求弦长或线段长

前言

求弦长问题，常见于直线和圆，直线和椭圆，直线和双曲线，直线和抛物线相交所形成的弦的长度问题。

弦长公式

• 直角坐标系下，针对直线和曲线的普通方程，(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)，推导过程^[1]

• 直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程，(|AB|=|t_1-t_2|)，

• 极坐标系下，针对点(O)，(A)，(B)三点共线的情形，(|AB|=|large{ ho}_{ iny{A}}-large{ ho}_{ iny{B}}|)

直线和圆

• 求直线和圆的弦长常用方法；其中以几何方法最为简单。

①几何方法；利用弦心距、半弦长、半径所形成的(RtDelta)求解，还用到点到直线的距离公式。弦长(=2sqrt{R^2-d^2});

②弦长公式；(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)，运算量稍大一些；

③直线的参数方程法；(|AB|=|t_1-t_2|)，此时需要注意直线的参数方程必须是标准形式，这种方法不太好理解。

案例【2019届凤中高三理科月考1第22题】在平面直角坐标系(xoy)中，直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array} ight.(t为参数))，以原点为极点，以(x)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，(odot C)的极坐标方程为( ho^2-4 ho sin heta-12=0)，

(1) 求(odot C)的参数方程；

分析：将( ho^2=x^2+y^2)，(y= hocdot sin heta)，代入(odot C)的极坐标方程( ho^2-4 ho sin heta-12=0)，

得到(odot C)的直角坐标方程为(x^2+y^2-4y-12=0)，即(x^2+(y-2)^2=16=4^2)，

故(odot C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4cos heta}\{y=2+4sin heta}end{array} ight.) (( heta)为参数，( hetain [0，2pi)))。

(2)求直线(l)被(odot C)截得的弦长。

【法1，几何方法，(RtDelta)】将直线(l)的参数方程消参，得到其普通方程为(2x-y-3=0)，

则圆心((0，2))到直线的距离为(d=cfrac{|-2-3|}{sqrt{2^2+1^2}}=sqrt{5})，

则直线(l)被(odot C)截得的弦长为(2sqrt{r^2-d^2}=2sqrt{4^2-(sqrt{5})^2}=2sqrt{11})。

【法2，弦长公式】设直线和圆的交点为(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2))，

联立得到方程组，(left{egin{array}{l}{2x-y-3=0}\{x^2+y^2-4y-12=0}end{array} ight.)

消去(y)得到，(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0)，

整理得到，(5x^2-20x+9=0)，

由韦达定理得到，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=cfrac{9}{5})，

由弦长公式得到，(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)

(=sqrt{1+2^2}sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})

(=sqrt{5}sqrt{16-cfrac{36}{5}}=2sqrt{11})。

【法3，利用直线的参数方程求解】图像解释

直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array} ight.(t为参数))，

(此时千万要注意，弦长(|AB| eq |t_1-t_2|)，原因是这个参数方程不是标准形式的)

将其做如下的转化，

(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}end{array} ight.(t为参数))，

令(sqrt{5}t=m)，则其参数方程的标准形式为

(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot m}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot m}end{array} ight.(m为参数))，

【此时参数(m)的几何意义才是动点到静点的距离的数量，千万要注意，即弦长(|AB|=|m_1-m_2|)】

将直线(l)的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，

((2+cfrac{1}{sqrt{5}}m)^2+(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)^2-4(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)-12=0)

整理为(m^2-11=0)，令直线和圆的两个交点(A，B)分别对应的参数为(m_1，m_2)，

则(m_1+m_2=0)，(m_1m_2=-11)，

此时弦长(|AB|=|m_1-m_2|=sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=sqrt{4 imes 11}=2sqrt{11})。

• 如何将一个直线的普通方程转化为参数方程?^[2]

例2【2011新课标卷第22题】在直角坐标系(xoy)中，曲线(C_1)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2cosalpha}\{y=2+2sinalpha}end{array} ight.quad) ((alpha)为参数) (M)是(C_1)上的动点，(P)点满足(overrightarrow{OP}=2overrightarrow{OM})，(P)点的轨迹为曲线(C_2)。

