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  • 换元法

    前言

    复习 引申,代数式指由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除加法和减法属于一级运算,二者互为逆运算;乘法和除法属于二级运算,二者互为逆运算;在运算顺序的确定中,级别越高,运算顺序越优先,这四种运算通常统称为四则运算,在四则混合运算中,先算乘除,后算加减;乘法和除法可以理解为加法和减法的简便运算;(;;)乘方和开方乘方和开方属于三级运算,其可以理解为乘法和除法的简便运算;(quad)等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。在复数范围内,代数式分为有理式和无理式。有理式包括整式[除数中没有字母的有理式]和分式[除数中有字母且除数不为0的有理式]。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。整式又包括单项式[数字或字母的乘积,或者是单独的一个数字或字母]和多项式[若干个单项式的和]。我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方,或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。无理式包括根式和超越式。我们把可以化为被开方式为有理式,根指数不带字母的代数式称为根式。我们把有理式与根式统称为代数式,把根式以外的无理式叫做超越式。

    [代数式left{egin{array}{l}{有理式left{egin{array}{l}{整式left{egin{array}{l}{单项式:如2a,3x^4}\{多项式:如3x+2y^2-cfrac{3}{2}xz}end{array} ight.}\{分式:如cfrac{2y+3}{2x-1}}end{array} ight.}\{无理式left{egin{array}{l}{根式:如sqrt{2x-1},sqrt[3]{2x-1}},(x-1)^{frac{3}{2}}\{超越式:如2^x,2^{x+1},log_2x}end{array} ight.}end{array} ight. ]

    常见的换元类型:

    代数式换元[单项式换元(2x=t)、多项式换元(x^2+3x=t)、分式换元(cfrac{1}{x}=t)、根式换元(sqrt{x-2}=t)];

    超越式换元[指数式换元(2^x=t)、对数式换元(log_2x=t)、三角式换元(sinx=t)];

    整体换元[(x+3y=s)(x-y=t)];

    换元考量

    如果能通过换元法,将我们不会求解的新类型转化为已知的会求解的已有型,实现未知内容和类型向已知内容和类型的转化,那么换元法就是最好的选择。另外由于是替换,所以换元的前后就必须保证新元和旧元的取值范围的一致,其实就是求函数的值域问题,比如令(sin x=t),则必须注明(tin [-1,1]),这是换元时最容易忽视的问题。

    典例剖析

    超越式换元,

    求函数(f(x)=4^x+3cdot 2^x+1)的值域。

    分析:注意到函数的结果特点,做代数换元令(2^x=t>0)

    则原函数就转化为(f(x)=g(t)=t^2+3t+1,tin(0,+infty))上的值域。

    求函数(f(x)=(log_2^x)^2+3cdot log_2^x+1)的值域。

    分析:注意到函数的结果特点,做代数换元令(log_2^x=tin R)

    则原函数就转化为(f(x)=g(t)=t^2+3t+1,tin R)上的值域。

    代数式换元,

    求函数(f(x)=x-sqrt{2-x})的值域。

    法1:代数换元法,先求定义域为((-infty,2])

    (sqrt{2-x}=tge 0),则(x=2-t^2),故原函数可以转化为

    (f(x)=g(t)=2-t^2-t(tge0)=2-(t^2+t+cfrac{1}{4})-cfrac{1}{4}=cfrac{9}{4}-(t+cfrac{1}{2})^2)

    故在([0,+infty))上单调递减,

    (f(x)_{max}=g(t)_{max}=g(0)=2),故值域为((-infty,2])

    法2:利用单调性,直接从函数解析式分析,

    函数(f(x)=x-sqrt{2-x})在定义域((-infty,2])上单调递增,故(f(x)_{max}=f(2)=2)

    解后反思:对于形如(f(x)=ax+bpmsqrt{cx+d})型的函数求值域,用代数换元法总能将其转化为二次函数在限定区间上的值域问题,因此法1是通用方法;而法2的适用性有一定的限制。

    三角换元,将代数式换元为三角式,或者将三角式换元为代数式;

    求函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2})的值域。

    分析:求定义域得到(xin[-1,1]),故做三角换元令(x=cos heta, hetain[0,pi])

    则函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2}=cos heta+sqrt{1-cos^2 heta})

    (=cos heta+|sin heta|=sin heta+cos heta)

