正余弦定理解三角形习题

前言

典例剖析

例1【2015高考新课标2高考真题第17题】(Delta ABC)中，(D)是(BC)上的点，(AD)平分(angle BAC)，(Delta ABD)的面积是(Delta ADC)面积的(2)倍。

(1)、求(cfrac{sinB}{sinC})；

(2)、若(AD=1)，(DC=cfrac{sqrt{2}}{2})，求(BD)和(AC)的长。

分析：(1) 先转化(cfrac{sinB}{sinC}=cfrac{b}{c})；接下来只需要在(Delta ABC)中利用某个条件，求得(cfrac{b}{c})即可；

由于(cfrac{S_{Delta ABD}}{S_{Delta ACD}}=cfrac{cfrac{1}{2}cdot ABcdot ADcdot sinangle BAD }{cfrac{1}{2}cdot ACcdot ADcdot sinangle CAD })

(=cfrac{cfrac{1}{2}cdot ABcdot ADcdot sin heta }{cfrac{1}{2}cdot ACcdot ADcdot sinphi }=cfrac{AB}{AC}=cfrac{c}{b}=2)

故(cfrac{sinB}{sinC}=cfrac{b}{c}=cfrac{1}{2})；

(2)、由(cfrac{S_{Delta ABD}}{S_{Delta ACD}}=cfrac{cfrac{1}{2}cdot BDcdot h}{cfrac{1}{2}cdot CDcdot h}=2)

则有(cfrac{BD}{CD}=2)，又(DC=cfrac{sqrt{2}}{2})，则(BD=sqrt{2})。

在(Delta ABD)中，由余弦定理可知，(AB^2=AD^2+BD^2-2cdot ADcdot BDcdot cosalpha①)，

在(Delta ACD)中，由余弦定理可知，(AC^2=AD^2+CD^2-2cdot ADcdot CDcdot coseta②)，

由(①+2 imes ②)得到，(AB^2+2AC^2=3AD^2+BD^2+2CD^2=6)，又(AB=2AC)

解得(AC=1)。

【解后反思】①、看到三角形面积，则应该想起(S_{Delta}=cfrac{1}{2}absinC=cfrac{1}{2}acdot h_{a})；

②、求(BD)长，思路一是利用面积的方法，思路二还可以用角平分线定理，

由(cfrac{AB}{AC}=cfrac{BD}{DC})，又(cfrac{c}{b}=cfrac{AB}{AC}=2)，故(cfrac{BD}{DC}=2)，即(BD=2CD=sqrt{2})。

③、本题的关键题眼

第一问中，( heta=phi)，故面积中(sin heta=sinphi)

第二问中求(BD)的长，既可以利用面积之比，也可以利用角平分线定理；

第二问中求(AC)的长，既可以利用(cos heta=cosphi)得到相等关系，也可以利用(cosalpha+coseta=0)得到相等关系；

例2【2016山东高考】已知在(Delta ABC)中，角(A，B，C)的对边分别是(a，b，c)，已知(b＝c)，(a^2＝2b^2(1－sin A))，则 (A=) 【 】

$A、cfrac{3pi}{4}$ $B、cfrac{pi}{3}$ $C、cfrac{pi}{4}$ $D、cfrac{pi}{6}$

法1：由(a^2=b^2+c^2-2bccosA)及(a^2＝2b^2(1－sin A))， 且有 (b＝c)，

(2b^2(1－sin A)=2b^2-2b^2cosA=2b^2(1-cosA))，

即(1-sinA=1-cosA)，则有(tanA=1)，故(A=cfrac{pi}{4})，选(C)。

法2：由题目(B=C，A+B+C=pi)，可知(B=cfrac{pi}{2}-cfrac{A}{2})，

由正弦定理及(a^2＝2b^2(1－sin A))可得，

(sin^2A=2sin^2B(1-sinA))，即(sin^2A=2sin^2(cfrac{pi}{2}-cfrac{A}{2})(1-sinA))，

即(sin^2A=2cos^2cfrac{A}{2}cdot (1-sinA))，即(4sin^2cfrac{A}{2}cdot cos^2cfrac{A}{2}=2cos^2cfrac{A}{2}cdot (1-sinA))，

即(cos^2cfrac{A}{2}cdot (1-sinA-2sin^2cfrac{A}{2})=0)

