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  • 整体与部分思想

    前言

    使用场景

    • 函数的周期推导过程

    1、(f(x+a)=-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a;;;;;)

    推导:(f(x+2a)=f[(x+a)+a]xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

    (f(x+a)=b-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a;;;;;)

    推导:(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

    • 用整体思想简化解不等式,

    如已知不等式(x^2-3x+2leq 0)的解为(1leq xleq 2)

    故不等式((x+1)^2-3|x+1|+2leq 0)的解为(1leq |x+1|leq 2)

    从而得到(1leq x+1leq 2),或者(1leq -(x+1)leq 2)

    解得(0leq xleq 1),或者(-3leq xleq -2)

    再比如不等式(log_2^2x-3log_2x+2leq 0)的解为(1leq log_2xleq 2)

    解得(2leq xleq 4)

    例1【整体思想】已知关于(x)的方程((cfrac{1}{2})^x=cfrac{1+lga}{1-lga})有正根,则实数(a)的取值范围是【】

    $A.(0,1)$ $B.(cfrac{1}{10},10)$ $C.(cfrac{1}{10},1)$ $D.(10,+infty)$

    分析:若能想到将(cfrac{1+lga}{1-lga})看成一个整体(b),则原题目变形为方程((cfrac{1}{2})^x=b)有正根,结合图像可知,函数(y=(cfrac{1}{2})^x)和函数(y=b)的图像在((0,+infty))上有交点,故(bin (0,1))

    故原题目就等价于(0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1)

    (0<cfrac{1+lga}{1-lga}),由穿根法得到,(-1<lga<1)

    (cfrac{1+lga}{1-lga}<1),变形得到(cfrac{2lga}{lga-1}>0),由穿根法得到(lga<0)(lga>1)

    (-1<lga<0),解得(ain (cfrac{1}{10},1)),故选(C).

    解后反思:1、整个求解过程是将(lga)也看成一个整体,故能想到用穿根法求解;2、看到双联不等式的中间分式部分,若能联想到分式的常用变形,也可以这样求解;

    (0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1),得到(0<cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1),即(0<-1+cfrac{2}{1-lga}<1),故(1<cfrac{2}{1-lga}<2),且能得到(1-lga>0)

    故利用倒数法则得到(cfrac{1}{2}<cfrac{1-lga}{2}<1),即(1<1-lga<2),即(-2<lga-1<-1),即(-1<lga<0),解得解得(ain (cfrac{1}{10},1)),故选(C).

    • 用整体思想研究函数的值域

    如求函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{4}),xin [0,cfrac{pi}{3}])的值域时,我们需要做函数图像,其中一种简便的方法是,以(2x+cfrac{pi}{4})横轴,作图简单快捷,就是采用了整体思想。

    • 用整体思想研究函数的单调性

    如求函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{4}))的单调递增区间时,我们常常是将(2x+cfrac{pi}{4})看成整体,代入(2kpi-cfrac{pi}{2}leq 2x+cfrac{pi}{4} leq 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z)),求解双连不等式,得到单调递增区间,就是采用了整体思想。

    • 复合函数的定义域的求解

    (f(x))(f(2x+1))

    • 函数的奇偶性的研究,

    比如(f(x)=x^3+sinx),整体有奇偶性,(f(x))是奇函数,但是(h(x)=x^3+sinx+1),却是整体没有奇偶性,其中的部分(x^3+sinx)有奇偶性。

    例3【函数的一部分(g(x))有奇偶性】设函数(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1),若(f(3)=10),则(f(-3))=【】

    $A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$

    分析:令(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x),则(g(x))为奇函数,则(g(-x)=-g(x))

    这样(f(x)=g(x)+1),由于(f(3)=g(3)+1=10)

    (f(-3)=m=g(-3)+1),两式相加得到,

    (g(3)+1+g(-3)+1=10+m),即(g(3)+g(-3)+2=10+m),即(2=10+m)

    解得(m=-8),即(f(-3)=-8),故选(A)

    • 利用部分的正负,可知整体的正负,

    如利用(e^x>0),可知判断导函数(f'(x)=(x^2-3x+2)cdot e^x)的正负,只需要判断(y=x^2-3x+2)的正负;

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9387730.html
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