    (=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[-sqrt{2},sqrt{2}])

    故函数的值域为([-sqrt{2},sqrt{2}])

    引申思考:

    1、换元法特别需要注意的是旧元(x)和新元( heta)的取值范围要一致,否则换元就会出错,那么本题中引入新元( heta)后,其取值范围能不能是([-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])?不能,否则(cos hetain [0,1]),和(xin[-1,1])的取值范围不一致了。

    2、那么取值范围能不能是([0,2pi])?此时虽然能保证(cos hetain [-1,1]),但是下一步在开方去绝对值时就麻烦了,(sqrt{1-cos^2 heta}=|sin heta|)还需要分类讨论,这样反到复杂了,由此我们也就能更好的理解( hetain[0,pi])的用意,由此可知我们的三角换元是很讲究的,绝不是随心所欲的。

    3、能不能这样换元令(x=sin heta)?可以的,不过若这样换元,新元的范围就必须是( hetain[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])

    4、你会用这个方法求函数(f(x)=x-sqrt{2-x^2})的值域吗?

    提示:定义域为(xin[-sqrt{2},sqrt{2}]),故令(x=sqrt{2}cos heta),则原函数转化为(f(x)=x-sqrt{2-x^2}=sqrt{2}cos heta-sqrt{2}sin heta=2cos( heta+cfrac{pi}{4})in [-2,2])

    5、你能将这一方法适用的类型做以总结提炼吗?

    一般来说,适用于这样的类型:(f(x)=ax+bpm sqrt{c+dx^2})型,其中(a,b,c,din R,ccdot d<0)

    函数(y=f(x)=x+sqrt{-x^2+10x-23})的最小值;

    法1:原函数可以转化为(y=x+sqrt{2-(x-5)^2})

    由于(2-(x-5)^2geqslant 0),得到(|x-5|leqslant sqrt{2})

    (x-5=sqrt{2}cosalpha),则(alphain [0,pi]),且(x=sqrt{2}cosalpha+5),

    (y=x+sqrt{2-(x-5)^2}=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2sin^2alpha})

    (=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2}sinalpha=2sin(alpha+cfrac{pi}{4})+5)

    由于(alphain [0,pi]),则(sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [-cfrac{sqrt{2}}{2},1])

    (y_{min}=5-sqrt{2})(y_{max}=7)

    法2:令(-x^2+10x-23geqslant 0),得到函数的定义域为([5-sqrt{2},5+sqrt{2}])

    又由于(y=-x^2+10x-23=-(x-5)^2+2),故原函数必然在区间([5-sqrt{2},5])上单调递增,

    甚至能延伸到区间([5-sqrt{2},x_0])(x_0>5),在区间([x_0,5+sqrt{2}])上单调递减,

    故其最小值必然(f(x)_{min}=min{f(5-sqrt{2}),f(5+sqrt{2})})

    (f(5-sqrt{2})=5-sqrt{2})(f(5+sqrt{2})=5+sqrt{2})

    (f(x)_{min}=5-sqrt{2}).

    求函数(f(x)=sinx+cosx+sinxcosx)的值域。

    分析:令(sinx+cosx=t),则由上例可知(tin[-sqrt{2},sqrt{2}])

    则由((sinx+cosx)^2=t^2)得到(sinxcosx=cfrac{t^2-1}{2})

    故此时原函数经过换元就转化为(f(x)=g(t)=t+cfrac{t^2-1}{2},tin[-sqrt{2},sqrt{2}])

    这样就和例1是同一类型的了。(f(x)=g(t)=cfrac{1}{2}(t+1)^2-1)(tin[-sqrt{2},sqrt{2}])

    (f(x)=g(t) in [-1,cfrac{2sqrt{2}+1}{2}])

    【2017宝鸡中学高三理科第一次月考第10题】已知函数(f(x)=cfrac{2sinxcosx}{1+sinx+cosx})(xin(0,cfrac{pi}{2}])的最大值为(M),最小值为(N),求(M-N=)的值。

    分析:令(sinx+cosx=t) ,由于(xin(0,cfrac{pi}{2}]),则(t=sinx+cosx=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4})in [1,sqrt{2}])

    (2sinxcosx=t^2-1),故(f(x)=cfrac{t^2-1}{t+1}=g(t)=t-1)

