破解构造函数问题

前言

• 在高三数学的函数与导数题材的高考备考中，有时会遇到构造函数的方法，这类题目往往是高考或者模拟训练中的压轴题目，或者选择题的12题，或者填空题的16题，或者解答题的21题，由于题目的求解需要主动构造函数，对数学应用意识和数学思维的要求较高，许多学生碰到就直接放弃，现在我们不妨对构造函数的常见角度做以总结，以期降低这类题目的思考难度。

构造训练

从不等式的大小比较或者命题的真假判断中查看所依托的函数，有助于我们构造函数的训练；

引例判断下例命题的真假

①若(cfrac{1}{x}=cfrac{1}{y})，则(x=y)；真命题，其依托函数(y=cfrac{1}{x})进行比较；

②若(x=y)，则(sqrt{x}=sqrt{y})，假命题，其依托函数(y=sqrt{x})进行比较；

③若(m>n)，则(m^2>n^2)，假命题，其依托函数(y=x^2)进行比较；

④若(m>n)，则(m^3>n^3)，真假命题，其依托函数(y=x^3)进行比较；

⑤若(a>b>1)，则(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})，真假命题，其依托函数(y=x+cfrac{1}{x})进行比较；

例1【2018辽宁沈阳三模】已知函数(f(x)=cfrac{1}{2}x^2)，(g(x)=alnx)，

(1).设(h(x)=f(x)+g(x))，证明：当(m>n>0)，(age 1)时，(h(m)+2n>h(n)+2m)；

分析：由欲证明式子入手分析，将(h(m)+2n>h(n)+2m)，等价转化为(h(m)-2m>h(n)-2n)；

此时不等式左右两端的结构相同，可以构造新函数了，

令(l(x)=h(x)-2x=f(x)+g(x)-2x=cfrac{1}{2}x^2+alnx-2x)，定义域为((0，+infty))，且(age 1)，

则(l'(x)=x+cfrac{a}{x}-2=cfrac{(x-1)^2+(a-1)}{x})，

当(age 1)时，(l'(x)ge 0)在((0，+infty))上恒成立，故(l(x))在((0，+infty))上单调递增，

有由于(m>n>0)，故有(l(m)>l(n))，即(cfrac{1}{2}m^2+alnm-2m>cfrac{1}{2}n^2+alnn-2n)，

即(f(m)+g(m)+2n>f(n)+g(n)+2m)，即(h(m)+2n>h(n)+2m)；证毕。

构造案例

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f(1)=4)，且(f(x))的导函数(f'(x)<3)，则不等式(f(lnx)>3lnx+1)的解集为______。

分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的(lnx)理解为一个整体，这样原不等式就变形为(f(t)>3t+1)，

此时我们用(左-右)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】

令(g(x)=f(x)-3x-1)，于是(g'(x)=f'(x)-3)，由已知条件(f'(x)<3)，则可知(g'(x)<0)，

这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-3 imes 1-1=f(1)-4=0)，

到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在(R)上单调递减，且有唯一的零点为(x=1)，

故由(g(x)>0)可以得到解为(x<1)，由(g(x)<0=g(1))可以得到解为(x>1)，

现在(f(lnx)>3lnx+1)等价于(g(lnx)>0)，故得到(lnx<1)，

解得(0<x<e)，故解集为((0，e))。

解后反思：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造，那么我们自然就会问：

例-姊妹【全国名校联盟2018-2019高三第二次联考第12题】【针对性练习】

已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f'(x)<2)，(f(1)=1)，(f'(x))是(f(x))的导函数，则不等式(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1)的解集为______。

$A.(0，2)$ $B.(-infty，2)$ $C.(2，+infty)$ $D.(cfrac{1}{2}，2)$

分析：完全仿照上述题目解法完成。

简解：令(g(x)=f(x)-2x+1)，则(g'(x)=f'(x)-2<0)，故函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-2 imes 1+1=0)，故可知(g(x)>0)时的解集为({xmid x<1})，

又由于原不等式(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1)等价于(g(|log_2x|)>0)，

故先得到(|log_2x|<1)，即(-1<log_2x<1)，即(log_2cfrac{1}{2}<x<log_22)，

解得(cfrac{1}{2}<x<2)，故选(D)。

①到底怎样的构造才是成功的？②我们对这类题目应该如何思考？

以下内容主要想回答这两个问题，为了叙述简洁，我们抽取题目中的核心内容，重点回答如何思考和如何构造的问题。

选填构造

一般来说，出现在选择题和填空题中的函数构造问题，常涉及用常用两个函数构造，一个来源是题中的抽象函数(f(x))，另一个来源是常用基本初等函数中的某一个，比如(h(x)=x)、(h(x)=e^x)、(h(x)=x^2)、(h(x)=cosx)等，