(1).求(C_2)的方程；

分析：本题目实质是采用相关点法求解，

法1：设点(P(x,y))，由于(overrightarrow{OP}=2overrightarrow{OM})，则点(M(cfrac{x}{2},cfrac{y}{2}))，

由于点(M)是(C_1)上的点，故满足(C_1)的参数方程，即(left{egin{array}{l}{cfrac{x}{2}=2cosalpha}\{cfrac{y}{2}=2+2sinalpha}end{array} ight.quad)

即(left{egin{array}{l}{x=4cosalpha}\{y=4+4sinalpha}end{array} ight.quad)，从而(C_2)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4cosalpha}\{y=4+4sinalpha}end{array} ight.quad)((alpha)为参数)；

法2：首先消参得到曲线(C_1)的普通方程为(x^2+(y-2)^2=4)，

设点(P(x,y))，由于(overrightarrow{OP}=2overrightarrow{OM})，则点(M(cfrac{x}{2},cfrac{y}{2}))，

由于点(M)是(C_1)上的点，故满足(C_1)的普通方程，即((cfrac{x}{2})^2+(cfrac{y}{2}-2)^2=4)，

整理，即得到曲线(C_2)的普通方程为(x^2+(y-4)^2=4^2)；

法3：也可以在极坐标系下，采用相关点法，得到曲线(C_2)的极坐标方程为( ho=8sin heta)，具体过程略；

(2).在以(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线( heta=cfrac{pi}{3})与(C_1)的异于极点的交点为(A)，与(C_2)的异于极点的交点为(B)，求(|AB|)；

法1：曲线(C_1)的普通方程为(x^2+(y-2)^2=4)，曲线(C_2)的普通方程为(x^2+(y-4)^2=4^2)；

射线( heta=cfrac{pi}{3})的普通方程为(y=sqrt{3}x(x>0))，联立求得点(A)和(B)的坐标，

再利用两点间的距离公式求得(|AB|)；此方法思维量小运算量大，容易出错；

法2：利用弦心距、半弦长、半径构成的(Rt riangle)求解弦长，再做差即可；

法3：由于线段(AB)经过极点，故可以采用(|AB|=|large{ ho}_{ iny{A}}-large{ ho}_{ iny{B}}|)求解

曲线(C_1)的极坐标方程为( ho=4sin heta)；曲线(C_2)的极坐标方程为( ho=8sin heta)；

由(left{egin{array}{l}{ heta=cfrac{pi}{3}}\{ ho=4sin heta}end{array} ight.quad)，得到(large{ ho}_{ iny{A}}=4sincfrac{pi}{3}=2sqrt{3})；

同理，由(left{egin{array}{l}{ heta=cfrac{pi}{3}}\{ ho=8sin heta}end{array} ight.quad)，得到(large{ ho}_{ iny{B}}=8sincfrac{pi}{3}=4sqrt{3})；

故(|AB|=|large{ ho}_{ iny{A}}-large{ ho}_{ iny{B}}|=2sqrt{3})；

法4：利用平面几何知识，(30^{circ})，(60^{circ})，(90^{circ})的三角形知识，可以很快求得(|OA|=2sqrt{3})，(|OB|=4sqrt{3})，

故(|AB|=|OB|-|OA|=2sqrt{3})；

直线和椭圆

• 直线和椭圆的弦长；其中以直线的参数方程法最为简单。常用方法：

①几何方法不再适用；

②弦长公式还能使用；(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)，运算量稍大一些；

③直线的参数方程法；(|AB|=|t_1-t_2|)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；

例子暂缺，

直线和双曲线

• 直线和双曲线的弦长；其中以直线的参数方程法最为简单。常用方法：

①几何方法不再适用；

②弦长公式还能使用；(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)，运算量稍大一些；

③直线的参数方程法；(|AB|=|t_1-t_2|)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；

例子暂缺，

直线和抛物线

• 直线和抛物线的弦长；其中以直线的参数方程法最为简单。常用方法：

①几何方法不再适用；

②弦长公式还能使用；(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)，运算量稍大一些；

③直线的参数方程法；(|AB|=|t_1-t_2|)，需要注意直线的参数方程必须是标准形式；

案例设抛物线(C：y^2=3x)的焦点，过(F)且倾斜角为(30^{circ})的直线交(C)于(A)，(B)两点，则(|AB|)等于【】

$A.cfrac{sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7sqrt{3}$

【法1】：常规方法，利用两点间距离公式，

由于(2p=3)，则(cfrac{p}{2}=cfrac{3}{4})，故焦点(F(cfrac{3}{4}，0))，又斜率为(k=cfrac{sqrt{3}}{3})，