    (f(x)_{max}=M=sqrt{2}-1)(f(x)_{min}=N=0);即(M-N=sqrt{2}-1)

    【2017(cdot)山西太原模拟】已知函数(f(x)=(2a-1)x-cfrac{1}{2}cos2x-a(sinx+cosx))在区间([0,cfrac{pi}{2}])上单调递增,则实数(a)的取值范围是【】

    $A.(-infty,cfrac{1}{3}]$ $B.[cfrac{1}{3},1]$ $C.[0,+infty)$ $D.[1,+infty)$

    分析:由题目可知,(f'(x)ge 0)在区间([0,cfrac{pi}{2}])上恒成立,(f'(x)=2a-1-cfrac{1}{2}cdot (-sin2x)cdot 2-a(cosx-sinx)ge 0)恒成立,

    (2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)ge 0)恒成立,

    接下来的思路有:

    思路一:分离参数,当分离为(age cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x))时,你会发现,求函数(g(x)_{max})很难,所以放弃;

    思路二:转化划归,令(sinx-cosx=t=sqrt{2}sin(x-cfrac{pi}{4})),由于(xin [0,cfrac{pi}{2}]),故(tin [-1,1])

    ((sinx-cosx)^2=t^2),得到(sin2x=1-t^2)

    故不等式转化为(at+1-t^2+2a-1ge 0)

    (t^2-at-2aleq 0)(tin [-1,1])上恒成立,

    (h(t)=t^2-at-2a,tin [-1,1])

    (h(t)leq 0)等价于

    (egin{cases}h(-1)=1+a-2aleq 0\h(1)=1-a-2aleq end{cases})

    解得(age 1),故选(D)

    解后反思:

    1、已知含参函数(f(x))的单调性(比如单增),求参数的取值范围,等价于(f'(x)ge 0),且还需要验证等号时不能让函数(f(x))称为常函数,不过解答题一般不需要验证,是因为给定的函数比较复杂,当参数取到某个值是一般不会称为常函数。

    2、转化为已知恒成立问题,求参数范围,一般首选分离参数的思路。

    3、关于三角函数的这种转化必须熟练掌握。三角函数的转化

    4、二次函数在某个区间上恒成立问题的模型必须熟练掌握。二次函数恒成立模型

    已知(sqrt{1-x^2}>x+b)([-1,cfrac{1}{2}))上恒成立,求实数(b)的取值范围。

    法1:函数法,从数的角度入手,转化为(b<sqrt{1-x^2}-x)

    (g(x)=sqrt{1-x^2}-x),即关键是求(g(x))在区间([-1,cfrac{1}{2}))上的最小值。

    (x=cos heta, hetain (cfrac{pi}{3},pi])

    (g(x)=sqrt{1-x^2}-cos heta=sin heta-cos heta=sqrt{2}sin( heta-cfrac{pi}{4}))

    因为( hetain (cfrac{pi}{3},pi]),则有(cfrac{sqrt{3}-1}{2}<sqrt{2}sin( heta-cfrac{pi}{4})leq 1)

    (bleq cfrac{sqrt{3}-1}{2})

    法2:数形结合,令(f(x)=sqrt{1-x^2},xin[-1,cfrac{1}{2})),对应图中的蓝色的圆的一部分,

    (h(x)=x+b,xin[-1,cfrac{1}{2})),对应图中的红色的线段,

    由题目可知,要使得(f(x)>h(x),xin[-1,cfrac{1}{2}))上恒成立,

    则只需要(h(x))的图像在(f(x))的图像下方即可,

    由动画可知,当线段经过点((cfrac{1}{2},cfrac{sqrt{3}}{2}))时,(b=cfrac{sqrt{3}}{2}-cfrac{1}{2})

    (bleq cfrac{sqrt{3}-1}{2})

    整体换元,

    (2017(cdot)陕西西安质检)已知实数(x,y)满足(x>y>0),且(x+y=cfrac{1}{2}) ,则(cfrac{2}{x+3y}+cfrac{1}{x-y})的最小值是_________.

