概率与统计可能考向收集整理[三轮总结]

前言

概率与统计中的常见考查角度

考查概率，

涉及古典概型或几何概型，或条件概率

例1在集合(A={2，3})中随机取一个元素(m)，在集合(B={1，2，3})中随机取一个元素(n)，得到点(P(m，n))，则点(P)在圆(x^2＋y^2＝9)内部的概率为【】

$A.cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{3}{4}$ $D.cfrac{2}{5}$

分析：古典概型，点(P(m，n))共有$(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)$6种情况，

只有((2,1)，(2,2))这2个点在圆(x^2＋y^2＝9)的内部，所求概率为(cfrac{2}{6}＝cfrac{1}{3})。

例2如图在(Delta ABC)中，(angle B=60^{circ})，(angle C=45^{circ})，高(AD=sqrt{3})，在(angle BAC) 内作射线(AM)交(BC)于点(M)，

则(BM<1)的概率是（(hspace{1cm})）。

分析：本题是角度型几何概型，

(P=cfrac{30^{circ}}{75^{circ}}=cfrac{2}{5})。

例3有一批种子的发芽率为(0.9)，出芽后的幼苗成活率为(0.8)，在这批种子中,随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

分析：本题目为条件概率[理科题目]，
设“种子发芽”为事件(A)，“种子成长为幼苗”为事件(AB)(发芽，又成活为幼苗)

出芽后的幼苗成活率为(P(B|A)=0.8)，(P(A)=0.9)，

根据条件概率公式(P(AB)=P(B|A)cdot P(A)=0.8×0.9=0.72)，

即这粒种子能成长为幼苗的概率为(0.72).

利用互斥事件或者对立事件的概率考查

例4某商场举行有奖促销活动，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有一个红球，则获得二等奖；若没有红球，则没有获奖，

(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。

【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件(A)，“抽奖一次能获二等奖”为事件(B)，

“顾客抽奖一次能获奖”为事件(C)，则事件(A、B)是互斥事件，且(C=A+B)，两次抽奖是相互独立事件，

则(P(A)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{20}{100})，

(P(B)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{50}{100})

故(P(C)=P(A+B)=cfrac{70}{100}=cfrac{7}{10})。

【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件(D)，

则(P(C)=1-P(D)=1-cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{7}{10})。

特征数据

考查统计案例，频率分布直方图中的特征数据，如平均数、中位数、众数等

例4【题文】如右图所示，求该频率分布直方图的众数、中位数、平均数、方差。

解释：以右图题目为例，

求众数：“旧养殖法”的众数为(47.5)；“新养殖法”的众数为(52.5)；

求中位数：“旧养殖法”的中位数先判断其大概位置，由于(25-50)之间的面积和为(0.62)，25-45之间的面积和为(0.42)，

故中位数一定位于(45-50)之间，设中位数为(x)，则(0.42+(x-45) imes0.04=0.50)，求得(x=47)，即中位数为(47)。

求平均数：比如“旧养殖法”的平均数的计算

(ar{x}=27.5 imes5 imes0.012+32.5 imes5 imes0.014)

(+37.5 imes5 imes0.024+42.5 imes5 imes0.034)

(+47.5 imes5 imes0.040+52.5 imes5 imes0.032)

(+57.5 imes5 imes0.020+62.5 imes5 imes0.012+67.5 imes5 imes0.012)

(=47.1；)

“新养殖法”的平均数的计算

(ar{y}=37.5 imes5 imes0.004+42.5 imes5 imes0.020)

(+47.5 imes5 imes0.044+52.5 imes5 imes0.068)

(+57.5 imes5 imes0.046+62.5 imes5 imes0.010+67.5 imes5 imes0.008)

(=52.35；)

求方差：比如“新养殖法”的方差计算

(S^2=(37.5-52.35)^2 imes 0.004 imes 5+(42.5-52.35)^2 imes 0.020 imes 5+(47.5-52.35)^2 imes 0.044 imes 5)

(+(52.5-52.35)^2 imes 0.068 imes 5+(57.5-52.35)^2 imes 0.046 imes 5)

(+(62.5-52.35)^2 imes 0.010 imes 5+(67.5-52.35)^2 imes 0.008 imes 5)

(=?)

