和事件的概率求法

前言

当见到求(P(A+B))时，绝大多数学生的反应是(P(A+B)=P(A)+P(B))，其实这是不对的，原因是这个公式的使用是有前提条件的，到底是什么，请耐心阅读以下内容。就比如(log_2 M^2=2log_2M)，其前提是(M>0)。所以使用公式需要明确公式使用的前提条件。

注意事项

• 分析和事件中各子事件的关系

依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

• 理解和事件表达的含义，这是关键

不论各子事件的关系如何，事件(A+B)含义都是“事件(A)，(B)中至少有一个发生”；事件(A+B+C)含义都是“事件(A)，(B)，(C)中至少有一个发生”；

加号仅仅是将这几个事件相连，并不能决定事件之间的关系，事件的关系要依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

和事件概率

当事件(A)，(B)互斥时，(P(A+B)=P(A)+P(B))；

当事件(A)，(B)不互斥时，(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))；

当事件(A)，(B)相互独立时，(P(A+B)=1-P(ar{A})P(ar{B}))；

如何从形的角度理解互斥事件和相互独立事件？

互斥事件可以理解为桌面上的几个圆，这些圆要么相交，要么相切或者相离，当相切或者相离时，意味着事件之间互斥；当这些事件相交时，意味着这些事件不互斥；

相互独立事件可以理解为位于不同高度书架上的不同的书籍，其中一层上书籍与另一层上的书籍之间没有任何关联关系；

典例剖析

例1【2018凤翔中学课时作业】抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字(1，2，3，4，5，6))，事件A表示“朝上一面的数字是奇数”，事件B表示“朝上一面的数字不超过2”，则(P(A+B))=__________.

错解：由题目容易知道，(P(A)=cfrac{3}{6})，(P(B)=cfrac{2}{6})，故(P(A+B)=P(A)+P(B)=cfrac{5}{6})。其实这个解法是错误的。原因是事件(A，B)不是互斥的，因为如果点数是(1)，则事件(A，B)都发生了，

故彼此不互斥，此时不能使用(P(A+B)=P(A)+P(B))公式计算。

那么，该如何计算呢？

此时我们使用和事件的一般加法法则：(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))，

法1：(P(A)=cfrac{3}{6})，(P(B)=cfrac{2}{6})，(P(AB)=cfrac{1}{6})，

故(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=cfrac{3}{6}+cfrac{2}{6}-cfrac{1}{6}=cfrac{4}{6}=cfrac{2}{3})。

也可以这样思考，(P(A)=cfrac{n(A)}{n(Omega )})，其中(Asubseteq Omega)，(n(Omega ))指试验包含的基本事件集合中的元素个数，(n(A))指事件(A)包含的基本事件集合中的元素个数；

法2：古典概型法，试验包含的基本事件集合中的元素为(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，元素个数为(6)，事件(A)的集合中的元素为(1)，(2)，(3)，(5)，元素个数为(4)，故所求概率为(P(A)=cfrac{4}{6}=cfrac{2}{3})。

解后反思：见到题目中的(P(A+B))，不要一味的只想到(P(A+B)=P(A)+P(B))，应该判断事件的关系在先，就像研究函数一样，定义域优先。

如果满足互斥，则使用公式(P(A+B)=P(A)+P(B))来计算；如果不满足互斥，则使用公式(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))来计算。

例2若事件(A)，(B)，(C)相互独立，且(P(A)=0.25)，(P(B)=0.50)，(P(C)=0.40)，则(P(A+B+C))等于【】

$A、0.80$ $B、0.15$ $C、0.55$ $D、0.775$

分析：由于事件(A)，(B)，(C)相互独立，则事件(A+B+C)表示事件(A)发生，或事件(B)发生，或事件(C)发生，即事件(A)，(B)，(C)中至少有一个发生，其对立面是一个都没有发生，

故(P(A+B+C)=1-P(ar{A})cdot P(ar{B})cdot P(ar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)])

(=1-0.225=0.775)，故选(D)。

常见错误：

①(P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C))；

②(P(A+B+C)=P(A)cdot P(B)cdot P(C))；

• 用加号相连的事件之间的关系，一般是互斥的，但也有其他的关系，比如本题目。