    分析:换元法,令(x+3y=s>0)(x-y=t>0)

    求解上述以(x,y)为元的方程组,得到(x=cfrac{s+3t}{4})(y=cfrac{s-t}{4})

    (x+y=cfrac{1}{2}),将上述结果代入得到(s+t=1)

    故此时题目转化为"已知(s+t=1)(s,t>0),求(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})的最小值”问题。

    接下来,利用乘常数除常数的思路就可以求解。

    简单提示如下:(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t}=(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})(s+t)=3+)(cfrac{2t}{s}+cfrac{s}{t}ge 3+2sqrt{2})

    (当且仅当(cfrac{2t}{s}=cfrac{s}{t})(s+t=1)时取到等号)

    【学生问题】已知(e^{x+2y+3}+e^{2x-3y-5}=3x-y),求(x+y)的值。

    【法1】:观察发现,“左边指数式+指数式=右边的一次式”,使得指数式消失,即(e^0+e^0=2)

    故令(x+2y+3=0)(2x-3y-5=0),则(x=cfrac{1}{7},y=-cfrac{11}{7}),即(e^0+e^0=2),则解得(x+y=-cfrac{10}{7})

    【法2】:观察发现,((x+2y-3)+(2x-3y-5)=3x-y-2),在指数位置使用均值不等式得到,

    (e^{x+2y+3}+e^{2x-3y-5}ge 2sqrt{e^{3x-y-2}}),即(2sqrt{e^{3x-y-2}}leq 3x-y)

    (3x-y=t(t>0)),则上述不等式变形为(2sqrt{e^{t-2}}leq t),即(4e^tleq e^2t^2)

    接下来使用导数工具研究,在(t=2)处,(4e^t=e^2t^2)

    (t)取其他值时,均有(4e^tge e^2t^2),故只能(4e^t= e^2t^2),所以(t=2),即(3x-y=2)

    又由均值不等式可知,取等号时(x+2y-3=2x-3y-5),故求解得到

    (x=cfrac{1}{7},y=-cfrac{11}{7}),则解得(x+y=-cfrac{10}{7})

    【法3,推荐解法】:令(x+2y+3=m)(2x-3y-5=n),则原题目等价于(e^m+e^n=m+n+2)

    (e^m-m-1=-(e^n-n-1))①,

    (f(x)=e^x-x-1),则(f'(x)=e^x-1),令(f'(x)=0),得到(x=0)

    (xin (-infty,0))上单调递减,在(xin (0,+infty))上单调递增,

    (f(x)_{min}=f(0)=e^0-0-1=0),即有(f(x)geqslant 0)

    又①式等价于(f(m)=-f(n)),由于(f(m)geqslant 0)(-f(n)leqslant 0)

    要使得(f(m)=-f(n)),只有(f(m)=f(n)=0),即(m=n=0)

    则有(x+2y+3=2x-3y-5=0)

    (x=cfrac{1}{7},y=-cfrac{11}{7}),则解得(x+y=-cfrac{10}{7})

    已知实数(a、b)满足条件(left{egin{array}{l}{a+b-2ge 0}\{b-a-1leq 0}\{aleq 1}end{array} ight.),求(cfrac{a+2b}{2a+b})的取值范围。

    【法1】转化为斜率型,

    思路如下:由于所求值函数为分式形式的关于(a、b)的二次齐次式,

    故可以转化为(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{1+2cdot cfrac{b}{a}}{2+cfrac{b}{a}})

    (=2-cfrac{3}{2+k}),其中(k=cfrac{b}{a})

    这样先由可行域求得(k=cfrac{b}{a}in [1,3])

    然后用函数思想求得(cfrac{a+2b}{2a+b}in [1,cfrac{7}{5}])

    【法2】换元法,令(a+2b=n)(2a+b=m)

    联立解以(a、b)为元的方程组,得到

    (a=cfrac{2m-n}{3})(b=cfrac{2n-m}{3})

    代入原不等式组,可将原约束条件转化为关于(m 、n)的不等式组,

    即已知(m 、n)满足条件(left{egin{array}{l}{m+n-6ge 0}\{n-m-1leq 0}\{2m-n-3leq 0}end{array} ight.)

    (cfrac{n}{m})的取值范围。

    利用数形结合思想可得,(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{n}{m}in [1,cfrac{7}{5}])图像

    设点(M(x,y))的坐标满足不等式组(egin{cases}xge 0\yleq 0\x−yleq 1end{cases}),点((m,n)) 在点(M(x,y))所在的平面区域内,若点(N(m+n,m-n))所在的平面区域的面积为(S),则(S)的值为______.

