三种数学语言的相互转化

高中数学中的三种常用的数学语言：自然语言，符号语言，图形语言，她们在题目的求解中会不停的转化，如果不了解她们的转化，碰到题目准会抓瞎。

[初中]求证：两直线平行，同旁内角的角平分线相互垂直。

自然语言，图形语言，符号语言的转化；

：函数的对称性的转化

自然语言：函数(f(x))的对称轴是(x=2) $Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x+4)=f(-x))尤其需要注意和理解等价的写法：(f(x+3)=f(1-x))或(f(x+2)=f(2-x))或(f(4-x)=f(x))

自然语言：函数(f(x))的对称中心是((2，1)) $Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x+4)+f(-x)=2)尤其需要注意和理解等价的写法：(f(x+3)+f(1-x)=2)或(f(x+2)+f(2-x)=2)或(f(4-x)+f(x)=2)

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补充立体几何中线面位置关系 线线、线面、面面平行，垂直

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符号语言：(forall x_1in A)，(exists x_2in B)，使得方程(g(x_2)=f(x_1))成立，先转化如下，

符号语言：({ymid y=f(x)，xin A}subseteq {ymid y=g(x)，xin B})；

自然语言：即函数(y=f(x))的值域是函数(y=g(x))的值域的子集。

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符号语言：$ab=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)或(b=0)；

符号语言：$ab eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a eq 0)且(b eq0)；

符号语言：$abge 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bge0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bleq 0 end{cases})；

符号语言：$ableq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bleq 0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bge 0 end{cases})；

符号语言：$a^2+b^2=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)且(b=0)； 自然语言：(a、b)全为零；

符号语言：$a^2+b^2 eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a eq 0)或(b eq 0)； 自然语言：(a、b)不全为零；

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自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(x)轴的对称点，$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(x)=-g(x))有解；

自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(y)轴的对称点，$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(-x)=g(x))有解；

自然语言：若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于原点((0，0))的对称点，$Leftrightarrow $ 符号语言：方程(f(x)=-g(-x))有解；

：恒成立、能成立类命题

• 一端为参数，另一端为函数的类型：

①自然语言：(Age f(x))在区间([a，b])上恒成立， $Leftrightarrow $ 符号语言：(Age f(x)_{max})；

自然语言：(Aleq f(x))在区间([a，b])上恒成立， $Leftrightarrow $ 符号语言：(Aleq f(x)_{min})；

②自然语言：(Age f(x))在区间([a，b])上能成立， $Leftrightarrow $ 符号语言：(Age f(x)_{min})；

自然语言：(Aleq f(x))在区间([a，b])上能成立， $Leftrightarrow $ 符号语言：(Aleq f(x)_{max})；

• 两端都是函数，双变量类型：

③符号语言：对(forall x_1in [2，3])，(exists x_2in [4，5])，满足(f(x_1)ge g(x_2))；$Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x_1)_{min}ge g(x_2)_{min})；

④符号语言：对(forall x_1in [2，3])，(forall x_2in [4，5])，满足(f(x_1)ge g(x_2))；$Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x_1)_{min}ge g(x_2)_{max})；

⑤符号语言：对(exists x_1in [2，3])，(exists x_2in [4，5])，满足(f(x_1)ge g(x_2))；$Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x_1)_{max}ge g(x_2)_{min})；

⑥符号语言：对(exists x_1in [2，3])，(forall x_2in [4，5])，满足(f(x_1)ge g(x_2))；$Leftrightarrow $ 符号语言：(f(x_1)_{max}ge g(x_2)_{max})；

• 两端都是函数，单变量类型：

⑦符号语言：对(forall xin [2，3])，都满足(f(x)ge g(x))；$Leftrightarrow $ 符号语言：([f(x)-g(x)]_{min}ge 0)；

错误转化：(f(x)_{min}ge g(x)_{max})，反例代表如：(e^xge x+1)；

⑧符号语言：对(forall xin [2，3])，都满足(f(x)leq g(x))；$Leftrightarrow $ 符号语言：([f(x)-g(x)]_{max}leq 0)；

错误转化：(f(x)_{max}leq g(x)_{min})，反例代表如：(x+1leq e^x)；

：【数列中的表达式】

①符号语言：(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q常数))；$Leftrightarrow $ 自然语言：数列({a_n})为等比数列；

②符号语言：(cfrac{a_{n+2}}{a_n}=q(q常数))；$Leftrightarrow $ 自然语言：数列({a_n})的奇数项和偶数项分别为等比数列；

