几何概型

前言

几何概型

• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

• 两个基本特点：

无限性：可能出现的所有结果的无限性，

等可能性：每个结果的发生具有等可能性。

• 随机模拟方法：几何概型的应用

• 思维体操：

(qquadqquadqquad)古典概型 (qquadqquadqquadqquadqquadqquad) 几何概型

(aqquadquadin{1，2，3，4，5，6}xlongequal[有限Rightarrow无限]{一维} aqquadquadin [1，6])，用一维数轴刻画

(a,bquadquad in{1，2，3，4，5，6}xlongequal[有限Rightarrow无限]{二维} a,bquadquadin [1，6])，用二维直角坐标系刻画

(a,b,cquad;in{1，2，3，4，5，6}xlongequal[有限Rightarrow无限]{三维} a,b,cquadin [1，6])，用三维空间坐标系刻画

概率公式

[P(A)=cfrac{事件A的所有结果构成的区域的测度}{实验的所有结果构成区域的测度} ]

“测度”指的是：长度[线段长度或弧长]、角度、面积、体积、时间等。

古典+几何

廓清认知

例1【用于廓清概念】从区间([-5，5])内任取一个数，求取到1的概率。

分析：本题目的所有结果有无限个，又有等可能性，故是几何概型。 其概率是(P(A)=cfrac{0}{10}=0)

所以说，不可能事件(A)的概率(P(A)=0)，但是反之不成立， 比如上例中概率为0，但是却是随机事件，不是不可能事件。

• 易混题型

例2 如图在(Delta ABC)中，(angle B=60^{circ})，(angle C=45^{circ})，高(AD=sqrt{3})，在(angle BAC) 内作射线(AM)交(BC)于点(M)，则(BM<1)的概率是【】

分析：本题是角度型几何概型， (P=cfrac{30^{circ}}{75^{circ}}=cfrac{2}{5})。

解后反思：本例容易错误的理解为长度性几何概型， 主要是射线(AM)扫过(angle BAC)时，用角度度量是等可能的，用长度度量不是等可能的。用课件说明：如图动画所示，当射线(AM)扫过(angle BAC)时，我们可以看到是等速的，也就是等可能的，但是当我们看点(M)在线段(BC)上的速度时，会发现快慢不一样，即不是等速的，也就是说不是等可能的，故此时不能用线段(BC)的长度来度量，而应该用角度度量。

例2-对照 如上图在(Delta ABC)中，(angle B=60^{circ})，(angle C=45^{circ})，高(AD=sqrt{3})，在(BC)上任取一点(M)，则(BM<1)的概率是__________。

分析：本题目是长度型的几何概型，(P=cfrac{1}{1+sqrt{3}}=cfrac{sqrt{3}-1}{2})。

解后反思：等可能性不是我们说等可能就能保证等可能的。

在(angle BAC) 内作射线(AM)交(BC)于点(M)，意味着角度型；在(BC)上任取一点(M)，意味着长度型；

• 长度型和面积型的区分

比如，从区间([0，1])上分别任意取数字(x)和(y)，这时候理解为长度型是不合适的，原因是取到(x)值时会对取(y)值产生影响；此时我们常常将两个区间正交放置，此时由无数个点((x，y))形成的区域是边长为1的正方形，故应该是面积型几何概型。

典例剖析

• 长度型几何概型

例1【2017高考江苏】记函数(f(x)=sqrt{6+x-x^2})的定义域为(D)，在区间([-4，5])上随机取一个数(x)，则(xin D)的概率为______________。

分析：由(6+x-x^2ge 0)，解得(-2leq xleq 3)，由长度型几何概型可知，(P=cfrac{3-(-2)}{5-(-4)}=cfrac{5}{9})。

例2【2015高考山东卷】在区间([0，2])上随机取一个数(x)，则事件“(-1leq log_{frac{1}{2}}(x+cfrac{1}{2})leq 1)”发生的概率为【】

$A.cfrac{3}{4}$ $B.cfrac{2}{3}$ $C.cfrac{1}{3}$ $D.cfrac{1}{4}$

分析：由(-1leq log_{frac{1}{2}}(x+cfrac{1}{2})leq 1)解得，(0leq xleq cfrac{3}{2})，由长度型几何概型可知，(P=cfrac{frac{3}{2}-0}{2-0}=cfrac{3}{4})。故选(A)。

例3【2016高考山东卷】在区间([-1，1])上随机取一个数(k)，则事件“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________.

