恒成立能成立和恰成立命题赏析

前言

恒成立、能成立和恰成立三类命题是高三数学中比较常见的高频考查素材。

尤其是恒成立、能成立命题，让许多学生感到头疼不已。考查的频次多，难度大，所以深入思考和总结这类命题的规律显得非常必要和迫切，同时和恒成立、能成立命题紧密相连的变形技巧----分离参数法，更是非常普遍和常用的一种数学变形方法。

恒成立问题

模型：(Aleqslant f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Aleqslant f(x)_{min})；

(Ageqslant f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Ageqslant f(x)_{max})；

说明：上述模型是最精简的模型，具体题目中一般不是这样的，需要我们做相应的转化化归。

比如(ln(x+1)+cfrac{a}{x+2}>1)对任意(x>0)成立，则可以转化为(a>(x+2)[1-ln(x+1)])恒成立，

比如(x^2+e^x+age 0)对任意实数恒成立，可以化归为(age -x^2-e^x)，这样就都属于上述类型。

已知函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上恒成立，求参数(a)的取值范围。

【常规】法1：二次函数法，由于(Delta=a^2+8>0)，故不需要考虑(Delta<0)的情形，

只需要考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系

当(-cfrac{a}{2}leq 1)时，即(ageqslant -2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，

所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2geqslant 0),解得(ageqslant 1)，又因为(ageqslant -2)，所以得到(ageqslant 1)。

当(-cfrac{a}{2}ge 5)时，即(aleqslant -10) 时，函数(f(x))在区间 ([1,5])单调递减，

所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2ge 0),解得(age -cfrac{23}{5})，

又因为(aleq -10)，所以得到(ainvarnothing)。

当(1<-cfrac{a}{2}<5)，即(-10<a<-2)时，(f(x)min=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2≥0)，

得到(ainvarnothing)。（这种情形可以省略）

综上可得(ageqslant 1。)即(a)的取值范围是([1，+infty))

【通法】法2：【恒成立+分离参数法】两边同时除以参数(a)的系数(x)(由于(xin [1，5])，不等号方向不变)，得到

(ageqslant cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上恒成立, 转化为求新函数“(cfrac{2}{x}－x)”在([1，5])上的最大值。

这时我们一般是定义新函数，令(g(x)=cfrac{2}{x}－x)，

则利用函数单调性的结论，可以看到(g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上单调递减，

所以(g(x)_{max}=g(1)=1)，所以(ageqslant 1)，即(a)的取值范围是([1，+infty))

已知函数(f(x)=x^2 +ax-2ageqslant 0)在区间 ([1，5])上恒成立，求参数(a)的取值范围。

【法1】：先求得对称轴(x=-cfrac{a}{2})，

①由于(Delta=a^2+8a≤0)时满足题意,解得(-8≤a≤0)，

再考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系

②当(-cfrac{a}{2}≤1)时，即(a≥-2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，

所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0),解得(-2≤a≤1)，又因为(a≥-2)，所以得到(-2≤a≤1)。

③当(-cfrac{a}{2}≥5)时，即(a≤-10)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递减，

所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0)，解得(a≥-cfrac{25}{3})，又因为(a≤-10)，所以得到(ainvarnothing).

④当(1<-cfrac{a}{2}<5),即(-10<a<-2)时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2a≥0)，

得到(-8≤a≤0),又(-10<a<-2)，所以(-8≤a<-2)（这种情形可以省略）

综上可得(a)的取值范围是([-8,1])

【法2】：分离参数法，先转化为((x-2)age -x^2，xin [1，5])

接下来就转化为了三个恒成立的命题了，

当(x=2)时，原不等式即((2-2)age -4)，(ain R)都符合题意；

当(2<x<5)时，原不等式等价于(age cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；

(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4leq 2sqrt{(x-2)cdot cfrac{4}{x-2}}-4=-8)

求得当(x=4)时，(g(x)_{max}=-8)，故(age -8)

当(1<x<2)时，原不等式等价于(aleq cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4=g(x))恒成立；

(g(x)=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4ge 2sqrt{-(x-2)cdot cfrac{-4}{x-2}}-4=0)

当且仅当(x=0)时取到等号，并不满足前提条件(1<x<2)，故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性，函数(y=x+cfrac{4}{x})在区间([1，2])上单调递增，

那么(y=x-2+cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递减，

(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2})在区间([1，2])上单调递增，(y=-(x-2)-cfrac{4}{x-2}-4)在区间([1，2])上单调递增，

故(g(x)_{min}=g(1)=1)，故(aleq 1)

以上三种情况取交集，得到(ain [-8，1])。

易错警示：当以自变量分类讨论时，结果往往需要求交集。

能成立问题

模型：(Aleqslant f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Aleqslant f(x)_{max})；

(Ageqslant f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Ageqslant f(x)_{min})；

