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  • 函数的定义域

    前言

    “皮之不存,毛将焉附”,函数的定义域是函数及其性质存在的基础和依托;函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”,第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质,我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集,那么这个函数即使给出了所谓的解析式,也是空函数,没有研究的价值,因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。

    不同形式

    自然定义域,比如给定(g(x)=ln(x-1)),则使得解析式有意义的值都属于定义域,即解(x-1>0)得到定义域为((1,+infty))

    限定定义域,比如已知函数(f(x)=2x^2-3sinx)(xin [0,cfrac{pi}{2}]),则这就是限定定义域;

    实际问题定义域,比如线段长度为(x),则至少必须满足(x>0)

    给出方式

    • 1、直接给出(限定定义域);如函数(f(x),xin D)

    • 2、以函数解析式的形式给出(自然定义域);如已知函数(f(x)=lgcfrac{x+2}{x-2})求其定义域;要知道这个函数的定义域,我们自然需要解不等式(cfrac{x+2}{x-2}>0),由穿针引线法可得定义域为(x)(in)((-infty,-2))(cup)((2,+infty))

    • 3、以图像的形式给出,如图所示,函数图像向(x)轴作正射影,就得到定义域;

    (y)轴作正射影,就得到值域。当然,你如果会用图像,那么由此图像还可以解不等式(f(x)>0)(f(x)leq 0)

    • 4、以实际问题给出,比如(x)为某个线段的长度,则隐含(xge 0),自然就不能取负值的。

    求定义域

    • 如果给定函数解析式,求定义域,转化为解不等式(组);

    已知函数(f(x)=cfrac{sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)}),求其定义域;

    分析:要使得解析式有意义,须满足(egin{cases}x^2-1ge 0\x-1>0\ln(x-1) eq 0end{cases}),从而解得({xmid x>1且x eq 2}),即定义域为((1,2)cup(2,+infty)).

    已知函数(f(x))的定义域是([-1,1]),求函数(f(2x+1))的定义域;

    分析:解决这类题目需要牢牢抓住两点:其一接受对应法则(f)作用的(x)(2x+1)是处于对等位置的,

    其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域,都是针对单独的自变量(x)而言,

    据此可知由于(-1leq xleq 1),故(-1leq 2x+1leq 1),解得函数(f(2x+1))的定义域是(xin [-1,0])

    已知函数(f(x)=lgcfrac{x+2}{2-x}),求函数(f(cfrac{x}{2})+f(cfrac{2}{x}))的定义域;

    分析:由上知,函数(f(x))的定义域为(xin(-2,2)),故和自变量(x)对等的(cfrac{x}{2})(cfrac{2}{x})也必须在这个范围内,

    则有(egin{cases} -2<cfrac{x}{2}<2 \ -2<cfrac{2}{x}<2 end{cases}),解得(xin (-4,-1)cup(1,4))

    已知函数(f(x+1))的定义域是([0,1]),求函数(f(2^x-2))的定义域。

    分析:这里同样你得清楚(x+1)(2^x-2)是对等的,先由(xin[0,1])

    计算得到(1leq x+1leq 2),故(1leq 2^x-2leq 2)

    解得(3leq 2^xleq 4),同时取以2为底的对数得到(log_2^3leq xleq 2)

    则所求定义域是(xin [log_2^3,2])

    • 分段函数的定义域

    已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x,&xge0\4x-x^2,&x<0end{cases}),求其定义域;

    分析:分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集,当然值域也是各段函数的值域的并集;

    • 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)

    已知函数(f(2x+1))的定义域是([-1,1]),求函数(f(x))的定义域;

    分析:由上面的例子分析可知,所给函数的定义域是([-1,1]),即函数(f(2x+1))的自变量(x)的取值范围是([-1,1])

    故内函数(2x+1)的取值范围这样求解,由(-1leq x leq 1),得到(-2leq 2x leq 2)

    所以(-1=-2+1leq 2x+1 leq 2+1=3),又由于(2x+1)(x)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行),

    所以(f(x))(x)的取值范围应该是(-1leq xleq 3),故函数(f(x))的定义域是([-1,3])

    【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】已知函数(f(x^2-3)=lgcfrac{x^2}{x^2-4}),则(f(x))的定义域为____________。

    分析:本题目的定义域求解应该考虑两层要求,

    其一需要解析式(lgcfrac{x^2}{x^2-4})有意义,

    (cfrac{x^2}{x^2-4}>0),解得(x<-2)(x>2①)

    其二,令(x^2-3=t),则(tge -3),则(x^2=t+3)(x^2-4=t-1)

    故原函数可以改写为(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))

    (f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))

    则在(xge -3)时,还必须(cfrac{x+3}{x-1}>0),解得(x<-3)(x>1)

    故所求定义域必须同时满足条件

    (left{egin{array}{l}{x<-2,x>2}\{xge -3}\{x<-3,x>1}end{array} ight.),故定义域为(x>2),即((2,+infty))