    分析:由题可知,点(M(x,y))的坐标满足条件(egin{cases}mge 0\nleq 0\m−nleq 1end{cases})

    (m+n=s)(m-n=t),则(m=cfrac{s+t}{2})(n=cfrac{s-t}{2}),代入上述线性约束条件得到,

    (egin{cases}s+tge 0\s-tleq 0\tleq 1end{cases})

    做出不等式组对应的平面区域,如图中所示的阴影部分,

    由题意可知,(A(-1,1))(B(1,1))

    (S=cfrac{1}{2} imes 2 imes 1=1)

    三角函数和差化积等公式的推导,学生暂时不需要掌握这些知识,仅仅用此变换体会换元法。

    在三角函数的学习中,我们知道这样的公式:

    (sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)

    (sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB)

    则两式相加减,得到(sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB①)(sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB②)

    (A+B=alpha)(A-B=eta)

    则解方程可知:(A=cfrac{alpha+eta}{2})(B=cfrac{alpha-eta}{2})

    将这一结果代入①②式,就得到

    • 三角函数的和差化积公式(如下,仅仅列举部分):

    (sinalpha+sineta=2sincfrac{alpha+eta}{2}coscfrac{alpha-eta}{2}③)

    (sinalpha-sineta=2coscfrac{alpha+eta}{2}sincfrac{alpha-eta}{2}④)

    如果我们对上述公式施行换元法的变换,

    (cfrac{alpha+eta}{2}=A)(cfrac{alpha-eta}{2}=B)

    (A+B=alpha)(A-B=eta),代入上述③④公式,得到

    • 三角函数的积化和差公式(对应上述公式,也仅仅列举部分):

    (sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB)

    (sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB)

    上述公式我们常常写作

    (sinAcosB=cfrac{1}{2}[sin(A+B)+sin(A-B)]⑤)

    (cosAsinB=cfrac{1}{2}[sin(A+B)-sin(A-B)]⑥)

    【2019高三理科数学第二次月考第18题】某地随着经济发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:

    月份(x) 2011 2012 2013 2014 2015
    储蓄存款(y)(千亿元) 5 6 7 8 10

    为便于计算,将上表做一处理,令(t=x-2010)(z=y-5),得到下表2:

    时间代号(t) 1 2 3 4 5
    (z) 0 1 2 3 5

    附可能用到的公式:线性回归直线为(widehat{y}=widehat{b}x+widehat{a})

    (widehat{b}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})(y_i-ar{y})}}{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})^2}}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{x_iy_i-ncdotar{x}cdotar{y}}}{sumlimits_{i=1}^n{x_i^2-ncdotar{x}^2}})

    (widehat{a}=ar{y}-widehat{b}cdotar{x}).

    (1)求(z)关于(t)的线性回归方程。

    分析:需要先注意(z ightarrow y;;)(t ightarrow x;;),然后将所给的公式翻译为关于(z)(t)的公式,这涉及到数学素养,公式的正向迁移。

    由表格可知,(ar{t}=3)(ar{z}=2.2)(sumlimits_{i=1}^5{t_iz_i}=45)(sumlimits_{i=1}^5{t_i^2}=55)

    (widehat{b}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{t_iz_i-ncdotar{t}cdotar{z}}}{sumlimits_{i=1}^n{t_i^2-ncdotar{t}^2}})

    (=cfrac{45-5 imes 3 imes 2.2}{55-5 imes 9}=1.2)

    (widehat{a}=ar{z}-widehat{b}cdotar{t}=2.2-3 imes 1.2=-1.4)

    (hat{z}=1.2t-1.4)

    (2)通过(1)中的方程,求出(y)关于(x)的线性回归方程。

    分析:将(t=x-2010)(z=y-5)代入(hat{z}=1.2t-1.4)

    得到(y-5=1.2 imes (x-2010)-1.4)

    (hat{y}=1.2x-2408.4)

    (3)用所求的线性回归方程预测,到(2020)年底,该地的储蓄存款余额可达到多少?

