前言
复合函数是高中数学中的一大难点。
相关函数
- 基本初等函数,可以类比原子是构成物质的最基本的不可再分的微粒一样,来理解基本初等函数和其他函数的关系。
高中阶段所学习的函数中,只有前五种基本初等函数,需要学生切实掌握。第六种现在不需要学生学习。
①常函数(f(x)=c(c为常数));
②幂函数(f(x)=x^{alpha});
③指数函数(f(x)=a^x(a>0且a eq 1));
④对数函数(f(x)=log_ax(a>0且a eq 1));
⑤三角函数(f(x)=sinx[或f(x)=cosx]);
⑥反三角函数(f(x)=arcsinx,xin[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])等,
- 初等函数:由基本初等函数经过四则运算所构成的函数。如一次函数,二次函数等。
比如,一次函数(f(x)=kx+b(k eq 0)),其实是常函数(y=k)与幂函数(y=x)相乘,再与常函数(y=b)求和得到的。
比如,指数型函数(y=3cdot 2^x+1),其实是常函数(y=3)与指数函数(y=2^x)相乘,再与常函数(y=1)求和得到的。
复合函数
-
定义:设函数(y=f(u))和(u=g(x)),则函数(y=f[g(x)])称为由(y=f(u))和(u=g(x))复合而成的复合函数,其中函数(y=f(u))常常称为外函数,函数(u=g(x))常常称为内函数,其中内函数的值域必须是外函数的定义域的子集。
-
复合函数的拆分:如(y=(cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1}),拆分为(y=(cfrac{1}{2})^u)和(u=2x^2+3x-1)两个函数。
典例剖析
- 涉及复合函数的定义域
注意:①(f(x+2))和(f(2^x-3))中,由于自变量整体(x+2)和(2^x-3)接受同样的对应法则的作用,故所受的限制应该是一样的,即两个自变量整体的取值范围应该是一样的;②已知定义域或求解定义域都是针对单独的自变量(x)而言。
分析:解决这类题目需要牢牢抓住两点:其一接受对应法则(f)作用的(x)和(2x+1)是处于对等位置的,其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域,
都是针对单独的自变量(x)而言,据此可知由于(-1leq xleq 1),故(-1leq 2x+1leq 1),
解得函数(f(2x+1))的定义域是(xin [-1,0])。
分析:这里同样你得清楚(x+1)和(2^x-2)是对等的,
先由(xin[0,1]),计算得到(1leq x+1leq 2),故(1leq 2^x-2leq 2),
解得(3leq 2^xleq 4),同时取以2为底的对数得到(log_2^3leq xleq 2),
则所求定义域是(xin [log_2^3,2])。
分析:由上面的例子分析可知,所给函数的定义域是([-1,1]),
即函数(f(2x+1))的自变量(x)的取值范围是([-1,1]),
故内函数(2x+1)的取值范围这样求解,
由(-1leq x leq 1),得到(-2leq 2x leq 2),
所以(-1=-2+1leq 2x+1 leq 2+1=3),
又由于(2x+1)和(x)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行),
所以(f(x))的(x)的取值范围应该是(-1leq xleq 3),
故函数(f(x))的定义域是([-1,3])。
- 复合函数的值域
分析:设(g(x)=sinx+cos^2x-1),(xin (0,cfrac{pi}{2})),则(g(x)=sinx-sin^2x=-(sinx-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4}),
又(0<sinx<1),故当(sinx=cfrac{1}{2})时,(g(x)_{max}=cfrac{1}{4}),即(0<g(x)leqslant cfrac{1}{4}),
故(f(x)=log_{0.5}g(x)geqslant log_{0.5}cfrac{1}{4}=2),故(f(x)in [2,+infty))。
- 复合函数的单调性
分析:令(u=x^2-3x+2),则原复合函数拆分为外函数(y=f(u)=log_2u)和内函数(u=x^2-3x+2)
由(u=x^2-3x+2>0),解得(xin (-infty,1)cup(2,+infty)),
即此复合函数的定义域为(xin (-infty,1)cup(2,+infty))。
那么要研究其单调性,必须先在上述定义域范围内,定义域优先原则。
然后由(u=x^2-3x+2=(x-cfrac{3}{2})^2-cfrac{1}{4}),
则内函数(u(x))在区间((-infty,1))上单调递减,在区间((2,+infty))上单调递增,