即(cos^2cfrac{A}{2}cdot (cosA-sinA)=0)

由于(Ain (0，pi))，(cfrac{A}{2}in(0，cfrac{pi}{2}))，(coscfrac{A}{2} eq 0)

故(cosA=sinA)，(tanA=1)，则(A=cfrac{pi}{4})。选(C)。

例3【2016天津高考】在(Delta ABC)中，(AB=sqrt{13})，(BC=3)，(angle C=120^{circ})，则(AC)=【】

$A、1$ $B、2$ $C、3$ $D、4$

分析：本题目已知(c=AB=sqrt{13})，(a=BC=3)，(angle C=120^{circ})，

即已知两边及一边的对角，求第三边(AC=b=?)；

求解思路可以用正弦定理，也可以用余弦定理，不过使用余弦定理一次就能到位。

由(c^2=a^2+b^2-2abcosC)，代值得到(13=9+b^2-2 imes 3 imes b imes (-cfrac{1}{2}))；

化简得到(b^2+3b-4=0)，解得(b=1)或(b=-4)(舍负)，故(AC=1)，选(A)。

反思：在具体题目中到底应该选正弦定理还是余弦定理来解三角形，应该具体分析，当然还需要我们搞清楚这两个定理能解决的基本类型，以便于更好的使用。

例4【2016全国卷Ⅲ】在(Delta ABC)中，已知(angle B=cfrac{pi}{4})，(BC)边上的高等于(cfrac{1}{3}BC)，则(sinA)=【】

$A、cfrac{3}{10}$ $B、cfrac{sqrt{10}}{10}$ $C、cfrac{sqrt{5}}{5}$ $D、cfrac{3sqrt{10}}{10}$

分析：做出BC边的高线AD，由于注意到有了两个直角三角形，且(angle B=cfrac{pi}{4})，

则可以引入参数，设(AD=x)，则(BD=x)，(AB=sqrt{2}x)，

由题目可知(BC=3x)，则(CD=3x-x=2x) ，(AC=sqrt{5}x)，

到此，在(Delta ABC)中，三边都已经表示出来，且知道一个角，用正弦定理可得

(cfrac{sqrt{5}x}{sin45^{circ}}=cfrac{3x}{sinangle BAC})，化简得到(sinangle BAC=cfrac{3sqrt{10}}{10})，故选D

【解后反思】1、大胆引入参数，最后往往就会在运算中消失于无形；2、特别要注意特殊的直角三角形的边角关系，要熟记于心，以便于灵活运用。3、本题当然还可以先用余弦定理求得(cosA)，再求得(sinA)，但是走了弯路。

例5【2016全国卷Ⅲ】已知(Delta ABC)的内角为(A、B、C)，(2sinA=sqrt{3}sinB=3sinC)，则(cosB)的值为多少？

分析：设(2sinA=sqrt{3}sinB=3sinC=k)，

则(sinA=cfrac{k}{2})，(sinB=cfrac{k}{sqrt{3}})，(sinC=cfrac{k}{3})，

则有(a：b：c=sinA：sinB：sinC)，即(a：b：c=cfrac{k}{2}：cfrac{k}{sqrt{3}}：cfrac{k}{3}=3：2sqrt{3}：2)

由此再设得到(a=3m)，(b=2sqrt{3}m)，(a=2m(m>0))(引入非零比例因子的好处)，

由余弦定理可知，(cosB=cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{9m^2+4m^2-12m^2}{2cdot 3mcdot 2m}=cfrac{1}{12})。

反思：1、灵活运用比例的性质，会大大简化运算；2、非零比例因子的引入，也要注意学习运用。

例6在锐角(Delta ABC)中，角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，若(sinA=cfrac{2sqrt{2}}{3})，(a=3)，(S_{Delta ABC}=2sqrt{2})，则(b)的值为【 】

$A、6$ $B、3$ $C、2$ $D、2或3$

分析：由于(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}bcsinA=2sqrt{2})，则有(bc=6)，

又因为(sinA=cfrac{2sqrt{2}}{3})，所以(cosA=cfrac{1}{3})(题目已知锐角三角形)，又(a=3)，

由余弦定理得(a^2=9=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-4)，

即(b^2+c^2=13)，结合(bc=6)，

可得(b=2)或(b=3)。故选(D).

