(2kpi+cfrac{pi}{2}< heta<2kpi+pi(kin Z))；

[第Ⅲ象限角]：(2kpi+pi< heta<2kpi+cfrac{3pi}{2}(kin Z))；

[第Ⅳ象限角]：(2kpi+cfrac{3pi}{2}< heta<2kpi+2pi(kin Z))；

④当角的终边落在某个对顶范围内时，如何表达【对顶扇形】：

[第Ⅰ象限后半段和第Ⅲ象限后半段]：(kpi+cfrac{pi}{4}< heta<kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))；

• 4、为什么引入弧度制？

为了表达的需要和后续三角函数的自变量的刻画方便，(xin R)

(sin[60^{circ}]xlongequal[一一对应]{角度角与弧度角}sin[cfrac{pi}{3}]xlongequal[一一对应]{弧度角与实数}sin[1.0471975])

这样，我们就能很容易理解(cos(sin heta)>0)了，

原因是：( hetain R)，则(sin hetain [-1，1])，其实在(xin (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))内，都有(cosx>0)，

故(cos(sin heta)>0)。

• 5、三角函数的定义的变化

初中：直角三角形中，用边的比值定义，比如(sinalpha=cfrac{对边}{斜边})等；

高中：由于角的范围的变化，不能这样定义，得引入新的定义方式；

但是她还得能包含原来的定义，不能和原来的定义发生冲突。

我们是用终边上任意一点(P)（不能是坐标原点）的坐标(P(x,y))与(|OP|=r)的比值定义。

这一点(P)可以是角的终边与单位圆的交点，也可以不是。

具体定义如下：(sin heta=y/r，cos heta=x/r， an heta=y/x)。

引例：若角( heta)的终边过点(P(-4a，3a)(a eq 0))，求(sin heta)，(cos heta)，(tan heta)；

分析：由于角( heta)的终边过点(P(-4a，3a)(a eq 0))，则(x=-4a)，(y=3a)，(r=5|a|)；

当(a>0)时，(r=5a)，(sin heta=cfrac{3a}{5a}=cfrac{3}{5})，(cos heta=-cfrac{4}{5})，(tan heta=-cfrac{3}{4})；

当(a<0)时，(r=-5a)，(sin heta=cfrac{3a}{-5a}=-cfrac{3}{5})，(cos heta=cfrac{4}{5})，(tan heta=-cfrac{3}{4})；

• 6、单位圆中的扇形对应到数轴上，([2kpi，2kpi+cfrac{pi}{2}](kin Z))

• 7、三角函数线

教材中基本没有涉及，可以给学生用课件展示。 为什么引入？怎么引入？

在单位圆中，(r=1)，(sin heta=y/r=y)，而(|y|=|MP|),若把线段(MP)看成有向线段，则(y=MP)，所以(sin heta=MP)(数(Longrightarrow)形)

由三角函数线可以得到以下常用结论：

①(sin heta)、(cos heta)、(tan heta)的正负和函数值的变化情况；

②在((0，cfrac{pi}{4}))上，(sin heta<cos heta)；在((cfrac{pi}{4}，cfrac{5pi}{4}))上，(sin heta>cos heta)；

③

• 8、三角函数线的作用：解三角不等式，做三角函数图像。

同角三角函数关系和诱导公式的感悟

同角三角函数基本关系：(sin^2(2 heta+cfrac{pi}{3})+cos^2(2 heta+cfrac{pi}{3})=1)，

由关系式((sinxpm cosx)=1pm 2insxcosx)，在(sinx+cosx)，(sinx-cosx)和(sinxcdot cosx)中实现知一求二，运用方程思想。

• 化简(cfrac{sin(kpi+alpha)cdot cos(2kpi+alpha)}{sin(2kpi+alpha)cdot cos(kpi-alpha)}(kin Z))；

分析：碰到(kpi+alpha)的形式，则角的终边在两个象限内，故需要分类讨论：

当(k=2n(nin N))时，原式=(cfrac{sinalphacdot cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}=1)

当(k=2n+1(nin N))时，原式=(cfrac{sin(pi+alpha)cdot cosalpha}{sinalphacdot cos(pi-alpha)}=cfrac{-sinalphacdot cosalpha}{sinalphacdot(- cosalpha)}=1)

典例剖析

例1【使用三角函数的定义，给值求角类型】已知(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5})，若点(A(1，3))是锐角(alpha)终边上的一点，则(alpha-eta)=_____.

分析：(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5}=-cfrac{1}{sqrt{5}}=cfrac{x}{r})，结合三角函数的定义可知(eta)的终边上某点的坐标为((-1，2))，(r=sqrt{5})，则(sineta=cfrac{2}{sqrt{5}})；

锐角(alpha)终边上的一点(A(1，3))，则(r=sqrt{10})，(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}})，(cosalpha=cfrac{1}{sqrt{10}})，

由于(sin(alpha-eta)=sinalpha coseta-cosalpha sineta=cdots=-cfrac{sqrt{2}}{2})，

又(coseta=-cfrac{1}{sqrt{5}}>-cfrac{sqrt{2}}{2}=coscfrac{3pi}{4})，可以将范围压缩为(etain (cfrac{pi}{2}，cfrac{3pi}{4}))，

又(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}}>cfrac{sqrt{2}}{2}=sincfrac{pi}{4})，可以将范围压缩为(alphain (cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}))，

故由不等式性质得到(alpha-etain (-cfrac{pi}{2}，0))，故(alpha-eta=-cfrac{pi}{4})。

有时间补充，诱导公式的推导证明和记忆方法整理。

例1【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第11题】已知角(alpha)的顶点为坐标原点，始边与(x)轴的非负半轴重合，终边上有两点(A(1，a))，(B(2，b))，且(cos2alpha=cfrac{2}{3})，则(|a-b|=) 【】

$A.cfrac{1}{5}$ $B.cfrac{sqrt{5}}{5}$ $C.cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $D.1$

分析：自行做出示意图，由选项可知，可以将角的终边放置在第一象限，这样(b>a)，

从而所求(|a-b|=cfrac{|a-b|}{1}=cfrac{b-a}{1}=tanalpha)，

到此题目转化为已知(cos2alpha=cfrac{2}{3})，求(tanalpha)的值，

即已知(cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha+sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=cfrac{2}{3})，

从而解得(tan^2alpha=cfrac{1}{5})，则(tanalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，故选(B)。