    分析:当(x=2020)时,代入(hat{y}=1.2x-2408.4)

    得到(hat{y}=1.2 imes 2020-2408.4=15.6(千亿元))

    【2019年高考数学全国卷理科新课标Ⅱ第4题改编】将高考真题中的科技背景省略,高度抽象就得到了如下的数学题目:

    已知公式:(cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3}),且已知(alpha=cfrac{r}{R})(cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2}approx 3alpha^3),试用(M_1)(M_2)(R)表示(r)的近似值;

    $A.sqrt{cfrac{M_2}{M_1}}cdot R$ $B.sqrt{cfrac{M_2}{2M_1}}cdot R$ $C.sqrt[3]{cfrac{3M_2}{M_1}}cdot R$ $D.sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R$

    分析:联系到本年度的Ⅱ卷高考数学题目的解答,首先要突破的是对题意的理解,大体意思就是,给定了一个方程,要求你将方程中的(r)求解出来,但是由于是用手工计算,为了降低难度,给了一个近似参考公式,你必须使用这个近似计算公式,才能顺利求解。理解了题意之后,还有一个问题,就是该如何使用近似计算公式。由于近似计算中提到了(alpha=cfrac{r}{R}),所以我们需要首先让方程中出现(alpha),使用(cfrac{r}{R}=alpha)代换,求解到最后,再使用(alpha=cfrac{r}{R}),让式子中出现(r),计算即可。

    解析:给方程的两边,同时乘以(R^2),得到$ cfrac{Rcdot M_1}{(R+r)^2}+cfrac{Rcdot M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{Rcdot M_1}{R^3}$,

    (cfrac{M_1}{frac{(R+r)^2}{R^2}}+cfrac{M_2}{frac{r^2}{R^2}}=(R+r)cfrac{M_1}{frac{R^3}{R^2}}),变形得到,

    (cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R}),即(cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(1+alpha)M_1)

    然后通分整理,得到,(alpha^2M_1+(1+alpha)^2M_2=(1+alpha)^3cdot alpha^2M_1)

    则有((1+alpha)^2M_2=alpha^2M_1+(3alpha^3+3alpha^4+alpha^5)M_1-alpha^2M_1)

    ((1+alpha)^2M_2=(3alpha^3+3alpha^4+alpha^5)M_1),则(cfrac{M_2}{M_1}=cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2})

    (cfrac{M_2}{M_1}approx 3alpha^3),则(alpha^3approx cfrac{M_2}{3M_1})

    (alphaapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}),即(cfrac{r}{R}approx sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}),则(rapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R),故选(D)

    【解后反思】1、你怎么强化自己的阅读理解能力都不嫌过分;近似计算的思路分析过程要清楚;运算功底要扎实,到位。

    2、((1+alpha)^3=1+3alpha+3alpha^2+alpha^3)((apm b)^3=a^3mp 3a^2bpm 3ab^2-b^3)

    3、整个求解过程中的换元法的使用思路:

    (cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3}) (xlongequal[同乘以R^2,变形]{为引入alpha,便于近似计算})

    (stackrel{frac{r}{R}=>alpha}{Longrightarrow} cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(1+alpha)M_1)

    整理变形,得到(alphaapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})(stackrel{alpha=>frac{r}{R}}{Longrightarrow} cfrac{r}{R}approx sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})

    从而得到,(rapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R),故选(D)

    高阶应用

    【2016湖南东部六校联考】对于问题“已知关于(x)的不等式(ax^2+bx+c>0)的解集为((-1,2)),解关于(x)的不等式(ax^2-bx+c>0)”,给出如下一种解法:由(ax^2+bx+c>0)的解集为((-1,2)),得到(a(-x)^2+b(-x)+c>0)的解集为((-2,1)),即关于(x)的不等式(ax^2-bx+c>0)的解集为((-2,1))

    参考上述解法,若关于(x)的不等式(cfrac{k}{x+a}+cfrac{x+b}{x+c}<0)的解集为((-1,-cfrac{1}{3})cup(cfrac{1}{2},1)),则关于(x)的不等式(cfrac{kx}{ax+1}+cfrac{bx+1}{cx+1}<0)的解集为________.