则直线(AB)的方程为(y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4}))，

联立直线(AB)和抛物线方程，得到(left{egin{array}{l}{y^2=3x}\{y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4})}end{array} ight.)，

消(y)得到(16x^2-24 imes7x+9=0)，设点(A(x_1，y_1))，点(B(x_2，y_2))，

则(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(x_1x_2=cfrac{9}{16})，

故(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12)。

【法2】：利用直线(AB)的参数方程的参数的几何意义，

直线(AB)的参数方程为(egin{cases}x=cfrac{3}{4}+cfrac{sqrt{3}}{2}t\y=0+cfrac{1}{2}tend{cases}(t为参数))，将其代入(y^2=3x)中，

整理得到(t^2-6sqrt{3}t-9=0)，设(A)，(B)对应的参数分别为(t_1)，(t_2)，

则(Delta>0)，且有(t_1+t_2=6sqrt{3})，(t_1t_2=-9)，

故(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{36 imes3-4 imes(-9)}=12)。

【法3】：利用抛物线的定义可知，(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+cfrac{p}{2}+x_2+cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p)，

故由法1中，得到(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(p=cfrac{3}{2})，即(|AB|=x_1+x_2+p=12)。

法4：利用抛物线的焦点弦长公式：(|AB|=cfrac{2p}{sin^2alpha})，则(|AB|=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{1}{2})^2}=12)。

典例剖析

例1【2019届理科数学周末训练1第22题】已知直线(l)的极坐标方程为( ho sin( heta-cfrac{pi}{3})=0)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为(x)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线(C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2cosalpha}\{y=2+2sinalpha}end{array} ight.)((alpha为参数))。课件

（1）求直线(l)被曲线(C)截得的弦长(|OA|).

分析：可以从以下四个角度思考，

①利用两点间的距离公式；

【法1】直线(l)的普通方程为(y=sqrt{3}x)，圆(C)的普通方程为(x^2+(y-2)^2=2^2)，

联立消掉(y)，得到(x^2-sqrt{3}x=0)，

解得，(left{egin{array}{l}{x_1=0}\{y_1=0}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{x_2=sqrt{3}}\{y_2=3}end{array} ight.)，

由两点间距离公式得到(|OA|=2sqrt{3})。

②直线和圆相交求弦长的几何方法；

【法2】直线为(sqrt{3}x-y=0)，圆心为((0，2))，

则圆心到直线的距离为(d=cfrac{|0-2|}{2}=1)，又半径为(2)，

故半弦长为(sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3})，则弦长(|OA|=2sqrt{3})。

③直线的参数方程法；

【法3】由于直线的普通方程为(y=sqrt{3}x)，

经过点((0，0))，斜率(k=tan heta=sqrt{3})，

直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=0+cfrac{1}{2}t}\{y=0+cfrac{sqrt{3}}{2}t}end{array} ight.(t为参数))，

将其代入圆的普通方程(x^2+(y-2)^2=2^2)，

整理得到(t^2-2sqrt{3}t=0)，

解得(t_1=0)，(t_2=2sqrt{3})，

则弦长(|OA|=|t_1-t_2|=2sqrt{3})。

④极坐标法；

【法4】直线的极坐标方程为( heta=cfrac{pi}{3})，

圆的极坐标方程为( ho=4sin heta)，

二者联立，得到( ho=4sincfrac{pi}{3}=2sqrt{3})。

即所求弦长(|OA|=2sqrt{3})。

（2）从极点做曲线(C)的弦，求弦的中点(M)轨迹的极坐标方程。

分析：可以从以下三个角度思考：

①利用平面直角坐标系下的中点公式；

【法1】相关点法，在平面直角坐标系中，设过坐标原点的直线和圆相交于点(P(x_0，y_0))，则所得弦的中点坐标为(M(x，y))