感悟反思：

1、深入理解频率分布直方图，掌握众数、中位数、平均数、方差的算法；

2、为什么平均数要这样计算？
比如给定数据(1，2，3，4，5)的平均数的算法是(ar{x}=cfrac{1+2+3+4+5}{5}=3)，
那么给定数据(2，2，4，4，4)的平均数的算法是
(ar{x}=cfrac{2+2+4+4+4}{5}=cfrac{2 imes 2+4 imes 3}{5})
(=2 imes cfrac{2}{5}+4 imes cfrac{3}{5})，
表达式中的(cfrac{2}{5})和(cfrac{3}{5})的含义就是(cfrac{频数}{样本容量}=频率)。

考察用样本数据特征估计总体的数据特征

例4-1【2020届宝鸡质检1文数第18题】某校对2019年入校的(400)名新生进行入校考试，根据男女学生的比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了(100)名学生，记录他们的分数，将数据分成(7)组：([20,30))，([30,40))，(cdots)，([80,90])，并整理成如下的频率分布直方图：

(1).从总体的(400)名学生中随机抽取一人，估计其分数小于(70)的概率；

分析：解答本题目应该注意到两点：①用频率分布直方图计算出来的其实是频率，我们只是用此频率粗略的估计概率；②计算所得的概率是直方图中的(100)个样本数据的概率，还需要用此样本数据的概率粗略的估计总体数据(400)的概率；据此计算说明如下：

由频率分布直方图可知，样本中分数小于(70)的频率：(1-(0.02+0.04) imes 10=0.4)，

所以从总体的(400)名学生中随机抽取一人，其分数小于(70)分的概率为(0.4)；

(2).已知样本中分数小于(40)的学生的学生有(5)人，试估计总体中分数在([40,50))内的人数；

分析：学生易错的问题，忘记用样本数据来估计总体数据，其本质是没有理解数学的学习本质，是为了服务生产和生活；

由题意可知，样本中分数不小于(50)的频率为((0.01+0.02+0.04+0.02) imes 10=90)，

则分数在([40，50))内的人数为(100-100 imes 0.9-5=5)，即样本中分数在([40，50))内的频率[或概率]为(cfrac{5}{100}=0.05)，

则总体中分数在([40，50))内的频率[或概率]为(cfrac{5}{100}=0.05)，分数在([40，50))内的人数为(400 imes 0.05=20)；

(3).学生易错的问题，由题可知，样本中分数不小于(70)的人数为((0.02+0.04) imes 10 imes 100=60)，

所以样本中分数不小于(70)分的男生人数为(60 imes cfrac{1}{2}=30)；

则样本中男生人数为(30 imes 2=60)，故样本中女生人数为(100-60=40)，

所以样本中男生和女生人数的比例为(60:40=3:2)，由分层抽样原理可知，

估计总体中的男生和女生人数的比例为(3:2).

统计部分

考查统计案例，线性回归方程的相关问题

例5【对统计大数据的预处理】【2019高三理科数学第二次月考第18题】某地随着经济发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

月份(x)	2011	2012	2013	2014	2015
储蓄存款(y)(千亿元)	5	6	7	8	10

为便于计算，将上表做一处理，令(t=x-2010)，(z=y-5)，得到下表2：

时间代号(t)	1	2	3	4	5
(z)	0	1	2	3	5

附可能用到的公式：线性回归直线为(widehat{y}=widehat{b}x+widehat{a})，

(widehat{b}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})(y_i-ar{y})}}{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})^2}}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{x_iy_i-ncdotar{x}cdotar{y}}}{sumlimits_{i=1}^n{x_i^2-ncdotar{x}^2}})，

(widehat{a}=ar{y}-widehat{b}cdotar{x}).