分析：圆心为((5，0))，半径为(r=3)，故由直线与圆相交可得(d=cfrac{|5k-0|}{sqrt{k^2+1}}<3)，解得(-cfrac{3}{4}<k<cfrac{3}{4})，

故所求概率为(P=cfrac{cfrac{3}{4}-(-cfrac{3}{4})}{1-(-1)}=cfrac{3}{4})。

说明：由直线与圆相交可得，(Delta >0)，也可以解得(-cfrac{3}{4}<k<cfrac{3}{4}).

• 角度型几何概型

例2 如图在(Delta ABC)中，(angle B=60^{circ})，(angle C=45^{circ})，高(AD=sqrt{3})，在(angle BAC) 内作射线(AM)交(BC)于点(M)，则(BM<1)的概率是【】

分析：本题是角度型几何概型， (P=cfrac{30^{circ}}{75^{circ}}=cfrac{2}{5})。

• 时间型几何概型

例2【2016高考全国卷乙】某公司的班车在(7：00)，(8：00)，(8：30)发车，小明在(7：50)至(8：30)之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过(10)分钟的概率为【】

$A.cfrac{1}{3}$ $B.cfrac{1}{2}$ $C.cfrac{2}{3}$ $D.cfrac{3}{4}$

分析：小明到达的时刻用40分钟来度量，其中等车时间不超过(10)分钟的时间段是$7：50sim $$8：00$和$8：20sim $$8：30$，故所求为时间型几何概型；

故(P=cfrac{10+10}{40}=cfrac{1}{2})，故选(B)。

• 面积型几何概型

例3【2016高考全国卷甲】从区间([0，1])随机抽取(2n)个数(x_1)，(x_2)，(cdots)，(x_n)，(y_1)，(y_2)，(cdots)，(y_n)，构成(n)个数对((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_n，y_n))，其中两数的平方和小于1的数对共有(m)个，则用随机模拟的方法得到的圆周率(pi)的近似值为【】

$A.cfrac{4n}{m}$ $B.cfrac{2n}{m}$ $C.cfrac{4m}{n}$ $D.cfrac{2m}{n}$

分析：由(n)个数对(点的坐标)构成的是边长为1的正方形，故属于面积型几何概型，两数的平方和小于1的数对(点的坐标)在四分之一个单位圆内部，

故由随机模拟方法可知，(cfrac{m}{n}approx cfrac{frac{1}{4} imes pi imes 1^2}{1 imes 1}=cfrac{pi}{4})，即(piapprox cfrac{4m}{n})，故选(C)。

• 体积型几何概型

例3在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(O)为底面(ABCD)的中心，在正方体(ABCD) (-A_1B_1C_1D_1)内随机取一点(P)，则点(P)到点(O)的距离大于1的概率为_____________。

分析：点(P)的所有结果用正方体的体积来度量，当点(P)到点(O)的距离等于1时，点(P)在球心为(O)的半球面上，则当点(P)到点(O)的距离大于1时，点(P)在球心为(O)的半球外部且在正方体的内部，

故所求(P=cfrac{2^3-cfrac{1}{2} imes cfrac{4}{3} imes pi imes 1^3}{2^3}=1-cfrac{pi}{12})。