例7在(Delta ABC)中， 若(A=cfrac{pi}{4})，(b^2sinC=4sqrt{2}sinB)，则(Delta ABC)的面积为___________。

分析：由(b^2sinC=4sqrt{2}sinB)，角化边得到(b^2c=4sqrt{2}b)，

故(bc=4sqrt{2})，(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2} imes 4sqrt{2} imes cfrac{sqrt{2}}{2}=2)。

例8在(Delta ABC)中，角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，若(bsinA-sqrt{3}cosB=0)，且(b^2=ac)，则(cfrac{a+c}{b})的值为【】

$A、cfrac{sqrt{2}}{2}$ $B、sqrt{2}$ $C、2$ $D、4$

分析：边化角，得到(sinBsinA-sqrt{3}sinAcosB=0)，由于(sinA eq 0)，

得到(tanB=sqrt{3})，则(B=cfrac{pi}{3})，

由余弦定理得到(b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac)，

变形一：又(b^2=ac)，代入上式，得到(a^2+c^2-ac=ac)，解得(a=c)，又(B=cfrac{pi}{3})，

即三角形是等边三角形，则(a=b=c)，故(cfrac{a+c}{b}=2)；故选(C)；

变形二：由(b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-ac)得到，(b^2=(a+c)^2-3ac)，

又(b^2=ac)，代入上式替换(ac)，得到(4b^2=(a+c)^2)，求得(cfrac{a+c}{b}=2)；故选(C)；

例9在(Delta ABC)中，角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，若(b=1)，(a=2c)，则当(C)取最大值时，(Delta ABC)的面积为【】

$A、cfrac{sqrt{3}}{3}$ $B、cfrac{sqrt{3}}{6}$ $C、cfrac{2sqrt{3}}{3}$ $D、sqrt{3}$

分析：当(C)取到最大值时，(cosC)取得最小值，故先研究(cosC)，

(cosC=cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=cfrac{3c^2+1}{4c})

(=cfrac{1}{4}(3c+cfrac{1}{c})ge cfrac{1}{4}cdot 2sqrt{3}=cfrac{sqrt{3}}{2})，

当且仅当(3c=cfrac{1}{c})，即(c=cfrac{sqrt{3}}{3})时取得等号；

且此时(sinC=cfrac{1}{2})，故当(C)取到最大值时，

(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}absinC)

(=cfrac{1}{2}cdot 2ccdot 1cdot cfrac{1}{2}=cfrac{sqrt{3}}{6})，

故选(B)。

例10【2018·浙江省名校协作体高三联考】在(Delta ABC)中，内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，已知(c＝2)，(C＝cfrac{pi}{3})，Ⅰ、当(2sin2A＋sin(2B＋C)＝sinC) 时，求(Delta ABC)的面积；

分析：由(2sin2A+sin(2B＋C)＝sinC)，

得到(4sinAcosA+sin[(A+B+C)+B-A]=sinC)，即(4sinAcosA+sin[pi+B-A]=sinC)，

即(4sinAcosA-sin(B-A)=sin(B+A))，即(4sinAcosA=sin(B-A)+sin(B+A))，

则(4sinAcosA=2sinBcosA)，即(cosA(2sinA-sinB)=0)，

①当(cosA=0)时，(A=cfrac{pi}{2})，由(C＝cfrac{pi}{3})，得到(B=cfrac{pi}{6})；

此时，(b=cfrac{2sqrt{3}}{3})，(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2}cdot 2cdot cfrac{2sqrt{3}}{3}=cfrac{2sqrt{3}}{3})；

②当(cosA eq 0)时，则有(sinB=2sinA)，即(b=2a)，

由(left{egin{array}{l}{a^2+b^2-ab=4}\{b=2a}end{array} ight.)，解得(b=cfrac{4sqrt{3}}{3})，(b=cfrac{2sqrt{3}}{3})，

故(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}absinC=cfrac{1}{2}cdot cfrac{4sqrt{3}}{3}cdot cfrac{2sqrt{3}}{3}cdotcfrac{1}{2}=cfrac{2sqrt{3}}{3})；