而外函数(y=f(u)=log_2u)只是单调递增的,
故复合函数(f(x))在区间((-infty,1))上单调递减,在区间((2,+infty))上单调递增。
已知函数(y=f(x)(xin R))的图像如图所示,则函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))的单调递减区间为【】
分析:由图可知,外函数(f(x))在区间((-infty,0))和([cfrac{1}{2},+infty))上单调递减,在区间([0,cfrac{1}{2}])上单调递增,
又(0<a<1)时,内函数(y=log_ax)在区间((0,+infty))上单调递减,
故要使得复合函数函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))单调递减,
则需要(log_axin [0,cfrac{1}{2}]),即(0leq log_axleq cfrac{1}{2}),
解得(xin [sqrt{a},1]),故选(B)。
- 已知复合函数的单调性求参数的取值范围
分析:内函数(g(x)=-(x-2)^2+9),若要在区间((a-1,a+1))上单调递减,
则内函数需要满足条件(a+1leq 2)①;
又由于内函数必须恒为正,故需要满足(-(a-1-2)^2+9ge 0)②,
联立①②可得,(0leq aleq 1);故选(A)。
分析:令(g(x)=(a^2-3a)x),由于(g(x)>0)在区间((-infty,0))上要恒成立,
则有(a^2-3a<0),这样内函数(g(x))只能单调递减,复合函数(f(x)=log_{3a}g(x))是单调递减的,
所以外函数必须是单调递增的,故(3a>1),由(egin{cases}a^2-3a<0\3a>1end{cases}),
解得(cfrac{1}{3}<a<3),故(ain(cfrac{1}{3},3))。
分析:令内函数为(g(x)=cfrac{4x^2+m}{x}=4x+cfrac{m}{x}),借助对勾函数可知,
函数(g(x))在((0,cfrac{sqrt{m}}{2}])上单调递减,在([cfrac{sqrt{m}}{2},+infty))上单调递增;
由于复合函数(f(x))在([2,3])上单调递增,则可能有两种情形:
其一为外函数单调递减且内函数单调递减,其二为外函数单调递增且内函数单调递增,
则只需要满足(left{egin{array}{l}{0<m<1}\{3leqslant cfrac{sqrt{m}}{2}}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m>1}\{cfrac{sqrt{m}}{2}geqslant 2}end{array} ight.)
解得(min varnothing)或(1<mleqslant 16),即(min (1,16]),故选(D).
分析:令(g(x)=6-ax),像这类题目既要考虑单调性,还要考虑定义域,
易错之处就是只考虑单调性而不顾及定义域。
由题目可知必有(a>0),故函数(g(x))单调递减,
考虑定义域时只要最小值(g(2)>0)即可,再考虑外函数必须是增函数,故(a>1),
结合(g(2)>0),解得(1<a<3),故选(D)。
- 复合函数的求导
分析:我们目前一般只涉及一次复合的函数如(y=f(u))和(u=g(x)),
则复合函数为(y=f[g(x)]),([f(g(x))]'=f'[g(x)]cdot g'(x));
令(phi=2x+1),则(y=f(x)=sinphi),故(f'(x)=y'_x=y'_{phi}cdot phi'_x=cosphicdot 2=2cos(2x+1));
②设(g(x)=ln(x^2+3x)),求导函数(g'(x));
分析:(g'(x)=cfrac{1}{x^2+3x}cdot (x^2+3x)'=cfrac{2x+3}{x^2+3x});
说明:函数(f(x)=x^2pm lnx),不是复合函数,只是两个函数(y=x^2)与函数(y=lnx)之间用四则运算构成的一个新函数。
③[抽象复合函数的求导]设(g(x)=xcdot f(2x)),求(g'(x))
分析:(g'(x)=[xcdot f(2x)]'=x'cdot f(2x)+xcdot f'(2x)cdot (2x)'=f(2x)+2xcdot f'(2x))
- 注意:复合函数求导时的运算,如对(y=ln(cfrac{1+x}{1-x}))直接求导,不如变形为(y=ln(1+x)-ln(1-x))后求导;
若(f(x)=cos(2x+cfrac{pi}{3})),则(f'(x)=-2sin(2x+cfrac{pi}{3}));
若已知(f(2x+3)),则([f(2x+3)]'=2f'(2x+3));
- 已知复合函数的定义域或值域为(R),求参数的取值范围;
①如果函数的定义域是(R),求参数(a)的取值范围;
预备:先想一想,这个函数的定义域应该怎么求解?
