判断三角形形状

前言

判断依据

主要是正、余弦定理的角的形式或者边的形式，其次还可能用到诱导公式，两角和与差的公式和二倍角公式等，

变形思路

①角化边，利用(sinA=cfrac{a}{2R})等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配方等，解代数方程得到边的相应关系，从而判断形状；

②边化角，利用(a=2RsinA)等，转化为只有角的形式，然后通过三角恒等变换，解三角方程得到，得到内角的关系，从而判断形状；此时要注意约分时(sinA eq 0)恒成立，约掉(cosA)时要注意分类讨论。

注意：由(sinAcosB=sinA)，只能得到(cosB=1)，从而得到(B=cfrac{pi}{2})，即直角三角形；

由(cosAsinB=cosAsinC)，应该得到(cosA=0)或(sinB=sinC)，从而得到(A=cfrac{pi}{2})或(B=C)，即直角三角形或等腰三角形；

重要结论

(sinA=sinBRightarrow A=B)，等腰三角形；(sin2A=sin2BRightarrow A=B)或(A+B=cfrac{pi}{2})，等腰或直角三角形；

(cosA=cosBRightarrow A=B)，等腰三角形；(cos2A=cos2BRightarrow A=B)，等腰三角形

(sin(A-B)=0Rightarrow A=B)，等腰三角形；(cos(A-B)=1Rightarrow A=B)，等腰三角形

相关拓展

• 三角形内角和定理

(A+B+C=pi)，(cfrac{A+B}{2}=cfrac{pi}{2}-cfrac{C}{2})

• 三角形中的三角函数关系

(sin(A+B)=sinC)，(cos(A+B)=-cosC)，(sincfrac{A+B}{2}=coscfrac{C}{2})，(coscfrac{A+B}{2}=sincfrac{C}{2})，

• 三角形中的射影定理

(a=bcdot cosC+ccdot cosB)，(b=acdot cosC+ccdot cosA)，(c=bcdot cosA+acdot cosB)，

典例剖析

例1设(Delta ABC)的内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，若(bcosC+ccosB=asinA)，则(Delta ABC)的形状为【】

$A.锐角三角形$ $B.直角三角形$ $C.钝角三角形$ $D.不确定$

分析：用正弦定理的边的形式，边化角，

得到(sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA)，即(sin(B+C)=sinA=sinAsinA)，

由于(sinA eq 0)，故(sinA=1)，故(A=cfrac{pi}{2})，故为直角三角形。

反思总结：1、不是所有的题目都即可以角化边，也可以边化角。比如本题目如果角化边，得到(bcdot cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+ccdot cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=acdot cfrac{a}{2R})，接下来(R)没办法处理，思路陷入僵局。

2、角化边是应该是(sinA=cfrac{a}{2R})，而不是(sinA=a)，我们碰到的题目大多能左右约掉(2R)，但不是所有都可以约掉。

例2上例中的条件变为:若(2sinAcosB=sinC),则(Delta ABC)的形状为【】

$A.直角三角形$ $B.等腰三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等边三角形$

分析：由条件(2sinAcosB=sinC)得到，(2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)，

整理得到(sinAcosB-cosAsinB=0)，即(sin(A-B)=0)，

故(A=B)，即为等腰三角形。

法2：角化边，(2cfrac{a}{2R}cdot cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{c}{2R})，变形整理得到，

(a^2+c^2-b^2=c^2)，即(a^2=b^2)，则(a=b)，故为等腰三角形。

例3上例中的条件变为：若(acosA=bcosB)，则(Delta ABC)的形状为【】

$A.直角三角形$ $B.等腰三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等腰或直角三角形$

法1：边化角，得到(sinAcosA=sinBcosB)，即(sin2A=sin2B)，

故(2A=2B)或(2A+2B=pi)，

故(A=B)或(A+B=cfrac{pi}{2})，则为等腰或直角三角形。

法2：角化边，(acdot cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=bcdot cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac})，

两边同乘以(ab)，得到(a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(a^2+c^2-b^2))，

变形整理得到((a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0)，

故(a^2=b^2)或(a^2+b^2=c^2)，

即所求三角形为等腰或直角三角形。

例4上例中的条件变为：若(2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC)，且(sinB+sinC=1)，试判断(Delta ABC)的形状。

