整体与部分思想

前言

使用场景

• 函数的周期推导过程

1、(f(x+a)=-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a;;;;;)

推导：(f(x+2a)=f[(x+a)+a]xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

(f(x+a)=b-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a;;;;;)

推导：(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a)

• 用整体思想简化解不等式，

如已知不等式(x^2-3x+2leq 0)的解为(1leq xleq 2)，

故不等式((x+1)^2-3|x+1|+2leq 0)的解为(1leq |x+1|leq 2)，

从而得到(1leq x+1leq 2)，或者(1leq -(x+1)leq 2)，

解得(0leq xleq 1)，或者(-3leq xleq -2)，

再比如不等式(log_2^2x-3log_2x+2leq 0)的解为(1leq log_2xleq 2)，

解得(2leq xleq 4)，

例1【整体思想】已知关于(x)的方程((cfrac{1}{2})^x=cfrac{1+lga}{1-lga})有正根，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，1)$ $B.(cfrac{1}{10}，10)$ $C.(cfrac{1}{10}，1)$ $D.(10，+infty)$

分析：若能想到将(cfrac{1+lga}{1-lga})看成一个整体(b)，则原题目变形为方程((cfrac{1}{2})^x=b)有正根，结合图像可知，函数(y=(cfrac{1}{2})^x)和函数(y=b)的图像在((0，+infty))上有交点，故(bin (0，1))。

故原题目就等价于(0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，

解(0<cfrac{1+lga}{1-lga})，由穿根法得到，(-1<lga<1)，

解(cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，变形得到(cfrac{2lga}{lga-1}>0)，由穿根法得到(lga<0)或(lga>1)，

故(-1<lga<0)，解得(ain (cfrac{1}{10}，1))，故选(C).

解后反思：1、整个求解过程是将(lga)也看成一个整体，故能想到用穿根法求解；2、看到双联不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由(0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，得到(0<cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1)，即(0<-1+cfrac{2}{1-lga}<1)，故(1<cfrac{2}{1-lga}<2)，且能得到(1-lga>0)，

故利用倒数法则得到(cfrac{1}{2}<cfrac{1-lga}{2}<1)，即(1<1-lga<2)，即(-2<lga-1<-1)，即(-1<lga<0)，解得解得(ain (cfrac{1}{10}，1))，故选(C).

• 用整体思想研究函数的值域

如求函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{4})，xin [0，cfrac{pi}{3}])的值域时，我们需要做函数图像，其中一种简便的方法是，以(2x+cfrac{pi}{4})横轴，作图简单快捷，就是采用了整体思想。

• 用整体思想研究函数的单调性

如求函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{4}))的单调递增区间时，我们常常是将(2x+cfrac{pi}{4})看成整体，代入(2kpi-cfrac{pi}{2}leq 2x+cfrac{pi}{4} leq 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，求解双连不等式，得到单调递增区间，就是采用了整体思想。

• 复合函数的定义域的求解

(f(x))与(f(2x+1))

• 函数的奇偶性的研究，

比如(f(x)=x^3+sinx)，整体有奇偶性，(f(x))是奇函数，但是(h(x)=x^3+sinx+1)，却是整体没有奇偶性，其中的部分(x^3+sinx)有奇偶性。

例3【函数的一部分(g(x))有奇偶性】设函数(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1)，若(f(3)=10)，则(f(-3))=【】

$A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$

分析：令(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x)，则(g(x))为奇函数，则(g(-x)=-g(x))，

这样(f(x)=g(x)+1)，由于(f(3)=g(3)+1=10)，

令(f(-3)=m=g(-3)+1)，两式相加得到，

(g(3)+1+g(-3)+1=10+m)，即(g(3)+g(-3)+2=10+m)，即(2=10+m)，

解得(m=-8)，即(f(-3)=-8)，故选(A)。

• 利用部分的正负，可知整体的正负，

如利用(e^x>0)，可知判断导函数(f'(x)=(x^2-3x+2)cdot e^x)的正负，只需要判断(y=x^2-3x+2)的正负；