分析:由于函数的定义域是(R),说明对任意的(xin R),都能使得(g(x)=x^2+2ax-a>0),
转化为二次函数恒成立问题了,(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)
这里用数形结合,函数(g(x))开口向上,和(x)轴没有交点,则(Delta <0),
即(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)<0),解得(ain (-1,0))。
②如果函数的值域是(R),求参数(a)的取值范围;
分析:如右图所示,要使得函数(f(x))的值域是(R),说明内函数(g(x)=x^2+2ax-a)必须要能取遍所有的正数,结合下图,
如果有一部分正实数不能取到,那么函数(f(x))的值域就不会是(R),这样只能是函数(g(x))的(Delta ge 0),
而不能是(Delta <0),注意现在题目要求是值域为(R),而不是定义域为(R),
因此必须满足条件(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)ge 0),解得(ain {amid aleq -1 ,age 0})。
下图是参数(ain [-3,3])时的两个函数图像的动态变化情况;
下图是参数(ain (-1,0))时的两个函数图像的动态变化情况;
- 涉及图像的复合函数问题
①方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根;②方程(g[f(x)]=0)有且仅有(3)个根;
③方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根;④方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根;
则正确的命题有 _______________。①③④
【法1】:从里向外分析,重新配图;得空整理;
对于命题①而言,复合函数为(f[g(x)]);为什么如下选择区间?理由[1]
在([-2,x_0])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(-2)]=f(-2)=-2),(f[g(x_0)]=f(-1)=1),其中(g(x_0)=-1);
在([x_0,x_1])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(x_1)]=f(0)=0),其中(g(x_1)=0);
在([x_1,x_2])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(x_2)]=f(1)=-1),其中(g(x_2)=1);
在([x_2,-1])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(-1)]=f(2)=2);
在([-1,0])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(0)]=f(1)=-1);图中未说明,假定(g(0)=1);
在([0,1])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4);(g(1)=-0.3),(f(-0.3)=0.4)为估算值;
在([1,x_3])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(x_3)]=f(-1)=1),其中(g(x_3)=-1);
在([x_3,2])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(2)]=f(-2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根;故①正确;
对于命题②而言,复合函数为(g[f(x)]);
在([-2,x_4])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(-2)]=g(-2)=-2),(g[f(x_4)]=g(-1)=2),其中(f(x_4)=-1);
在([x_4,x_5])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(x_5)]=g(0)=1),其中(f(x_5)=0);
在([x_5,-1])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(-1)]=g(1)=-0.3);
在([-1,0])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(0)]=g(0)=1);
在([0,1])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(1)]=g(-1)=2);
在([1,x_6])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(x_6)]=g(1)=0),其中(f(x_6)=1);
在([x_6,2])上,(f[g(x)]searrow),(g[f(2)]=g(2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根;故②错误;
对于命题③而言,复合函数为(f[f(x)]);
在([-2,x_4])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(-2)]=f(-2)=-2),(f[f(x_4)]=f(-1)=1),其中(f(x_4)=-1);
在([x_4,x_5])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(x_5)]=f(0)=0),其中(f(x_5)=0);