分析：角化边，得到(2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c)，

即(a^2=b^2+c^2+bc)，即(b^2+c^2-a^2=-bc)；

故(cosA=cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-cfrac{1}{2})，则(A=cfrac{2pi}{3})，且有(sinA=cfrac{sqrt{3}}{2})。

再将(a^2=b^2+c^2+bc)边化角，得到(sin^2A=sin^2B+sin^2C+sinBsinC)

(sinA=cfrac{sqrt{3}}{2})代入上式得到(cfrac{3}{4}=(sinB+sinC)^2-sinBsinC)，

得到(sinBsinC=cfrac{1}{4})，又由(sinB+sinC=1)
解得(sinB=sinC=cfrac{1}{2})，由(B、Cin (0，cfrac{pi}{3}))，

故可得(B=C=cfrac{pi}{6})，综上可得(Delta ABC)的形状为等腰钝角三角形。

反思总结：本题目若从边化角入手，会变得比较复杂。

例5在(Delta ABC)中，若(sin^2A+sin^2B < sin^2C)，则(Delta ABC)的形状为【】

$A.锐角三角形$ $B.直角三角形$ $C.钝角三角形$ $D.不确定$

分析：角化边，得到(a^2+b^2<c^2)，故选C。

例6设(a，b，c) 为三角形$ ABC$ 的三边，(a≠1)，(b<c)，若 (log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}acdot log_{c-b}a)，则三角形(ABC) 的形状为______三角形。

分析：本题目主要考查对数的变形， 由(log_{c+b}a+log_{c-b}a=2log_{c+b}acdot log_{c-b}a)，

得到(cfrac{1}{log_a(c+b)}+cfrac{1}{log_a(c-b)}=2cfrac{1}{log_a(c+b)} imescfrac{1}{log_a(c-b)})，

两边同乘以(log_a(c+b)cdot log_a(c-b))，

去分母得到(log_a(c+b)+log_a(c-b)=2)，即(log_a(c^2-b^2)=2)，

则有(a^2=c^2-b^2)，即(a^2+b^2=c^2)，

三角形(ABC) 的形状为(underline{直角})三角形。

例7【2017•潍坊模拟】在(Delta ABC)中，(cos^2cfrac{B}{2}=cfrac{a+c}{2c})，(a，b，c)分别为角(A，B，C)的对边，则(Delta ABC)的形状为【】

$A.等边三角形$ $B.直角三角形$ $C.等腰或直角三角形$ $D.等腰直角三角形$

分析：(cos^2cfrac{B}{2}=cfrac{1+cosB}{2})，又已知(cos^2cfrac{B}{2}=cfrac{a+c}{2c})，

则(cfrac{1+cosB}{2}=cfrac{a+c}{2c})，化简得到(c(1+cosB)=a+c)，

变形得到(cosB=cfrac{a}{c})，即(cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{a}{c})，即(a^2+c^2-b^2=2a^2)；

即(a^2+b^2=c^2)，故三角形(ABC) 的形状为(underline{直角})三角形。选B。

例8【2019届高三理科数学资料用题】在(Delta ABC)中，其内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，若(cfrac{c}{b}<cosA)，则(Delta ABC)的形状为【】

$A.钝角三角形$ $B.直角三角形$ $C.锐角三角形$ $D.等边三角形$

法1：角化边，(cfrac{c}{b}<cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc})，

即(b^2+c^2-a^2<2c^2)，即(a^2+c^2-b^2<0)，

故(cosB=cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}<0)，故故是钝角三角形，选(A)。

法2：边化角，由(cfrac{c}{b}<cosA)，得到(cfrac{sinC}{sinB}<cosA)，

即(sinC<cosAsinB)，即(sin(A+B)<cosAsinB)，打开整理为

(sinAcosB<0)，由于(sinA>0)，则(cosB<0)，故是钝角三角形，选(A)。

例9【2019届高三理科数学资料用题】在(Delta ABC)中，角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，且(2acdot sinA=(2b-c)sinB+(2C-B)sinC)，

