2018年全国卷Ⅲ卷文科数学解析

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

选择题

№.07下列函数中，其图像与函数(y=lnx)的图像关于直线(x=1)对称的是【(hspace{2em})】

A.(y=ln(1-x)hspace{2em}) B. (y=ln(2-x)hspace{2em}) C. (y=ln(1+x)hspace{2em}) D.(y=ln(2+x)hspace{2em})

【解析】

【法1】：图像法，先做出函数(y=lnx)关于(y)轴对称的函数(y=ln(-x))的图像，再将其向右平移两个单位即可，得到(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x))，故选B

【法2】：待求解的函数图像上任取一点(P_0(x_0，y_0))，则其关于直线(x=1)的对称点坐标为(P(2-x_0，y_0))，则其必然满足(y=lnx)，得到(y_0=ln(2-x_0))，即(y=ln(2-x))，故选B。

【法3】：由于点((1，0))在给定函数图像上，也在对称轴上，则其必然也在所求函数图像上，代入验证，故选B。

№08【题文】 函数$y=f(x)=-x^4+x^2+2$的图像大致为【$hspace{2em}$】

【解析】 图像缺失，偶函数，(f(0)=2)，(f(1)=2)，故选D.

【整理理由】：用穿根法做函数(y=f'(x))的图像，(f'(x)=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)=-2x(sqrt{2}x+1)(sqrt{2}x+1))

先用手工做出函数(y=x(sqrt{2}x+1)(sqrt{2}x+1))的图像，再做出函数(y=-2x(sqrt{2}x+1)(sqrt{2}x+1))的图像，由此可以看出

函数(f(x))在((0，cfrac{sqrt{2}}{2}))上单调递增，在((cfrac{sqrt{2}}{2}，+infty))上单调递减。

填空题

№.16已知函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+1)，(f(a)=4)，则(f(-a)=)_________________

【解析】:令函数(g(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)) ，则(g(x)+g(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+ln(sqrt{x^2+1}+x)=ln((sqrt{x^2+1})^2-x^2)=ln1=0)，故函数(g(x))为奇函数。

同理，(f(x)+f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+1+ln(sqrt{x^2+1}+x)+1=2)，即(f(x)+f(-x)=2)，

(f(a)+f(-a)=2)，(f(a)=4)，得到(f(-a)=-2)。

【备注】：(f(x)+f(-x)=2)，则函数(f(x))关于点((0，1))对称。

解答题

№.21【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第21题】已知函数(f(x)=cfrac{ax^2+x-1}{e^x}).

(1)求曲线(y=f(x))在点((0，-1))处的切线方程。

【解析】：(f'(x)=cfrac{(2ax+1)e^x-(ax^2+x-1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{-ax^2+2ax-x+2}{e^x})

由(f'(0)=2)，故由点斜式得到切线方程为(y-(-1)=2(x-0))，即(2x-y-2=0)。

(2)证明：当(age 1)时，(f(x)+ege 0)。

证明【证明的难点是放缩】：

当(age 1)时，(f(x)+ege (x^2+x-1+e^{x+1})cdot e^{-x})，由于(e^{-x}>0)恒成立，故可以考虑甩掉她，

令(g(x)=x^2+x-1+e^{x+1})，则(g'(x)=2x+1+e^{x+1})，

【经验之谈：导数的解答题到此，我们可以这样寻找分界点，当题目中含有(e^x)时，可以考虑用(x=0)来尝试分界点，由于(e^0=1)；当题目中含有(lnx)时，可以考虑用(x=1)来尝试分界点，由于(ln1=0)】

我们很容易发现，(x=-1)是分界点，故可以这样写结果，

当(x<-1)时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，当(x>-1)时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

故(g(x)_{min}=g(-1)=0)，故有(g(x)ge g(-1)=0)

则(g(x)cdot e^{-x}ge g(-1)cdot e^{-x}=0)，即(f(x)+ege 0)。

【解后反思】注意不等式放缩。此题的解法同于2018高考一卷文科第21题(2)的解答思路。

№.22在平面直角坐标系(xoy)中，(odot O)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cos heta}\{y=sin heta}end{array} ight.( heta为参数))，过点((0，-sqrt{2}))且倾斜角为(alpha)的直线(l)与(odot O)交于(A，B)两点。

(1)求(alpha)的取值范围；

分析：先设出直线带斜率(k)的方程，再联立圆方程组成方程组，由于线与圆相交于两个点，则(Delta>0) 或者圆心到直线的距离(d < r=1)，都可以求解。
不过在设直线方程时需要分类讨论；

【解析】当(alpha=cfrac{pi}{2})时，直线的斜率不存在，直线为(x=0)满足条件。

当(alpha=cfrac{pi}{2})时，设直线方程为(y+sqrt{2}=kx)，即直线为(kx-y-sqrt{2}=0)，(odot O)的直角坐标方程为(x^2+y^2=1)，故圆心到直线的距离(d=cfrac{|-sqrt{2}|}{sqrt{k^2+1}}<1)，

解得(k^2>1)，即(k>1)或者(k<-1)，借助(y=tanalpha（0leq alpha<pi）)的函数图像可知，

当(k>1)时，(cfrac{pi}{4}<alpha<cfrac{pi}{2})，当(k<-1)时，(cfrac{pi}{2}<alpha<cfrac{3pi}{4})，

综上所述，(alpha)的取值范围为((cfrac{pi}{4}，cfrac{3pi}{4}))；

(2)求(AB)中点(P)的轨迹的参数方程。

分析：看到题目中的(AB)中点(P)时，你应该想到直线的参数方程中的一个常识：

设点(A，B)对应的参数分别为(t_A，t_B)，线段(AB)的中点(P)对应的参数为(t_P)，则有(cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P)

【解析】由题目设直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=tcdot cosalpha}\{y=-sqrt{2}+tcdot sinalpha}end{array} ight.(t为参数，cfrac{pi}{4}<alpha<cfrac{3pi}{4}))，

设(A、B、P)对应的参数分别为(t_A、t_B、t_P)，则有(t_P=cfrac{t_A+t_B}{2})，

将直线(l)的参数方程，代入圆(O)的直角坐标方程，整理得到(t^2-2sqrt{2}sinalpha+1=0)，

则由韦达定理有(t_A+t_B=2sqrt{2}sinalpha)，由中点坐标公式得到(t_P=sqrt{2}sinalpha)，

又由于点(P)在直线(l)上，故满足直线的参数方程(left{egin{array}{l}{x=t_Pcdot cosalpha}\{y=-sqrt{2}+t_Pcdot sinalpha}end{array} ight.)，

代入得到点(P)的轨迹的参数方程是(left{egin{array}{l}{x=cfrac{sqrt{2}}{2} sin2alpha}\{y=-cfrac{sqrt{2}}{2}-cfrac{sqrt{2}}{2} cos2alpha}end{array} ight.(alpha为参数，cfrac{pi}{4}<alpha<cfrac{3pi}{4}))，

【解后反思】1、注意设直线方程时的分类讨论。2、注意直线参数方程中的中点坐标公式(cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P)。

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