例4【2018哈尔滨模拟】在体积为(V)的三棱锥(S-ABC)的棱(AB)上任取一点(P)，则三棱锥(S-APC)的体积大于(cfrac{V}{3})的概率是_____________。

分析：如图所示，三棱锥(S-ABC)与三棱锥(S-APC)的高相同，

要使三棱锥(S-APC)的体积大于(cfrac{V}{3})，只需( riangle APC)的面积大于( riangle ABC)的面积的(cfrac{1}{3})，

假设点(P')是线段(AB)靠近点(A)的三等分点，则三棱锥(S-APC)的体积大于(cfrac{V}{3})发生的区域应该是线段(P'B)，

故所求为(P=cfrac{P'B}{AB}=cfrac{2}{3})。

解后反思：本题目由体积型几何概型入手，利用两个几何体的高度相同将体积之比转化为面积之比，再利用两个三角形的高度相同将面积之比转化为线段之比，从而转化为长度型几何概型求解。

例5【2019高三理科数学三轮模拟试题】如图，在正方形(ABCD)区域内，随机取一点(P(x，y))，则点(P)来自阴影部分的概率是【】

$A.cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{4}$ $D.cfrac{1}{6}$

分析：由于(S_{阴影}=int_0^1(sqrt{x}-x^2);dx=cfrac{2}{3}cdot x^{frac{3}{2}}|_0^1-cfrac{1}{3}cdot x^3|_0^1=cfrac{2}{3}-cfrac{1}{3}=cfrac{1}{3})，又正方形的面积为1，则所求概率为(cfrac{1}{3})，故选(B)。

引申：①(S_{阴影}=cfrac{1}{3})，则其三等分正方形。

例6【2019高三理科数学三轮模拟试题】下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若钱币，寓意富贵吉祥，现向圆形区域随机撒(m(min N^*))粒芝麻，则落在阴影部分区域(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的芝麻的粒数为【】

$A、cfrac{1}{3}m$ $B、cfrac{1}{4}m$ $C、cfrac{2pi-4}{pi}m$ $D、cfrac{4-pi}{pi}m$

提示：选(D)。

难点题型

例3【2016宝鸡市二检理科第10题】在边长为(4)的等边三角形( riangle OAB)的内部任取一点(P)，使得(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OP}leqslant 4)的概率为【】

$A.cfrac{1}{8}$ $B.cfrac{1}{4}$ $C.cfrac{1}{3}$ $D.cfrac{1}{2}$

分析：在边长为(4)的等边三角形( riangle OAB)的内部任取一点(P)，则点(P)的所有结果构成等边三角形区域，其结果应该用(S_{ riangle OAB})来度量；

做出如下的示意图，当在三角形内部取点(P)时，应该满足一定的条件

由(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OP}leqslant 4)，即(4 imes |overrightarrow{OP}|cos hetaleqslant 4)，

即(|overrightarrow{OP}|cos hetaleqslant 1)，即向量的射影的长度(|OD|leqslant 1)，

故点(P)只能落在( riangle ODE)中，故其所有结果应该用(S_{ riangle ODE})来度量，

由于(|OD|=1)，(|DE|=sqrt{3})，故所求概率为(cfrac{S_{ riangle ODE}}{S_{ riangle OAB}}=cfrac{frac{1}{2} imes 1 imes sqrt{3}}{frac{1}{2} imes 4 imes 4 imes frac{sqrt{3}}{2}}=cfrac{1}{8})，故选(A)。

例4已知(P)为圆(C_1：x^2+y^2=9)上任意一点， (Q)为圆(C_2：x^2+y^2=25)上任意一点，(PQ)的中点组成的区域为(M)， 在(C_2)内任取一点，则该点落在区域(M)上的概率为【】

$A、cfrac{1}{5}$ $B、cfrac{2}{5}$ $C、cfrac{3}{5}$ $D、cfrac{4}{5}$

分析：由题目知，设点(P(3cos heta，3sin heta))，(Q(5cosphi，5sinphi))，(M(x，y))，

则(x=cfrac{3cos heta+5cosphi}{2}，y=cfrac{3sin heta+5sinphi}{2})