(1)求(z)关于(t)的线性回归方程。

分析：需要先注意(z ightarrow y;;)，(t ightarrow x;;)，然后将所给的公式翻译为关于(z)和(t)的公式，这涉及到数学素养，公式的正向迁移。

由表格可知，(ar{t}=3)，(ar{z}=2.2)， (sumlimits_{i=1}^5{t_iz_i}=45)， (sumlimits_{i=1}^5{t_i^2}=55)，

故(widehat{b}=cfrac{sumlimits_{i=1}^n{t_iz_i-ncdotar{t}cdotar{z}}}{sumlimits_{i=1}^n{t_i^2-ncdotar{t}^2}})，

(=cfrac{45-5 imes 3 imes 2.2}{55-5 imes 9}=1.2)，

(widehat{a}=ar{z}-widehat{b}cdotar{t}=2.2-3 imes 1.2=-1.4)。

故(hat{z}=1.2t-1.4)。

(2)通过(1)中的方程，求出(y)关于(x)的线性回归方程。

分析：将(t=x-2010)，(z=y-5)代入(hat{z}=1.2t-1.4)，

得到(y-5=1.2 imes (x-2010)-1.4)，

即(hat{y}=1.2x-2408.4)。

(3)用所求的线性回归方程预测，到(2020)年底，该地的储蓄存款余额可达到多少？

分析：当(x=2020)时，代入(hat{y}=1.2x-2408.4)，

得到(hat{y}=1.2 imes 2020-2408.4=15.6(千亿元))。

相关链接：数据预处理的不同思路，数据预处理

统计案例

独立性检验的相关问题

例6【2019届高三理科数学信息题】现在微信支付已成为人们日常流行的一种付款方式，某大型超市为了鼓励顾客使用微信支付，特举办微信支付活动一个月，规定：凡是在这个月内使用微信付款次数达到60次即由精美奖品，否则无奖品。现从该超市数据信息中随机选取已使用微信付款的40名顾客，且男女比例相同，将他们的数据整理如下表：

次数	<40	40~49	50~59	60~69	$ge $70
男	(2)	(3)	(2)	(7)	(6)
女	(1)	(3)	(8)	(6)	(2)

（1）根据题意完成下面的(2 imes 2)列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“是否获奖”与“性别”有关？

	有奖	无奖	总计
男	(13)	(7)	(20)
女	(8)	(12)	(20)
总计	(21)	(19)	(40)

(chi^2=cfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=cfrac{40(13 imes12-7 imes 8)^2}{20 imes20 imes21 imes19}approx 2.5<2.706)，

所以没有90%的把握认为“是否获奖”与“性别”有关。

（2）在这40名顾客中，从支付次数达到70的人中随机抽取3人，设抽取的女性有(X)人，求(X)的分布列及数学期望(E(X))。
附：参考公式(chi^2=cfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，

参考数据：

解析：支付次数达到70的顾客共有8人，其中6名男性，2名女性，从中随机抽取3人，抽取的女性人数服从超几何分布，(X)的所有可能取值为(0，1，2)

且(P(X=0)=cfrac{C_6^3}{C_8^3}=cfrac{20}{56})，(P(X=1)=cfrac{C_2^1C_6^2}{C_8^3}=cfrac{30}{56})，

(P(X=2)=cfrac{C_2^2C_6^1}{C_8^3}=cfrac{6}{56})，

所以分布列如下，略。

数学期望为(E(X)=0 imes cfrac{20}{56}+1 imes cfrac{30}{56}+2 imes cfrac{6}{56}=cfrac{3}{4})。

离散型随机变量

离散型随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望、方差，及性质

例6【2018陕西省第三次质量检测数学理科第19题】2018年春节期间，为了解市民对西安地铁运营状况的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对其评分(满分为100分，评分均为整数)，绘制频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度。现从全市市民中随机抽取了4人，估计这4人中至少有2人非常满意的概率；