综上所述，(S_{Delta ABC}=cfrac{2sqrt{3}}{3})；

Ⅱ、求(Delta ABC)周长的最大值。

分析：具体解法见求三角形的周长类的取值范围

例11【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】在( riangle ABC)中，内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，设向量(vec{n}=(sqrt{3}a+c，sinB-sinA))，(vec{m}=(a+b，sinC))，若(vec{m}//vec{n})，则角(B)的大小为【】

$A.cfrac{pi}{6}$ $B.cfrac{pi}{3}$ $C.cfrac{5pi}{6}$ $D.cfrac{2pi}{3}$

分析：由(vec{m}//vec{n})，得到(cfrac{sqrt{3}a+c}{a+b}=cfrac{sinB-sinA}{sinC}=cfrac{b-a}{c})，

得到(c^2+a^2-b^2=-sqrt{3}ac)，则(cosB=-cfrac{sqrt{3}}{2})，又(Bin (0，pi))，故(B=cfrac{5pi}{6})。

例12在( riangle ABC)中，(a=5)，(b=4)，(cos(A-B)=cfrac{31}{32})，求(cosC)的值。

分析：如下图所示，在(BC)上取一点(D)，使得(BD=AD=x)，则(CD=5-x)，(angle DAB=angle B)，则(angle CAD=angle A-angle B)，

在( riangle ACD)中，由余弦定理可得，

(cosangle CAD=cfrac{x^2+4^2-(5-x)^2}{2cdot 4cdot x}=cfrac{31}{32})，解得(x=4)，

故在( riangle ABC)中，由余弦定理可得，(cosC=cfrac{1^2+4^2-4^2}{2 imes 4 imes 1}=cfrac{1}{8})。

例13【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在( riangle ABC)中，内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，(AD)为(angle BAC)的平分线，且满足(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，(|overrightarrow{AD}|=sqrt{3})，若(4c+a=8)，求(a)，(b)，(c)的值；

分析：由(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，可得(3overrightarrow{AD}-3overrightarrow{AB}=overrightarrow{AC}-overrightarrow{AD})，

即(3overrightarrow{BD}=overrightarrow{DC})，即(|CD|=3|BD|)，又(4c+a=8)，

则(a=8-4c=|BC|)，(|BD|=cfrac{1}{4}|BC|=2-c)，(|CD|=6-2c)，

又由于(AD)为(angle BAC)的平分线，由角平分线定理可知，

(cfrac{BD}{CD}=cfrac{AB}{AC}=cfrac{1}{3})，故(|AC|=3C)，

在( riangle ABD)与( riangle ACD)中，分别对(angle BAD)和(angle DAC)用余弦定理可得，

(cfrac{3+c^2-(2-c)^2}{2 imes sqrt{3}c}=cfrac{3+(3c)^2-(6-3c)^2}{2 imes sqrt{3} imes 3c})

解得(c=cfrac{5}{4})，(b=cfrac{15}{4})，(a=3)。

例14【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第15题】( riangle ABC)的内角(A)，(B)，(C)的对边分别为(a)，(b)，(c)，若(b=6)，(a=2c)，(B=cfrac{pi}{3})，则( riangle ABC)的面积为__________。

分析：利用正余弦定理解三角形。

解析：自行做出相应图形，针对(b)边使用余弦定理，得到

(b^2=a^2+c^2-2accosB)，即(36=c^2+4c^2-2cdot ccdot 2ccdot coscfrac{pi}{3})

解得，(c=2sqrt{3})，则(a=4sqrt{3})，

则(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}accosB=cfrac{1}{2} imes 2sqrt{3} imes 4sqrt{3} imes cfrac{sqrt{3}}{2}=6sqrt{3})。

例15已知(Delta ABC)中，(sin(A-cfrac{pi}{4})=cfrac{7sqrt{2}}{26})，若(Delta ABC)的面积为(24)，(c=13)，求(a)的值。

分析：由(sin(A-cfrac{pi}{4})=cfrac{7sqrt{2}}{26})，估算(A)为锐角，打开整理得到(sinA-cosA=cfrac{7}{13})，结合勾股数(5，12，13)可知，

(sinA=cfrac{12}{13}，cosA=cfrac{5}{13})，由(S_{Delta}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2} imes b imes 13 imescfrac{12}{13}=24)，

解得(b=4)，由余弦定理可得(a^2=b^2+c^2-2bccosA=16+169-2 imes 4 imes 13 imes cfrac{5}{13}=145)，故(a=sqrt{145}).