则(x^2+y^2=cfrac{17}{2}+cfrac{15}{2}cos( heta-phi)=r^2(1leq r leq 4))

所以(P=cfrac{16pi-pi}{25pi}=cfrac{3}{5})，

例5若(xin A)，且(cfrac{1}{x}in A)，则称(A)是“伙伴关系集合”。在集合(M={-1,0,cfrac{1}{4},cfrac{1}{3},cfrac{1}{2},1,2,3,4})的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率是【】

$A、cfrac{1}{17}$ $B、cfrac{1}{51}$ $C、cfrac{31}{511}$ $D、cfrac{15}{511}$

分析：集合(M)的所有非空子集有(2^9-1=511)种，从中任选一个集合有(C_{511}^1=511)种，

而其中是“伙伴关系集合”，是从集合({-1，1，2(frac{1}{2})，3(frac{1}{3})，4(frac{1}{4})})中，

任选(1，2，3，4，5)个构成的集合，

说明：其中(4(frac{1}{4}))表示这两个值绑定为一个；

所以共有(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5-1=31)种，故所求概率(P=cfrac{31}{511})。

例5甲、乙两人约定某天晚上(7:00 sim 8:00)之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待甲即可离去，那么两个人能会面的概率是【】

$A.cfrac{1}{3}$ $B.cfrac{1}{8}$ $C.cfrac{3}{8}$ $D.cfrac{5}{9}$

分析：如右图所示，令(7:00)对应0，(8:00)对应1，设甲乙两人到达的时刻分别为(x，y)，则其相当于在区间([0，1])上取值一样，“约定甲早到应等乙半小时”即(y-xleq cfrac{1}{2})，即(x-y ge -cfrac{1}{2})，“乙早到无需等待甲即可离去”意味着(x-y>0)，那么两人会面应该满足条件(-cfrac{1}{2}leq x-y leq 0)，

即右图中的阴影部分，所以所求的概率为(P=1-cfrac{cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2} imes 1 imes 1}{1}=cfrac{3}{8}).

本题目的难点有以下三个：

①到底该是用一维来刻画还是用二维来刻画；两个刻画时刻的数轴的呈现方式，到底该平行还是垂直，还是斜交。

②关于时刻的转化，(7:00)对应数值(0)，(8:00)对应数值(1)，则(7:00 sim 8:00)任一时刻的到达对应区间[0，1]的任意取值。半小时对应数字(cfrac{1}{2}).

③将甲、乙两人会面的文字条件转化为数学语言，即线性不等式组。

【解后反思】①本题目通过设置两个变量(x)，(y)，将已知的文字语言转化为(x)，(y)所满足的不等式(数学语言)，进而转化为坐标平面内的点((x，y))的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型几何概型。

②若题目中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解。

例6在区间([0，2])上随机的取两个数(x，y)，则(xyin[0，2])的概率是 _________.

分析：课件示意图，面积型几何概型，

故所求概率(P=cfrac{4-int_1^2(2-cfrac{2}{x});dx}{4}=cfrac{4-(2x|_1^2-2lnx|_1^2)}{4}=cfrac{1+ln2}{2})

给出方式

• 总结长度型几何概型的事件的给出方式

在区间([-5，5])上随机取一个数(k)，则事件(A：)“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________。

则①以直线和圆相交的方式给出；

②以定义域的方式给出；

③以函数单调递增的方式给出，比如使得函数(f(x)=x^3+mx^2+3x)在(R)上单调递增的概率，即求(f'(x)ge 0)的解集；

④以不等式的解集形式给出，比如(A={xmid cfrac{x-1}{2-x}>0})；

⑤以三角不等式的形式给出，比如(A：sinx+sqrt{3}cosxleq 1)；