(2)在等级为不满意市民中，老年人占比(cfrac{1}{3})，现从该等级市民中按年龄分层抽取了15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记(X)为老年督导员的人数，求(X)的分布列和数学期望(E(X)).
(3)相关部门对西安地铁运营状况进行评估，评估的硬指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于0.8，否则需要整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由。(说明：满意指数=(cfrac{满意程度的平均分}{100}))

【分析】：(1)首先由频率分布直方图计算得到(a=0.025)，市民非常满意的概率为(0.025 imes 10=0.25=cfrac{1}{4})，

注解：由题目可知市民的满意度评分相互独立，随机抽取4人做调查，到此我们就可以理解相当于做了4次独立重复试验，

每次试验满意概率为(cfrac{1}{4})，不满意概率为(cfrac{3}{4})，这样就只能考虑二项分布而不是超几何分布了。

令满意人数为(X)，则(Xsim B(4，cfrac{1}{4}))，且(P(X=k)=C_4^kcdot (cfrac{1}{4})^kcdot (cfrac{3}{4})^{4-k})，(k=0，1，2，3，4)

故所求的概率即(P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=cfrac{67}{256})，

或(P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C_4^0cdot (cfrac{1}{4})^0cdot (cfrac{3}{4})^{4}-C_4^1cdot (cfrac{1}{4})^1cdot (cfrac{3}{4})^{3}=cfrac{67}{256}).

(2)抽取的15中，老年人占(15 imes cfrac{1}{3}=5)，其他人占10人，从中抽取3人担任督导员，是无放回抽取，故容易理解是超几何分布。

且 (Xsim Hleft(15，5，3 ight))，(P(X=k)=cfrac{C_3^kC_{10}^{3-k}}{C_{15}^3}，k=0，1，2，3)；

故(P(X=0)=cfrac{C_3^0C_{10}^{3}}{C_{15}^3}=cfrac{24}{91})，(P(X=1)=cfrac{C_3^1C_{10}^{2}}{C_{15}^3}=cfrac{45}{91})，

(P(X=2)=cfrac{C_3^2C_{10}^{1}}{C_{15}^3}=cfrac{20}{91})，(P(X=3)=cfrac{C_3^3C_{10}^{0}}{C_{15}^3}=cfrac{2}{91})，

分布列从略。

(EX=0 imes cfrac{24}{91}+1 imescfrac{45}{91}+2 imescfrac{20}{91}+3 imescfrac{2}{91}=1)

(3)由频率分布直方图求平均数，得到，

((45 imes 0.002+55 imes 0.004+65 imes 0.014+75 imes 0.02+85 imes 0.035+95 imes 0.025) imes 10=80.7)

即市民满意度的平均分为(80.7)，满意度指数为(cfrac{80.7}{100}=0.807>0.8)；

即地铁运营状况能够通过验收。

例7题【概率，贝努里概型】某商场举行有奖促销活动，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有一个红球，则获得二等奖；若没有红球，则没有获奖，

(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。

【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件(A)，“抽奖一次能获二等奖”为事件(B)，

“顾客抽奖一次能获奖”为事件(C)，则事件(A、B)是互斥事件，且(C=A+B)，两次抽奖是相互独立事件，

则(P(A)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{20}{100})，

(P(B)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{50}{100})

故(P(C)=P(A+B)=cfrac{70}{100}=cfrac{7}{10})。

【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件(D)，

则(P(C)=1-P(D)=1-cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{7}{10})。

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得一等奖的次数为(X)，求(X)的分布列、数学期望和方差。

由于顾客在每次抽奖过程中，中一等奖的概率都为(cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{1}{5})，