③符号语言：(a_{n+1}-{a_n}=d(d常数))；$Leftrightarrow $ 自然语言：数列({a_n})为等差数列；

④符号语言：(a_{n+2}-{a_n}=d(d常数))；$Leftrightarrow $ 自然语言：数列({a_n})的奇数项和偶数项分别为等差数列举例如，数列({a_n})满足条件：(a_1=1)，(a_3=3)，(a_5=5)，(cdots)，则满足(a_{n+2}-a_n=2)((n)为奇数)；(a_2=1)，(a_4=3)，(a_6=5)，(cdots)，则满足(a_{n+2}-a_n=2)((n)为偶数)；则数列({a_n})满足(a_{n+2}-a_n=2)((nin N^*))，但数列({a_n})不是等差数列。
；

：【二次函数的系数】

①自然语言：已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0，xin R))，有且只有一个零点；$Leftrightarrow $ 符号语言：(Delta =0)，解得(a=4)；

②自然语言：已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0，xin R))，(f(x))的值域为([0，+infty))；$Leftrightarrow $ 符号语言：则(Delta =0)，解得(a=4)；

：【三角函数图像的平移】

①自然语言：将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像重合。$Leftrightarrow $ 符号语言：则平移长度必然等于周期的整数倍，或者平移前后的自变量整体差值为(kcdot 2pi(kin Z))；
②自然语言：将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像对称轴重合。$Leftrightarrow $ 符号语言：则平移长度必然等于半周期的整数倍，或者平移前后的自变量整体差值为(kcdot π(kin Z))；

：【线段等分点的向量给出方式】

二等分点(中点)：① 符号语言：(overrightarrow{OA}=-overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，$Leftrightarrow $ 自然语言： 则点(O)是(AB)的中点；即(|OA|=|OB|)；

三等分点： 符号语言：(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，$Leftrightarrow $ 自然语言： 则点(O)是(AB)的靠近(B)的三等分点；即(|OA|=2|OB|)；

相关变形技巧：(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，

将其系数做恰当的拆分得到，((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC})+2(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})=vec{0})，

如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE})，即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})，

即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

四等分点： 符号语言：(overrightarrow{OA}=-3overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+3overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，$Leftrightarrow $ 自然语言： 则点(O)是(AB)的靠近(B)的四等分点；即(|OA|=3|OB|)；

：【一元二次方程根的分布的给出方式】

• 函数(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t)，则“(exists a，bin (0，1))，使得(g(a)=g(b)=0)”为真命题的含义？

文字语言：说明函数(g(x))在区间((0，1))上有两个零点，即函数(g(x))须满足条件：

符号语言：(left{egin{array}{l}{g(0)>0}\{g(1)>0}\{0<-cfrac{-2(t+1)}{2 imes 3}<1}\{Delta ge 0}end{array} ight.)，解得(0<t<1)，

图形语言：如下图所示，

• 函数(g(x)=3x^2-2(t+1)x+t)，则“(exists ain (0，1))，(exists bin (1，2))，使得(g(a)=g(b)=0)”为真命题的含义？

文字语言：说明函数(g(x))在区间((0，1))和区间((1，2))上各有一个零点，即函数(g(x))须满足条件：

符号语言：(left{egin{array}{l}{g(0)>0}\{g(1)<0}\{g(2)>0}end{array} ight.)；

图形语言：如下图所示，

文字语言：若(ax-y+1-a=0)恒成立，

符号语言：转化为(y=ax+1-a)，将参数放置在斜率和截距两个位置，不利于观察总结；

符号语言：转化为(a=cfrac{y-1}{x-1})，显然后者的转化思路更利用解决问题；

文字语言：以双曲线的右焦点为圆心，以r=(cfrac{c}{2})的圆与双曲线的两条渐近线有公共点；

符号语言：使用联立直线方程和双曲线的方程，使用(Delta ge 0)的思路，也可以利用圆心到直线的距离小于半径的思路，很明显第二个思路的运算量要小一些。

文字语言：要保证两个函数有两个交点，直线(y=-x-a)不能再往上走了，

符号语言：(-0-aleq 1)，解得(age -1)；

文字语言：存在实数(b)，使得函数(g(x)=f(x)+b)有两个零点，图形语言：意味着直线(y=-b)与函数(y=f(x))的图像有两个交点，

符号语言：(A={xmid ax^2-ax+1leqslant 0}=varnothing)，自然语言：仿二次不等式(ax^2-ax+1leqslant 0)无解或解集为空集；

[题目中的数学符号语言学生不容易理解]设集合(A_n={xmid x=7m+1，2^n<x<2^{n+1}，min N})，则(A_6)中的所有元素之和为(891)。

分析：当(n=6)时，由(2^6<x<2^7)得到(2^6<7m+1<2^7)，解得(9<mleqslant 18)，由于(min N)，

则(10leqslant mleqslant 18)，即(A_6)中的所有元素构成一个等差数列，其首项为(7 imes 10+1=71)，公差为(7)，项数为(9)项，

故所有元素之和为(S=9 imes 71+cfrac{9 imes 8}{2} imes 7=891)。