函数的定义域

前言

“皮之不存，毛将焉附”，函数的定义域是函数及其性质存在的基础和依托；函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”，第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质，我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集，那么这个函数即使给出了所谓的解析式，也是空函数，没有研究的价值，因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。

不同形式

自然定义域，比如给定(g(x)=ln(x-1))，则使得解析式有意义的值都属于定义域，即解(x-1>0)得到定义域为((1,+infty))；

限定定义域，比如已知函数(f(x)=2x^2-3sinx)，(xin [0，cfrac{pi}{2}])，则这就是限定定义域；

实际问题定义域，比如线段长度为(x)，则至少必须满足(x>0)；

给出方式

• 1、直接给出(限定定义域)；如函数(f(x)，xin D)

• 2、以函数解析式的形式给出(自然定义域)；如已知函数(f(x)=lgcfrac{x+2}{x-2})，求其定义域;要知道这个函数的定义域，我们自然需要解不等式(cfrac{x+2}{x-2}>0)，由穿针引线法可得定义域为(x)(in)((-infty,-2))(cup)((2,+infty))。

• 3、以图像的形式给出，如图所示，函数图像向(x)轴作正射影，就得到定义域；

向(y)轴作正射影，就得到值域。当然，你如果会用图像，那么由此图像还可以解不等式(f(x)>0)或(f(x)leq 0)

• 4、以实际问题给出，比如(x)为某个线段的长度，则隐含(xge 0)，自然就不能取负值的。

求定义域

• 如果给定函数解析式，求定义域，转化为解不等式(组)；

已知函数(f(x)=cfrac{sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)})，求其定义域；

分析：要使得解析式有意义，须满足(egin{cases}x^2-1ge 0\x-1>0\ln(x-1) eq 0end{cases})，从而解得({xmid x>1且x eq 2})，即定义域为((1，2)cup(2，+infty)).

• 复合函数的定义域

已知函数(f(x))的定义域是([-1，1])，求函数(f(2x+1))的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则(f)作用的(x)和(2x+1)是处于对等位置的，

其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量(x)而言，

据此可知由于(-1leq xleq 1)，故(-1leq 2x+1leq 1)，解得函数(f(2x+1))的定义域是(xin [-1，0])。

已知函数(f(x)=lgcfrac{x+2}{2-x}),求函数(f(cfrac{x}{2})+f(cfrac{2}{x}))的定义域；

分析：由上知，函数(f(x))的定义域为(xin(-2，2))，故和自变量(x)对等的(cfrac{x}{2})和(cfrac{2}{x})也必须在这个范围内，

则有(egin{cases} -2<cfrac{x}{2}<2 \ -2<cfrac{2}{x}<2 end{cases})，解得(xin (-4，-1)cup(1，4))。

已知函数(f(x+1))的定义域是([0，1])，求函数(f(2^x-2))的定义域。

分析：这里同样你得清楚(x+1)和(2^x-2)是对等的，先由(xin[0，1])，

计算得到(1leq x+1leq 2)，故(1leq 2^x-2leq 2)，

解得(3leq 2^xleq 4)，同时取以2为底的对数得到(log_2^3leq xleq 2)，

则所求定义域是(xin [log_2^3，2])。

• 分段函数的定义域

已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，&xge0\4x-x^2，&x<0end{cases})，求其定义域；

分析：分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集，当然值域也是各段函数的值域的并集；

• 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)

已知函数(f(2x+1))的定义域是([-1，1])，求函数(f(x))的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是([-1，1])，即函数(f(2x+1))的自变量(x)的取值范围是([-1，1])，

故内函数(2x+1)的取值范围这样求解，由(-1leq x leq 1)，得到(-2leq 2x leq 2)，

所以(-1=-2+1leq 2x+1 leq 2+1=3)，又由于(2x+1)和(x)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以(f(x))的(x)的取值范围应该是(-1leq xleq 3)，故函数(f(x))的定义域是([-1，3])。

【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】已知函数(f(x^2-3)=lgcfrac{x^2}{x^2-4})，则(f(x))的定义域为____________。

分析：本题目的定义域求解应该考虑两层要求，

其一需要解析式(lgcfrac{x^2}{x^2-4})有意义，

即(cfrac{x^2}{x^2-4}>0)，解得(x<-2)或(x>2①)；

其二，令(x^2-3=t)，则(tge -3)，则(x^2=t+3)，(x^2-4=t-1)，

故原函数可以改写为(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))，

即(f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))，

则在(xge -3)时，还必须(cfrac{x+3}{x-1}>0)，解得(x<-3)或(x>1)，

故所求定义域必须同时满足条件

(left{egin{array}{l}{x<-2，x>2}\{xge -3}\{x<-3，x>1}end{array} ight.)，故定义域为(x>2)，即((2，+infty))；