在([x_5,-1])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(-1)]=f(1)=-1);
在([-1,0])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(0)]=f(0)=0);
在([0,1])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(1)]=f(-1)=1);
在([1,x_6])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(x_6)]=f(1)=-1),其中(f(x_6)=1);
在([x_6,2])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(2)]=f(2)=2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根;故③正确;
对于命题④而言,复合函数为(g[g(x)]);
在([-2,x_0])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(-2)]=g(-2)=-2),(g[g(x_0)]=g(-1)=2),其中(g(x_0)=-1);
在([x_0,x_1])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(x_1)]=f(0)=0),其中(g(x_1)=0);
在([x_1,x_2])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3),其中(g(x_2)=1);
在([x_2,-1])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(-1)]=g(2)=-2);
在([-1,0])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(0)]=g(1)=0);
在([0,1])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(1)]=g(0)=1);
在([1,x_3])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(x_3)]=g(-1)=2),其中(g(x_3)=-1);
在([x_3,2])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(2)]=f(-2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根;故④正确;
综上所述,正确的命题有①③④。
法2:从外向里分析,由图像可知,(-2leqslant g(x)leqslant 2),(-2leqslant f(x)leqslant 2),
对于命题①而言,由于满足方程(f[g(x)]=0)的(g(x))有(3)个不同值,由于每个值(g(x))又对应了(2)个(x)值,故满足(f[g(x)]=0)的(x)值有(6)个,即方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根,故命题①正确;
[图像使用方法说明]:由(y=f(x))的图像可以看出,使得(f(x)=0)的三个零点值分别为(x_1=-1.6),(x_2=0),(x_3=1.6)[估算],
在函数(y=g(x))的图像中,分别做直线(g(x)=-1.6),(g(x)=0),(g(x)=1.6),每一条直线和函数(y=g(x))都有(2)个交点,故共有(6)个交点。
对于命题②而言,由于满足方程(g[f(x)]=0)的(f(x))有(2)个不同值,从图中可知,每一个值(f(x)),一个(f(x))的值在((-2,-1))上,另一个(f(x))的值在((0,1))上,当(f(x))的值在((-2,-1))上时,原方程有一个解;当(f(x))的值在((0,1))上时,原方程有(3)个解,故满足(g[f(x)]=0)的(x)值有(4)个,即方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根,故命题②不正确;
对于命题③而言,由于满足方程(f[f(x)]=0)的(f(x))有(3)个不同值,从图中可知,一个(f(x))的值在((-2,-1))上,一个(f(x))的值为(0),另一个(f(x))的值在((1,2))上;当(f(x)=0)对应了(3)个不同的(x)值,当(f(x))在((-2,-1))上时,只对应一个(x)值;当(f(x))的值在((1,2))上时,也只对应一个(x)的值,故满足(f[f(x)]=0)的(x)值有(5)个,即方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根,故命题③正确;
对于命题④而言,由于满足方程(g[g(x)]=0)的(g(x))有(2)个不同值,从图中可知,每个(g(x))的值对应(2)个不同的(x)值,故满足(g[g(x)]=0)的(x)值有(4)个,即方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根,故命题④正确;
综上所述,正确的命题有①③④。
- 上次编辑时间:2019-07-21
当我们先选择函数(g(x))的区间为([-2,-1])时,此时虽然能保证内函数(g(x))单调递增,但是此时内函数的值域(g(x)in [-2,2]),其投射到外函数(f(x))上时,就放置到了外函数(f(x))的定义域([-2,2])内,此时外函数的单调性不唯一,说明我们一开始选取的内函数的研究区间([-2,-1])有些大了,所以需要压缩;一直压缩到([-2,x_0]),其中(g(x_0)=-1),这时候内函数的值域(g(x)in [-2,-1]),刚好投射到外函数的单调递增区间上,说明此时的区间选取是恰当合理的,其他的区间选取与此同理同法; ↩︎