    分析:本题目对学生的思维的灵活性要求比较高,需要有一定的数学素养的储备。

    关于(x)的不等式(cfrac{k}{x+a}+cfrac{x+b}{x+c}<0)的解集为(xin (-1,-cfrac{1}{3})cup(cfrac{1}{2},1)),所以用(cfrac{1}{x})代换解集中的(x)

    (-1<cfrac{1}{x}<-cfrac{1}{3})或者(cfrac{1}{2}<cfrac{1}{x}<1),可得(-3<x<-1)(1<x<2),用(cfrac{1}{x})代换原不等式中的(x)

    即为(cfrac{k(cfrac{1}{x})}{a(cfrac{1}{x})+1}+cfrac{b(cfrac{1}{x})+1}{c(cfrac{1}{x})+1}<0)的解集为(-3<x<-1)(1<x<2)

    即就是(x)的不等式(cfrac{kx}{ax+1}+cfrac{bx+1}{cx+1}<0)的解集为(-3<x<-1)(1<x<2)

    感悟思考:本题目的求解不是常规的求各个系数的值,然后按照常规解不等式,而是巧妙运用代换法求解,即将解集代换,将不等式代换。

    • 与此类似的还有下列的问题,可以一并思考:

    如已知(f(x)+2f(-x)=2x+3),求(f(x))的解析式;

    再如已知(3f(x)+f(cfrac{1}{x})=x),求(f(x))的解析式。

    关于函数模型的思考,

    • 熟练掌握函数:(g(x)=e^x+e^{-x})的相关性质,那么碰到研究函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}),我们就可以这样思考:

    分析:函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}=g(x-1)),这样我们要做函数(f(x))的图像,

    只需要先做(g(x))图像,再做函数(g(x-1))的图像。

    • 研究函数(f(x)=e^x+e^{2-x}),先变形为(f(x+1)=e^{x+1}+e^{1-x}=ecdot(e^x+e^{-x}))备注

    (f(x+1))是偶函数,对称轴为(x=0),故函数(f(x))关于直线(x=1)对称。

    或者由已知(f(x)=e^x+e^{2-x}),得到(f(2-x)=e^{2-x}+e^{2-(2-x)}=e^x+e^{2-x}=f(x)),故函数(f(x))关于直线(x=1)对称。

    【2018河南南阳期末】设(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})(x_1,x_2in[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}]),且(f(x_1)>f(x_2)),则下列结论必然成立的是【】

    $A.x_1 > x_2$ $B.x_1+x_2 > 0$ $C.x_1 < x_2$ $D.x_1^2 > x_2^2$

    分析:(f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x)),故函数(f(x))为偶函数,

    又当(xin[0,cfrac{pi}{2}])(f'(x)=e^{1+sinx}cdot cosx+e^{1-sinx}cdot(-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0)

    故函数(f(x))([0,cfrac{pi}{2}])上单调递增,则由(f(x_1)>f(x_2))得到,

    (f(|x_1|)>f(|x_2|)),则有(|x_1|>|x_2|),则(x_1^2>x_2^2),故选(D).

    法2:令(t=sinx),由于(xin[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}]),则(tin [-1,1])

    故原函数变形为(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}=e^{1+t}+e^{1-t}=g(t))

    (g(t)=e^{1+t}+e^{1-t}=ecdot(e^t+e^{-t})),故(g(t))为偶函数,则(f(x))为偶函数;

    由于(tin [-1,0])时,(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t})单调递减,(tin [0,1])时,(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t})单调递增,

    对应于(xin [-cfrac{pi}{2},0])时,(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})单调递减,(xin [0,cfrac{pi}{2}])时,(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})单调递增,

    故由(f(x_1)>f(x_2))得到,(f(|x_1|)>f(|x_2|)),则有(|x_1|>|x_2|),则(x_1^2>x_2^2),故选(D).

    意想不到的换元,两个不同结构的函数同时换元

    【2017(cdot)全国卷3理科第12题】比如我们想研究函数(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x})的性质,

    分析:令(x-1=t)时,则原函数变形为(f(x)=x^2-2x+1+e^{x-1}+e^{1-x}-1=(x-1)^2+e^{x-1}+e^{1-x}-1)

    则原函数转化为(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1)

    [搜索我们的知识储备]由于(y=t^2)为偶函数,且在([0,+infty))上单调递增,

    由于(y=e^t+e^{-t})为偶函数,且在([0,+infty))上单调递增,

    故函数(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1)([0,+infty))上单调递增,且(g(t))为偶函数。

    故函数(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x}),关于直线(x=-1)对称,

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