则(left{egin{array}{l}{2x=x_0}\{2y=y_0}end{array} ight.)，又点(P(x_0，y_0))在圆(x^2+(y-2)^2=2^2)上，

代入整理得到普通方程为(x^2+(y-1)^2=1)，

即其极坐标方程为( ho=2sin heta)，

其中(alphain(0，pi))，而不是(alphain[0，pi))，以保证弦的存在。

②利用圆的参数方程；

由于圆上任意一动点(P)的坐标(P(2cos heta，2+2sin heta))，则弦的中点(M(cos heta，1+sin heta))，

即点(M)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cos heta}\{y=1+sin heta}end{array} ight.( heta为参数))，

消去参数( heta)，得到普通方程为(x^2+(y-1)^2=1)，

即其极坐标方程为( ho=2sin heta)，

其中(alphain(0，pi))，而不是(alphain[0，pi))，以保证弦的存在。

③利用极坐标法；

【法3】曲线(C)的极坐标方程为( ho=4sin heta)，

过极点的直线的极坐标方程为( heta=alpha)，

设直线和曲线(C)的交点的极坐标为(( ho_1，alpha))，

则弦的中点(M)的极坐标为(( ho，alpha))，

由题目可知，( ho_1=2 ho)，代入曲线(C)的极坐标方程为(2 ho=4sinalpha)，

得到( ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。

故弦的中点(M)轨迹的极坐标方程为( ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。

说明：由于弦的中点要存在，则必须保证( ho eq 0)，即原来的(alphain[0，pi))，必须变为(alphain(0，pi))。

对应练习

练1已知点(M)在圆(C：x^2+y^2-4y+3=0)上，点(N)在曲线(y=1+lnx)上，则线段(MN)的长度的最小值为_______。

提示：曲线(y=1+lnx)的切线为(y=x)，则原问题转化为点((cos heta，2+sin heta))到直线(x-y=0)的点线距。(d_{min}=sqrt{2}-1)。

---

1. 设直线方程为(y=kx+b)，两个交点为点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))；
   则由平面内任意两点间的距离公式可得，
   (|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=sqrt{(x_1-x_2)^2+[(kx_1+b)-(kx_2+b)]^2})
   (=sqrt{(x_1-x_2)^2+k^2(x_1-x_2)^2}=sqrt{1+k^2}cdot sqrt{(x_1-x_2)^2})
   (=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
   即弦长公式：(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
   (|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=sqrt{(frac{y_1-b}{k}-frac{y_2-b}{k})^2+(y_1-y_2)^2})
   (=sqrt{frac{(y_1-y_2)^2}{k^2}+(y_1-y_2)^2}=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot sqrt{(y_1-y_2)^2})
   (=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
   即弦长公式：(|AB|=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
   故弦长公式：(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|=sqrt{1+frac{1}{k^2}}cdot |y_1-y_2|)
   具体使用时，如下所示，为了和韦达定理相联系。
   (|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ |x_1-x_2|^2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ x_1^2+x_2^2-2x_1x_2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{ x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-4x_1x_2})(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})
   (|AB|=sqrt{1+(cfrac{1}{k})^2}cdotsqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}) ↩︎

2. 如给定直线(y=2x+1)，其中点((0，1))，点((1，3))都在其上，
   我们现在想求做过点((1，3))的直线(y=2x+1)的参数方程，
   可以这样做，依照模板(left{egin{array}{l}{x=x_0+cos heta cdot t}\{y=y_0+sin hetacdot t}end{array} ight.(t为参数))
   定点坐标为((x_0，y_0)=(1，3))，
   可知(k=tan heta=2)，引入非零比例因子(k)，
   得到(sin heta=2k)，(cos heta=k(k>0))，
   由(sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到(k=cfrac{sqrt{5}}{5})，
   则可知(cos heta=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin heta=cfrac{2sqrt{5}}{5})
   故所给定直线(y=2x+1)的参数方程为
   (left{egin{array}{l}{x=1+cfrac{sqrt{5}}{5} t}\{y=3+cfrac{2sqrt{5}}{5} t}end{array} ight.(t为参数))
   总结思路：①找个定点；②求解(cos heta)和(sin heta)；③带入模板，OK! ↩︎