• 角度一、构造积函数(g(x)=f(x)h(x))

①出现形如(xf'(x)+f(x))，则构造函数(g(x)=xcdot f(x)) ^[1]，

②出现如(f'(x)+f(x))，则构造(g(x)=e^xcdot f(x))，

③出现形如(f'(x)cosx-f(x)sinx)， 构造(g(x)=f(x)cdot cosx)；

④出现形如(xf'(x)+nf(x))，则构造函数(h(x)=x^nf(x))；^[2]

⑤出现形如(f'(x)+2f(x))，则构造(g(x)=e^{2x}cdot f(x))；

• 角度二、构造商函数(g(x)=cfrac{f(x)}{h(x)})

①出现形如(xf'(x)-f(x))， 构造(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，

②出现形如(f'(x)cosx+f(x)sinx)， 构造(g(x)=cfrac{f(x)}{cosx})，

③出现形如(f'(x)-f(x))，构造(h(x)=cfrac{f(x)}{e^x})；

④出现形如(xf'(x)-nf(x))，构造函数(h(x)=cfrac{f(x)}{x^n})；^[3]

⑤出现形如(f'(x)-2f(x))，构造(g(x)=cfrac{f(x)}{e^{2x}})。

• 角度三、构造和差函数(g(x)=f(x)pm h(x))

①出现形如(f'(x)pm k<0)， 构造(g(x)=f(x)pm kx)；

②出现形如(sqrt{x}f'(x)<cfrac{1}{2})，构造(g(x)=f(x)-sqrt{x})；

③出现形如(f(x_2)-cfrac{1}{x_2}leq f(x_1)-cfrac{1}{x_1})，构造(g(x)=f(x)-cfrac{1}{x})^[4]，

④出现形如(f'(x)<x)，构造函数(g(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x^2) ^[2:1]，

• 角度四、适当变形为同结构，再构造

①出现形如(m[g(x_1)-g(x_2)]>x_1f(x_1)-x_2f(x_2))，先变形为(mg(x_1)-f(x_1)>mg(x_2)-f(x_2))，再构造函数(H(x)=mg(x)-xf(x))，^[5]

• 角度五、构造抽象函数

比如对(forall x，yin R)，都有(f(x+y)=f(x)+f(y)-2)，则构造函数(f(x)=2).^[6]

解答构造

• 不等式证明中，常用变量集中策略，将两个自变量作比，转化为一元函数问题，然后做差构造；

例1已知(x_1>x_2>0)，证明(lnx_1-lnx_2>2cfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2}).

解析：令(cfrac{x_1}{x_2}=t)，则(t>1)；又原不等式(lnx_1-lnx_2>2cfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2})，

可转化为(ln(cfrac{x_1}{x_2})>2cfrac{cfrac{x_1}{x_2}-1}{cfrac{x_1}{x_2}+1})，再次等价于转化为(lnt>2cfrac{t-1}{t+1})；

然后作差构造函数(g(t)=lnt-2cfrac{t-1}{t+1})，想办法证明(g(t)>0)恒成立即可。

(g'(t)=cfrac{1}{t}-2cfrac{1cdot(t+1)-(t-1)cdot 1}{(t+1)^2}=cfrac{1}{t}-cfrac{4}{(t+1)^2}=cfrac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}ge 0)

故函数(g(x))在区间((1，+infty))上单调递增，(g(x)_{min} ightarrow g(1)=0)，

故(g(x)>0)在区间((1，+infty))上恒成立，故原命题得证。

• 将不等式两端转化为相同结构的形式， 然后构造函数；

例2已知函数(f(x)=alnx+(x+1)^2)，若图像上存在两个不同的点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2)) ((x_1>x_2))，使得(f(x_1)-f(x_2)leq 4(x_1-x_2))成立，则实数(a)的取值范围是多少？

分析：将(f(x_1)-f(x_2)leq 4(x_1-x_2))转化为(f(x_1)-4x_1leq f(x_2)-4x_2)，

定义新函数，令(g(x)=f(x)-4x=alnx+(x-1)^2)，

则原题转化为存在(x_1>x_2，使得g(x_1)leq g(x_2))能成立，

即在定义域上函数(g(x))为常函数或存在单调递减区间，

能容易排除其为常函数，即只能是函数(g(x))存在单调递减区间，

也即(g'(x)leq 0)有解，则(g'(x)=cfrac{a}{x}+2x-2leq 0)有解，

分离参数即得(aleq -2x^2+2x)对于(x>0)能成立，

即求解(-2x^2+2x=g(x))在(x>0)上的最大值。

而(g(x)=-2x^2+2x=-2(x-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{2}leq cfrac{1}{2})，

即(g(x)_{max}=cfrac{1}{2})，故(a leq cfrac{1}{2})，也即(ain(-infty，cfrac{1}{2}]).