已知函数(f(x)=x^2 +ax-2≥0)在区间 ([1，5])上能成立，求参数(a)的取值范围。

【法1】：同理得到(a≥cfrac{2}{x}－x)在区间([1,5])上能成立, 转化为求新函数(cfrac{2}{x}－x)在([1,5])上的最小值。

令(g(x)=cfrac{2}{x}－x，g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1,5])上单调递减，

所以(g(x)_{min}=g(5)=-cfrac{23}{5})，所以(a≥-cfrac{23}{5})，

即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))

【法2】：求(xin [1，5])上的(f(x)_{max}ge 0)，

对称轴是(x=-a)，针对(x=-a)和给定区间的位置关系分类讨论即可，较繁琐，

①当(-aleq 1)时，即(age -1)时，(f(x))在区间([1，5])单调递增，

故(f(x)_{max}=f(5)=5a+23ge 0)，即(age -cfrac{23}{5})，

又由于(age -1)，求交集得到(age -1)；

②当(1<-a<5)时，即(-5<a<-1)时，(f(x))在区间([1，5])有减有增无单调性，

(f(x)_{max}=max{f(1)，f(5)})，

(f(1)=a-1)，(f(5)=5a+23)，

(f(5)-f(1)=4a+24in [4，20])，即(f(5)>f(1))，

故(f(x)_{max}=f(5)=5a+23ge 0)，即(age -cfrac{23}{5})，

求交集得到，(-cfrac{23}{5}leq a<-1)；

③当(-age 5)时，即(aleq -5)时，(f(x))在区间([1，5])单调递减，

故(f(x)_{max}=f(1)=a-1ge 0)，即(age 1)，

求交集得到(ain varnothing)；

综上所述，得到(ain [-cfrac{23}{5}，+infty))。即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))。

【法3】：转化为不等式(f(x)=x^2 +ax-2≥0)在区间 ([1,5])上有解，解法基本同于法2，

①当(-aleq 1)时，必须(f(5)ge 0)，解得(age -1)；

②当(1<-a<5)时，必须(f(5)ge 0)，解得(-cfrac{23}{5}leq a<-1)；

③当(-age 5)时，必须(f(1)ge 0)，解得(ain varnothing)；

综上所述，得到(ain [-cfrac{23}{5}，+infty))。

解后反思：需要注意的是，这种命题作为一种数学模型，我们还需要关注其等价的叙述方法，其中涉及考查转化划归的能力。^[1]

函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上恒成立 (Longleftrightarrow forall xin [1，5])，都能使得函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)成立。
再比如： 函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上能成立，(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上有解(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上解集不是空集(Longleftrightarrow)不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上至少有一个解。

恰成立命题

已知函数(f(x)=sqrt{1+3^x+acdot 9^x})，其定义域为((-infty，1])，则a的取值是(a=-cfrac{4}{9})。

解析：由题目可知(1+3^x+acdot 9^xge 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，

即((cfrac{1}{9})^x+(cfrac{1}{3})^x+age 0)的解集必须恰好是是((-infty，1])，

令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，

则(g(cfrac{1}{3})=0)，所以(9a+4=0，a=-cfrac{4}{9})。

反思总结：本题有两种变换，其一令(3^x=tin(0，3])，变换得到(h(t)=at^2+t+1ge0)的解集必须是((0，3])；

其二令((cfrac{1}{3})^x=t)，则(tin[cfrac{1}{3}，+infty))，则(g(t)=t^2+t+a>=0)的解集必须是([cfrac{1}{3}，+infty))，

变换二比变换一要好处理、好理解一些。 图像说明

不等式(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0)在区间 ([-1，1])上恰成立(或者不等式(x^2 -(a^2+a)x+a^3≤0)的解集是([-1，1]))，求参数(a)的取值。

解析：(f(x)=x^2 -(a^2+a)x+a^3 ≤0)在区间 ([-1，1])上恰成立，则(f(-1)=0，f(1)=0)，解得(a= -1).

若函数(f(x)=cfrac{x^3}{3}-cfrac{3x^2}{2}+ax+4)恰在([-1，4])上单调递减，则实数(a)的值为(-4).

解析：(f'(x)=x^2-3x+a≤0)的解集是([-1，4])，则(4)是方程(x^2-3x+a=0)的根，故实数(a= - 4).

【2018福建四地六校联考】已知函数(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2)的值域为((-infty，0]cup[4，+infty))，求(a)的值。

分析：本题目属于恰成立命题，

当(x>0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2ge 2sqrt{a}+2=4)，解得(a=1)，当且仅当(x=1)时取到等号；

当(x<0)时，(f(x)=x+cfrac{a}{x}+2leq -2sqrt{a}+2=0)，解得(a=1)，当且仅当(x=-1)时取到等号；

综上可知，(a=1)。

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1. ↩︎