那么此人抽奖3次，相当于做了3次独立重复实验，故(Xsim B(3，cfrac{1}{5}))，(X=0，1，2，3)；

即(P(X=k)=C_3^kcdot (cfrac{1}{5})^k(1-cfrac{1}{5})^{3-k})，(k=0，1，2，3)；

则(P(X=0)=C_3^0cdot (cfrac{1}{5})^0(1-cfrac{1}{5})^{3-0}=cfrac{64}{125})，

(P(X=1)=C_3^1cdot (cfrac{1}{5})^1(1-cfrac{1}{5})^{3-1}=cfrac{48}{125})，

(P(X=2)=C_3^2cdot (cfrac{1}{5})^2(1-cfrac{1}{5})^{3-2}=cfrac{12}{125})，

(P(X=3)=C_3^3cdot (cfrac{1}{5})^3(1-cfrac{1}{5})^{3-3}=cfrac{1}{125})，

分布列略，数学期望为(EX=3 imes cfrac{1}{5}=cfrac{3}{5})

方差为(DX=3 imes cfrac{1}{5} imes (1-cfrac{1}{5})=cfrac{12}{25})

解后反思：

1、求复杂事件的概率，需要将复杂事件分化为几个简单的事件，且必须弄清楚个事件之间的关系，这会决定后续的计算是用加法还是乘法。

2、(n)次独立重复实验中，离散型随机变量(Xsim B(n，p))，则(EX=np)，(DX=np(1-p))。

连续型随机变量

考查连续型随机变量的概率，简单的正态分布知识

例7 https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6588675.html

高阶综合

例8【2015新课标Ⅰ第19题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(x)(单位：千元)对年销售量(y)(单位：t)和年利润(z)(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费(x_i)和年销售量(y_i)((i=1，2，…，8))数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

(ar{x})	(ar{y})	(ar{w})	(sumlimits_{i=1}^{8}{(x_i-ar{x})^2})	(sumlimits_{i=1}^{8}{(w_i-ar{w})^2})	(sumlimits_{i=1}^{8}{(x_i-ar{x})(y_i-ar{y})})	(sumlimits_{i=1}^{8}{(w_i-ar{w})(y_i-ar{y})})
(46.6)	(563)	(6.8)	(289.8)	(1.6)	(1469)	(108.8)

表中(w_i=sqrt{x_i})，(ar{w}=cfrac{1}{8}sumlimits_{i=1}^{8}{w_i})，

附：对于一组数据((u_1，v_1))，((u_2，v_2))，(cdots)，((u_n，v_n))，其回归直线(v=alpha+eta u)的斜率和截距的最小二乘估计分别为(hat{eta}=cfrac{sumlimits_{i=1}^{8}{(u_i-ar{u})(v_i-ar{v})}}{sumlimits_{i=1}^{n}{(u_i-ar{u})^2}})，(hat{alpha}=ar{v}-hat{eta}ar{u})，

（Ⅰ）根据散点图判断，(y=a+bx)与(y=c+dsqrt{x})哪一个适宜作为年销售量(y)关于年宣传费(x)的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

分析：由散点图可以分析，(y=c+dsqrt{x})更适宜作为年销售量(y)关于年宣传费(x)的回归方程类型，图中的变量呈现曲线回归。

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立(y)关于(x)的回归方程；

分析：令(w=sqrt{x})，先建立(y)关于(w)的线性回归方程，

由于(hat{d}=cfrac{108.8}{1.6}=68)，

则(hat{c}=ar{y}-hat{d}ar{w}=563-68 imes 6.8=100.6)，

所以(y)关于(w)的线性回归方程为(hat{y}=100.6+68w)，

即(y)关于(x)的线性回归方程为(hat{y}=100.6+68sqrt{x}).

（Ⅲ）已知这种产品的年利润(z)与(x)、(y)的关系为(z=0.2y-x)，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费(x=49)时，年销售量及年利润的预报值是多少？

分析：由（Ⅱ）知，年宣传费(x=49)时，年销售量的预报值(hat{y}=100.6+68sqrt{49}=576.6)，

年利润(z)的预报值(hat{z}=0.2 imes 576.6-49=66.32)。

（ii）年宣传费(x)为何值时，年利润的预报值最大？

分析：由（Ⅱ）知，年利润(z)的预报值(hat{z}=0.2 imes (100.6+68sqrt{x})-x)

