初中部分
数学的学习是层级渐进式的,初中的数学基础会直接影响到高中数学的学习效果。
- 繁分式化简分式 :
(cfrac{frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}}{frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}}=cfrac{(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}) imes abc}{(frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}) imes abc}=cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a});同乘
- 除法分配律(分数裂项)
(①cfrac{b+c}{a}=cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a});
(②cfrac{a-b}{ab}=cfrac{1}{b}-cfrac{1}{a});(分式变形时常用)
- 分子常数化
化为部分分式,也可以理解为使用了变量集中策略,这样的变形在研究函数的单调性,值域等问题时使用频度比较高。
(①y=cfrac{2x-1}{x-1}=cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+cfrac{1}{x-1});
(②y=cfrac{2x}{x+4}=cfrac{2}{1+frac{4}{x}});
(③y=cfrac{a^x-1}{a^x+1}=cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-cfrac{2}{a^x+1});
(④y=cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+cfrac{1}{x-1});
【分析】由函数单调递增,转化为(f'(x)≥0)在((1,+∞))上恒成立,然后分离参数得到(m≤g(x)),用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。
【解答】由题目可知,(f'(x)≥0)在((1,+∞))上恒成立,且(f'(x))不恒为零,
则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1,+∞))上恒成立,
即(2x^2-mx+m≥0)在((1,+∞))上恒成立,常规法分离参数得到
m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)
由于(x>1),故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8),当且仅当(x=2)时取到等号。
故(m≤8),当(m=8)时,函数不是常函数,也满足题意,故(m≤8)。
- 解方程理论
已知(ab=8),(a+b=9),求(a),(b)的值;
分析:(a),(b)是方程(x^2-(a+b)x+ab=0)的两个根;即(a),(b)是方程(x^2-9x+8=0)的两个根,用十字相乘法可得,((x-1)(x-8)=0),解得两个根为(x=1)或(x=8)。
法1:(a_1^2q^3=27)①,(a_1(q+q^2)=12)②,两式相比,得到(cfrac{a_1q^2}{1+q}=cfrac{9}{4}),
则(a_1=cfrac{9(1+q)}{4q^2}),代入②得到,(3q^2-10q+3=0),
解得(q=3)或(q=cfrac{1}{3})(由于递增,舍去),代入②得到,(a_1=1),故(a_n=3^{n-1});
法2:由等比数列性质可知,(a_2a_3=27),(a_2+a_3=12),
则(a_2),(a_3)是方程(x^2-(a_2+a_3)x+a_2a_3=0),即方程为(x^2-12x+27=0)的两个根,
解得(a_2=3),(a_3=9),或(a_2=9),(a_3=3)(舍去);
则(a_n=3^{n-1}).
集合和常用逻辑用语
这一部分的高考考察不是很多,也不是很难,但是这一模块的知识往往是后续学习的基础。
⒈动集,如何变化为空集和非空集合?
比如,动集(A={xmid 2m-1leq xleq m+2}),
当(2m-1>m+2)时,即(m>3)时,集合(A=varnothing);
当(2m-1leq m+2)时,即(mleq 3)时,集合(A eq varnothing);
⒉当题目中出现(Asubseteq B)时,往往需要针对(A)分类讨论。
例题:已知集合(A={xmid -3leq xleq 4}),(B={x mid 2m-1 < x < m+1 }),且(Acap B=B)时,则实数(m)的取值范围是多少?
分析:由(Acap B=B)得,(Bsubseteq A);
①当(B=varnothing),即(m+1leq 2m-1),解得(mge 2);
②当(B eq varnothing)时,需要满足(left{egin{array}{l}{2m-1< m+1}\{-3leq 2m-1}\{m+1leq 4}end{array} ight.),
解得(-1leq m <2);
综上,(min [-1,+infty))。
⒊混合组求解时,先解方程再代入不等式验证,要快得多。
混合组(left{egin{array}{l}{Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)>0①}\{-2(a+1)=-4②}\{a^2-1=0③}end{array} ight.),
如由②得出(a=1),代入其余可以口算验证是满足的,故(a=1);