    总结:上述的解法是错误的,原因是解析式右端(lgcfrac{x^2}{x^2-4})中的(x)(f(x))中的(x)的内涵不一样,

    (f(x))中的(x)(f(x^2-3))中的(x^2-3)的整体是对等的,故需要先等价转化得到函数的解析式。

    【正解】令(x^2-3=t),则(tge -3),则(x^2=t+3)(x^2-4=t-1)

    故原函数可以改写为(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))

    (f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))

    则在(xge -3)时,还必须(cfrac{x+3}{x-1}>0),解得(x<-3)(x>1)

    故所求定义域必须同时满足条件

    (left{egin{array}{l}{xge -3}\{x<-3,x>1}end{array} ight.),故定义域为(x>1),即((1,+infty))

    • 三角函数定义域

    【求三角不等式和其他不等式的交集】求函数(f(x)=sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-cfrac{1}{2}))的定义域。

    分析:由题目可知,(|x|leq 5①),且(sinx>cfrac{1}{2}②)

    解①得到(-5leq xleq 5);解②得到(2kpi+cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))

    二者求交集,如右图所示,

    得到定义域为([-5,-cfrac{7pi}{6})cup (cfrac{pi}{6},cfrac{5pi}{6}))

    影响要素

    • 当函数的图像发生变换时,其定义域和值域常常会随之发生变化,举例说明如下:

    比如已知函数(f(x))的定义域是([1,5]),则(xin [1,5])

    平移变换:则(f(x+2))的定义域就变成了([-1,3]),原因是(1leq x+2leq 5),解得(xin [-1,3])

    伸缩变换:则(2f(x))的定义域不做变化。

    周期变换:则(f(2x))的定义域就变成了([cfrac{1}{2},cfrac{5}{2}]),原因是(1leq 2xleq 5),解得(xin[cfrac{1}{2},cfrac{5}{2}])

    易错警示

    • 当题目中明确要求定义域时,一般学生都不会出错,但是在解题中学生又非常容易犯错误,主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说,只要是研究函数的问题,不管题目是否要求我们求解定义域,都应该先确定函数的定义域,否则研究的函数就是无源之水,无本之木。

    【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))([0,2])上为减函数,则实数(a)的取值范围是【】

    $A.[3,+infty)$ $B.(0,1)$ $C.(1,3]$ $D.(1,3)$

    分析:令(g(x)=6-ax),像这类题目既要考虑单调性,还要考虑定义域,学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。

    由题目可知必有(a>0),故函数(g(x))单调递减,考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可,解得(6-2a>0),即(a<3)

    再考虑外函数必须是增函数,故(a>1),综上可知,解得(1<a<3),故选(D)

    引申:原题目改为在([0,2))上为减函数,则实数(a)的取值范围是(ain (1,3])

    典例剖析

    • 如果题目给出了函数的定义域,那么这时往往会转而求函数的其他性质,或者将已知的定义域转化为其他的命题。

    【已知定义域为(R)求参数的取值范围】已知函数(f(x)=cfrac{mx-1}{mx^2+4mx+3})的定义域为(R),求(m)的取值范围;

    分析:由题可知,分母函数(y=mx^2+4mx+3 eq 0)对任意(xin R)都成立,分类讨论如下:

    ①当(m=0)时,(y=3 eq 0)对任意(xin R)恒成立,故满足题意;

    ②当(m eq 0)时,结合分母函数的图像可知,必须满足(left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta <0}end{array} ight.)

    (left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta=(4m)^2-4 imes 3m<0}end{array} ight.),解得(0<m<cfrac{3}{4})

    综上所述,(m)的取值范围为([0,cfrac{3}{4}))

    【2016南京模拟】(f(x))是定义在((0,+infty))上的单调增函数,满足(f(xy)=f(x)+f(y))(f(3)=1),当(f(x)+f(x-8)leq 2)时,求(x)的取值范围。

    分析:(f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9)=2)(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9))

    等价转化为(egin{cases}x>0\x-8>0\x(x-8)leq 9end{cases}), 解得(8<xleq 9).

    易错: 如果 (f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9)),转化得到(egin{cases}x(x-8)>0\x(x-8)leq 9end{cases}),这样的转化往往是不等价的,因为(x(x-8)>0)包含了(x>0,x-8>0)(x<0,x-8<0)两种情形,由此我们得到的经验是求定义域是一般对函数的形式不做变形,

    • 因为我们大多做不到等价变形;比如给定函数(y=lgx^2),我们常常会化为(y=2lgx),殊不知这样的变形是错误的,(y=lgx^2)的定义域是((-infty,0)cup(0,+infty)),还是偶函数,而(y=2lgx)的定义域是((0,+infty)),没有奇偶性,其实(y=lgx^2=2lg|x|),有人就纳闷了,我们平时不是经常用公式(log_a;b^n=nlog_a;b),对,没错,但是你注意过公式中的字母取值吗?
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