函数的单调性定义的延伸应用

函数的单调性有好多有用的结论，理解并灵活应用有助于我们的解题。

• 结论1：已知函数(f(x))，(g(x))在区间(D)上单调递增(或减)，则(F(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递增(或减)；

证明：任取(x_1<x_2in D)，则由(f(x))，(g(x))在(D)上单调递增，

则(f(x_1)<f(x_2))，(g(x_1)<g(x_2))，

(F(x_1)-F(x_2)=f(x_1)+g(x_1)-[f(x_2)+g(x_2)])

(=f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)<0)，

即函数(F(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递增；

同理可证，函数(f(x))，(g(x))在区间(D)上单调递减，则(F(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递减；

简单应用：比如(y=x)在(R)上单调递增，(y=x^3)在(R)上单调递增，

则(y=x+x^3)在(R)上就单调递增，这一性质就能帮助我们理解和掌握更多函数的性质。

• 结论2：已知函数(f(x))在区间(D)上单调递增，(g(x))在区间(D)上单调递减，则(F(x)=f(x)-g(x))在(D)上单调递增；

证明：仿上完成。

简单应用：比如(y=x)在((0，+infty))上单调递增，(y=cfrac{1}{x})在((0，+infty))上单调递减，

则函数(y=x-cfrac{1}{x})在区间((0，+infty))上单调递增。

• 结论3：已知函数(f(x))，(g(x))在区间(D)上单调递增，且(f(x)>0)，(g(x)>0)， 则(H(x)=f(x)cdot g(x))在(D)上单调递增；

证明：任取(x_1<x_2in D)，则由(f(x))，(g(x))在(D)上单调递增，

则(f(x_1)<f(x_2))，(g(x_1)<g(x_2))，

即(f(x_1)-f(x_2)<0)，(g(x_1)-g(x_2)<0)，

(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_2)cdot g(x_2))

(=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_1)cdot g(x_2)-[f(x_2)cdot g(x_2)-f(x_1)cdot g(x_2)])

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)cdot[f(x_2)-f(x_1)])，

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)])，

由于(f(x_1)-f(x_2)<0)，(g(x_1)-g(x_2)<0)，且(f(x)>0)，(g(x)>0)，

则上式(f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0)，

即(H(x_1)-H(x_2)<0)

即函数(H(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递增；

简单应用：函数(f(x)=x)，(g(x)=e^x)在区间((0，+infty))上单调递增，且(f(x)>0)，(g(x)>0)，

则(H(x)=xcdot e^x)在((0，+infty))上单调递增；

• 结论4：已知函数(f(x))，(g(x))在区间(D)上单调递减，且(f(x)>0)，(g(x)>0)， 则(H(x)=f(x)cdot g(x))在(D)上单调递减；

证明：任取(x_1<x_2in D)，则由(f(x))，(g(x))在(D)上单调递减，

则(f(x_1)>f(x_2))，(g(x_1)>g(x_2))，

即(f(x_1)-f(x_2)>0)，(g(x_1)-g(x_2)>0)，

(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_2)cdot g(x_2))

(=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_1)cdot g(x_2)-[f(x_2)cdot g(x_2)-f(x_1)cdot g(x_2)])

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)cdot[f(x_2)-f(x_1)])，

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)])，

由于(f(x_1)-f(x_2)>0)，(g(x_1)-g(x_2)>0)，且(f(x)>0)，(g(x)>0)，

则上式(f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)]>0)，

即(H(x_1)-H(x_2)>0)

即函数(H(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递减；

• 结论5：已知函数(f(x))，(g(x))在区间(D)上单调递减，且(f(x)<0)，(g(x)<0)， 则(H(x)=f(x)cdot g(x))在(D)上单调递增；

证明：任取(x_1<x_2in D)，则由(f(x))，(g(x))在(D)上单调递减，

则(f(x_1)>f(x_2))，(g(x_1)>g(x_2))，

即(f(x_1)-f(x_2)>0)，(g(x_1)-g(x_2)>0)，

(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_2)cdot g(x_2))

(=f(x_1)cdot g(x_1)-f(x_1)cdot g(x_2)-[f(x_2)cdot g(x_2)-f(x_1)cdot g(x_2)])

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)cdot[f(x_2)-f(x_1)])，

(=f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)])，

由于(f(x_1)-f(x_2)>0)，(g(x_1)-g(x_2)>0)，且(f(x)<0)，(g(x)<0)，

则上式(f(x_1)cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0)，

即(H(x_1)-H(x_2)<0)，

即函数(H(x)=f(x)+g(x))在(D)上单调递增；