总结：上述的解法是错误的，原因是解析式右端(lgcfrac{x^2}{x^2-4})中的(x)与(f(x))中的(x)的内涵不一样，

(f(x))中的(x)与(f(x^2-3))中的(x^2-3)的整体是对等的，故需要先等价转化得到函数的解析式。

【正解】令(x^2-3=t)，则(tge -3)，则(x^2=t+3)，(x^2-4=t-1)，

故原函数可以改写为(f(t)=lgcfrac{t+3}{t-1}(tge -3))，

即(f(x)=lgcfrac{x+3}{x-1}(xge -3))，

则在(xge -3)时，还必须(cfrac{x+3}{x-1}>0)，解得(x<-3)或(x>1)，

故所求定义域必须同时满足条件

(left{egin{array}{l}{xge -3}\{x<-3，x>1}end{array} ight.)，故定义域为(x>1)，即((1，+infty))；

• 三角函数定义域

【求三角不等式和其他不等式的交集】求函数(f(x)=sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-cfrac{1}{2}))的定义域。

分析：由题目可知，(|x|leq 5①)，且(sinx>cfrac{1}{2}②)

解①得到(-5leq xleq 5)；解②得到(2kpi+cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，

二者求交集，如右图所示，

得到定义域为([-5，-cfrac{7pi}{6})cup (cfrac{pi}{6}，cfrac{5pi}{6}))。

影响要素

• 当函数的图像发生变换时，其定义域和值域常常会随之发生变化，举例说明如下：

比如已知函数(f(x))的定义域是([1，5])，则(xin [1，5])

平移变换：则(f(x+2))的定义域就变成了([-1，3])，原因是(1leq x+2leq 5)，解得(xin [-1，3])；

伸缩变换：则(2f(x))的定义域不做变化。

周期变换：则(f(2x))的定义域就变成了([cfrac{1}{2}，cfrac{5}{2}])，原因是(1leq 2xleq 5)，解得(xin[cfrac{1}{2}，cfrac{5}{2}])；

易错警示

• 当题目中明确要求定义域时，一般学生都不会出错，但是在解题中学生又非常容易犯错误，主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说，只要是研究函数的问题，不管题目是否要求我们求解定义域，都应该先确定函数的定义域，否则研究的函数就是无源之水，无本之木。

【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数(f(x)=log_a^;(6-ax))在([0，2])上为减函数，则实数(a)的取值范围是【】

$A.[3，+infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令(g(x)=6-ax)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有(a>0)，故函数(g(x))单调递减，考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可，解得(6-2a>0)，即(a<3)，

再考虑外函数必须是增函数，故(a>1)，综上可知，解得(1<a<3)，故选(D)。

引申：原题目改为在([0，2))上为减函数，则实数(a)的取值范围是(ain (1，3])。

典例剖析

• 如果题目给出了函数的定义域，那么这时往往会转而求函数的其他性质，或者将已知的定义域转化为其他的命题。

【已知定义域为(R)求参数的取值范围】已知函数(f(x)=cfrac{mx-1}{mx^2+4mx+3})的定义域为(R)，求(m)的取值范围；

分析：由题可知，分母函数(y=mx^2+4mx+3 eq 0)对任意(xin R)都成立，分类讨论如下：

①当(m=0)时，(y=3 eq 0)对任意(xin R)恒成立，故满足题意；

②当(m eq 0)时，结合分母函数的图像可知，必须满足(left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta <0}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{m>0}\{Delta=(4m)^2-4 imes 3m<0}end{array} ight.)，解得(0<m<cfrac{3}{4})；

综上所述，(m)的取值范围为([0，cfrac{3}{4}))；

【2016南京模拟】(f(x))是定义在((0，+infty))上的单调增函数，满足(f(xy)=f(x)+f(y))，(f(3)=1)，当(f(x)+f(x-8)leq 2)时，求(x)的取值范围。

分析：(f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9)=2)， (f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9))，

等价转化为(egin{cases}x>0\x-8>0\x(x-8)leq 9end{cases})， 解得(8<xleq 9).

易错： 如果 (f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]leq 2=f(9))，转化得到(egin{cases}x(x-8)>0\x(x-8)leq 9end{cases})，这样的转化往往是不等价的，因为(x(x-8)>0)包含了(x>0，x-8>0)和(x<0，x-8<0)两种情形，由此我们得到的经验是求定义域是一般对函数的形式不做变形，

• 因为我们大多做不到等价变形；比如给定函数(y=lgx^2)，我们常常会化为(y=2lgx)，殊不知这样的变形是错误的，(y=lgx^2)的定义域是((-infty，0)cup(0，+infty))，还是偶函数，而(y=2lgx)的定义域是((0，+infty))，没有奇偶性，其实(y=lgx^2=2lg|x|)，有人就纳闷了，我们平时不是经常用公式(log_a;b^n=nlog_a;b)，对，没错，但是你注意过公式中的字母取值吗？