• 含有绝对值的不等式，先利用单调性去掉绝对值符号，再将不等式两端转化为相同结构的形式， 然后构造函数；

例3已知函数(f(x)=alnx+x^2(ain R))，若(a>0)，且对(forall x_1，x_2 in [1,e])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|leq |cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2}|)，求实数(a)的取值范围。

解析：(a>0)时，(f'(x)=cfrac{a}{x}+2x>0)，

即函数(f(x))在(xin [1，e])上单增，又函数(y=cfrac{1}{x})在(xin [1，e])上单减，

不妨设(1leq x_1<x_2leq e)，

则(|f(x_1)-f(x_2)|leq |cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2}|)等价于(f(x_2)-f(x_1)leq cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2})，

即(f(x_1)+cfrac{1}{x_1}ge f(x_2)+cfrac{1}{x_2})在(xin [1，e])上恒成立，

令(g(x)=f(x)+cfrac{1}{x}=alnx+x^2+cfrac{1}{x})，

则原命题等价于函数(g(x))在区间(xin [1，e])上单调递减，

所以(g'(x)=cfrac{a}{x}+2x-cfrac{1}{x^2}leq 0)在(xin [1，e])上恒成立；

分离参数得到(aleq cfrac{1}{x}-2x^2)在(xin [1，e])上恒成立；

又(h(x)=cfrac{1}{x}-2x^2)在(xin [1，e])上单调递减，

则(h(x)_{min}=h(e)=cfrac{1}{e}-2e^2)；所以(aleq cfrac{1}{e}-2e^2)

又由题目可知(a>0)，故(ain varnothing)。即满足条件的实数(a)不存在。

• 通过分离参数构造新函数；求新函数的最值时记住导数，但也别忘记分式型函数的相关变形；

例2【菁优网答题改编】已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)在((1，+∞))上单调递增，求(m)的取值范围____________．

分析：由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，

则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1，+∞))上恒成立，

即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到

(m≤cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)

由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。

故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(min (-infty，8])。

---

1. 为什么这样构造，只需要我们对(g(x))求导，就可以回答这个问题，(g'(x)=f(x)+xf'(x))，如果题目还给定条件(xf'(x)+f(x)>0)，则我们自然能得到(g'(x)=f(x)+xf'(x)>0)，即构造的新函数是单调递增的，这样就可以利用单调性解决相应的问题了；其他同理。 ↩︎

2. 比如：已知在((0，+infty))上(f'(x)<x)，则我们构造函数(g(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x^2) ↩︎ ↩︎

3. 如(xf'(x)-3f(x)>0)，构造(g(x)=cfrac{f(x)}{x^x})， ↩︎

4. 比如，已知函数(f(x))单调递减，证明(|f(x_1)-f(x_2)|leq |cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2}|)，常先定义(x_1>x_2in D)，则原不等式等价转化为(f(x_2)-f(x_1)leq cfrac{1}{x_2}-cfrac{1}{x_1})，再转化为(f(x_2)-cfrac{1}{x_2}leq f(x_1)-cfrac{1}{x_1})，然后构造(g(x)=f(x)-cfrac{1}{x})，想法证明(g(x))单调递增。 ↩︎

5. 设(f(x)=lnx，g(x)=cfrac{1}{2}x|x|)，任意(x_1，x_2in [1，+infty))，且(x_1>x_2)，都有(m[g(x_1)-g(x_2)]>x_1f(x_1)-x_2f(x_2))恒成立，求实数(m)的取值范围； 此时构造函数(H(x)=mg(x)-xf(x))，想法子证明函数(H(x))在([1，+infty))上单调递增，借此求出(m)的取值。题解见例8 ↩︎

6. 分析：由(f(x+y)=f(x)+f(y)-2)，令(x=y=0)，得到(f(0)=2)；再令(y=-x)，得到(f(0)=f(x)+f(-x)-2)，即(f(x)+f(-x)=4)，故函数(f(x))关于点((0，2))对称，故构造函数(f(x)=2)或者函数(f(x)=kx+2)或者函数(f(x)=kx^3+2)，都是满足题目条件的，当然其中最简单的就是(f(x)=2)； ↩︎