(=-x+13.6sqrt{x}+20.12=-[(sqrt{x})^2-13.6sqrt{x}]+20.12)

当(sqrt{x}=cfrac{13.6}{2}=6.8)时，即当(x=46.24)时年利润的预报值最大。

例9【2017全国卷1理科19题高考真题】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取(16)个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(N(mu，sigma^2))．

（1）假设生产状态正常，记(X)表示一天内抽取的(16)个零件中其尺寸在((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的零件数，求(P(X≥1))及(X)的数学期望；

分析：由题可知，尺寸落在((mu-3sigma，mu+3sigma))之内的概率为(0.9974)，

则尺寸落在((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的概率为(1-0.9974=0.0026)，

因为(P(X=0)=C_{16}^0 imes (1-0.9974)^0 imes 0.9974^{16}=0.9592)，

所以(P(Xge 1)=1-P(X=0)=0.0408)。

又由于(Xsim B(16，0.0026))，故(E(X)=16 imes 0.0026=0.0416)。

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

分析：如果生产状态正常，一个零件尺寸在((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的概率只有(0.0026)，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在((mu-3sigma，mu+3sigma))之
外的零件的概率只有(0.0408)，发生的概率很小。因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	09.95	10.12	09.96	09.96	10.01	09.92	09.98	10.04

抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	09.91	10.13	10.02	09.22	10.04	10.05	09.95

经计算得(ar{x}=cfrac{1}{16}cdotsumlimits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97) ，(s=sqrt{cfrac{1}{16}cdotsumlimits_{i=1}^{16}{(x_i-ar{x})^2}}=sqrt{cfrac{1}{16}(sumlimits_{i=1}^{16}{x_i^2-16ar{x}^2})}approx 0.212)，

(sqrt{sumlimits_{i=1}^{16}{(i-8.5)^2}}approx 18.439)，(sumlimits_{i=1}^{16}{(x_i-ar{x})(i-8.5)}=-2.78)，其中(x_i)为抽取的第(i)个零件的尺寸，(i=1，2，cdots，16) ．

用样本平均数(ar{x})作为(mu)的估计值(hat{mu})，用样本标准差(s)作为(sigma)的估计值(hat{sigma})，用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的数据，用剩下的数据估计(mu)和(sigma)(精确到0.01)．

附：若随机变量(Z)服从正态分布(N(mu，sigma^2))，则(P(mu-3sigma<Z<mu+3sigma)=0.9974)，(0.9974^{16}≈0.9592)，(sqrt{0.008}≈0.09)．

分析：由(ar{x}=9.97)，(sapprox 0.212)，得到(mu)的估计值(hat{mu}=9.97)，(sigma)的估计值(hat{sigma}= 0.212)，

由样本数据可以看出，有一个零件的尺寸在((mu-3sigma，mu+3sigma))之外，因此需对当天的生产过程进行检查。

剔除((mu-3sigma，mu+3sigma))之外的数据(9.22)，剩下数据的平均值为(cfrac{16 imes 9.97-9.22}{15}=10.02)，

因此(mu)的估计值(hat{mu}=10.02)。

由于(sumlimits_{i=1}^{16}{x_i^2}=16 imes 0.212^2+16 imes 9.97^2)，剔除数据(9.22)后剩下的数据，

故(sumlimits_{i=1}^{15}{x_i^2}=16 imes 0.212^2+16 imes 9.97^2-9.22^2=1506.125)，

则(sumlimits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15 imesar{x}_{15}^2=1506.125-15 imes10.02^2=0.119104)；

故剩余数据的样本方程为(cfrac{1}{15}(sumlimits_{i=1}^{15}{x_i^2}-15 imesar{x}_{15}^2)approx 0.008)，

故所求的(sigma)的估计值为(hat{sigma}=sqrt{0.008}approx 0.09)，

即剩下15个数据的平均数的估计值(hat{mu}=10.02)，标准差的估计值(hat{sigma}=0.09)。