(1)求角(A)的大小；

分析：由于(2acdot sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC)，角化边得到，

(2a^2=(2b-c)b+(2c-b)c)，整理即(bc=b^2+c^2-a^2)，

故(cosA=cfrac{1}{2})，又(Ain (0，pi))，故(A=60^{circ})。

(2)若(sinB+sinC=sqrt{3})，试判断(Delta ABC)的形状。

分析：由于(A=60^{circ})，故(B+C=120^{circ})，

由(sinB+sinC=sqrt{3})，即(sinB+sin(120^{circ}-B)=sqrt{3})，

打开整理得到，(sin(B+30^{circ})=1)，

由于(Bin (0^{circ}，120^{circ}))，则(B+30^{circ}in (30^{circ}，150^{circ}))，

故(B+30^{circ}=90^{circ})，即(B=60^{circ})，所以三角形为正三角形。

例10【2019届高三理科数学资料用题】在( riangle ABC)中，(sin(A+B)sin(A-B)=sin^2C)，则三角形的形状为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等边三角形$ $D、等腰直角三角形$

分析：由于(sin(A+B)=sinC)，两边约分，得到(sin(A-B)=sinC=sin(A+B))，

打开整理得到，(2cosAsinB=0)，由于(sinB eq 0)，

故(cosA=0)，即(A=cfrac{pi}{2})，故为直角三角形，选(B)。

例11【2019届高三理科数学资料用题】在( riangle ABC)中，(tanA+tanB+sqrt{3}=sqrt{3}tanAcdot tanB)，且(sinAcdot cosA=cfrac{sqrt{3}}{4})，则此三角形为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰直角三角形$ $D、等边三角形$

分析：由(sinAcdot cosA=cfrac{sqrt{3}}{4})，可得到(sin2A=cfrac{sqrt{3}}{2})，则(A=cfrac{pi}{6})或(A=cfrac{pi}{3})，

又由题设(tanA+tanB+sqrt{3}=sqrt{3}tanAcdot tanB)，得到(tanA+tanB=sqrt{3}tanAcdot tanB-sqrt{3})，代入

(tanC=-tan(A+B)=-cfrac{tanA+tanB}{1-tanAcdot tanB}=sqrt{3})，由(Cin(0，pi))得到(C=cfrac{pi}{3})，

故由此判断只能是(A=cfrac{pi}{3})，否则(B=cfrac{pi}{2})，使得(tanB)无意义；

则得到(B=cfrac{pi}{3})，故三角形为等边三角形，选(D).

例12【2020届高三理科数学资料用题】在( riangle ABC)中，若(cfrac{a}{cosA}=cfrac{a}{cosB}=cfrac{c}{cosC})，则此三角形为【】

$A、等腰三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰直角三角形$ $D、等边三角形$

分析：由(cfrac{a}{cosA}=cfrac{a}{cosB})，得到(cosA=cosB)，由于(y=cosx)在((0,pi))上单递，故(A=B)，即(a=b)，

则原式可变形为(cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC})，令(cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC}=k)，

则(a=kcdot cosA)，(b=kcdot cosB)，(c=kcdot cosC)，由正弦定理可得，

(a=kcdot cosA=2RsinA)，(b=kcdot cosB=2RsinB)，(c=kcdot cosC=2RsinC)，

则(tanA=cfrac{sinA}{cosA}=cfrac{k}{2R})，(tanB=cfrac{sinB}{cosB}=cfrac{k}{2R})，(tanC=cfrac{sinC}{cosC}=cfrac{k}{2R})，

则(tanA=tanB=tanC)，又由于函数(y=tanx)在区间((0,cfrac{pi}{2}))上单调递增，

故(A=B=C)，则选(D)。

例13【2019吕梁检测】在( riangle ABC)中，若(sinBcdot sinC=cos^2cfrac{A}{2})，且(sin^2B+sin^2C=sin^2A)，则( riangle ABC)的形状为【】

$A、等边三角形$ $B、直角三角形$ $C、等腰三角形$ $D、等腰直角三角形$

分析：(sinBcdot sinC=cos^2cfrac{A}{2}=cfrac{1+cosA}{2})，

则(2sinBcdot sinC=1+cosA=1-cos(B+C))，

即(cos(B+C)-2sinBcdot sinC=1)，整理得到(cos(B-C)=1)，

由于(B，C)为三角形的内角，故(B=C)，

又由于(sin^2B+sin^2C=sin^2A)，则(b^2+c^2=a^2)，

故( riangle ABC)的形状为等腰直角三角形，故选(D)。