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  • 高中数学运算能力训练题

    初中部分

    数学的学习是层级渐进式的,初中的数学基础会直接影响到高中数学的学习效果。

    • 繁分式化简分式 :

    (cfrac{frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}}{frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}}=cfrac{(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}) imes abc}{(frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}) imes abc}=cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a});同乘

    • 除法分配律(分数裂项)

    (①cfrac{b+c}{a}=cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a})

    (②cfrac{a-b}{ab}=cfrac{1}{b}-cfrac{1}{a});(分式变形时常用)

    • 分子常数化

    化为部分分式,也可以理解为使用了变量集中策略,这样的变形在研究函数的单调性,值域等问题时使用频度比较高。

    (①y=cfrac{2x-1}{x-1}=cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+cfrac{1}{x-1})

    (②y=cfrac{2x}{x+4}=cfrac{2}{1+frac{4}{x}})

    (③y=cfrac{a^x-1}{a^x+1}=cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-cfrac{2}{a^x+1})

    (④y=cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+cfrac{1}{x-1})

    实例已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)((1,+∞))上单调递增,求m的取值范围_______________.

    【分析】由函数单调递增,转化为(f'(x)≥0)((1,+∞))上恒成立,然后分离参数得到(m≤g(x)),用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。

    【解答】由题目可知,(f'(x)≥0)((1,+∞))上恒成立,且(f'(x))不恒为零,

    则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)((1,+∞))上恒成立,

    (2x^2-mx+m≥0)((1,+∞))上恒成立,常规法分离参数得到

    m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)

    由于(x>1),故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8),当且仅当(x=2)时取到等号。

    (m≤8),当(m=8)时,函数不是常函数,也满足题意,故(m≤8)

    • 解方程理论

    已知(ab=8)(a+b=9),求(a)(b)的值;

    分析:(a)(b)是方程(x^2-(a+b)x+ab=0)的两个根;即(a)(b)是方程(x^2-9x+8=0)的两个根,用十字相乘法可得,((x-1)(x-8)=0),解得两个根为(x=1)(x=8)

    实例已知正项递增等比数列({a_n})满足条件(a_1a_4=27)(a_2+a_3=12),求数列({a_n})的通项公式;

    法1:(a_1^2q^3=27)①,(a_1(q+q^2)=12)②,两式相比,得到(cfrac{a_1q^2}{1+q}=cfrac{9}{4})

    (a_1=cfrac{9(1+q)}{4q^2}),代入②得到,(3q^2-10q+3=0)

    解得(q=3)(q=cfrac{1}{3})(由于递增,舍去),代入②得到,(a_1=1),故(a_n=3^{n-1})

    法2:由等比数列性质可知,(a_2a_3=27)(a_2+a_3=12)

    (a_2)(a_3)是方程(x^2-(a_2+a_3)x+a_2a_3=0),即方程为(x^2-12x+27=0)的两个根,

    解得(a_2=3)(a_3=9),或(a_2=9)(a_3=3)(舍去);

    (a_n=3^{n-1}).

    集合和常用逻辑用语

    这一部分的高考考察不是很多,也不是很难,但是这一模块的知识往往是后续学习的基础。

    ⒈动集,如何变化为空集和非空集合?

    比如,动集(A={xmid 2m-1leq xleq m+2})

    (2m-1>m+2)时,即(m>3)时,集合(A=varnothing)

    (2m-1leq m+2)时,即(mleq 3)时,集合(A eq varnothing)

    ⒉当题目中出现(Asubseteq B)时,往往需要针对(A)分类讨论。

    例题:已知集合(A={xmid -3leq xleq 4})(B={x mid 2m-1 < x < m+1 }),且(Acap B=B)时,则实数(m)的取值范围是多少?

    分析:由(Acap B=B)得,(Bsubseteq A)

    ①当(B=varnothing),即(m+1leq 2m-1),解得(mge 2)

    ②当(B eq varnothing)时,需要满足(left{egin{array}{l}{2m-1< m+1}\{-3leq 2m-1}\{m+1leq 4}end{array} ight.)

    解得(-1leq m <2)

    综上,(min [-1,+infty))

    ⒊混合组求解时,先解方程再代入不等式验证,要快得多。

    混合组(left{egin{array}{l}{Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)>0①}\{-2(a+1)=-4②}\{a^2-1=0③}end{array} ight.)

    如由②得出(a=1),代入其余可以口算验证是满足的,故(a=1)

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