求函数的单调区间

前言

求函数的单调区间与确定函数的单调性的方法是一致的。

图象法

• 利用(f(x))图象或做出(f(x))的图象，由图直观写出单调区间．

例1【2018天津模拟改编】已知函数(y=f(x)(xin R))的图像如图所示，则函数(f(x))的单调区间为_____________。

分析：由图可知，函数(f(x))在区间((-infty，0))和([cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，在区间([0，cfrac{1}{2}])上单调递增，

【点评】：①学会读图，解读图像时，是将变化趋势一致(仅仅上升或仅仅下降)的那部分图像，向(x)轴做射影，所得的区间即为单调区间。

②这一方法可以解决高中阶段的许多简单函数的单调性，比如基本初等函数，一次、二次函数、分段函数，抽象函数，复合函数等，

例2【2019届高三理科函数的单调性与最值课时作业】设函数(f(x)=left{egin{array}{l} {1，x>0}\{0，x=0}\{-1，x<0}end{array} ight.) ，(g(x)=x^2cdot f(x-1))，则函数(g(x))的单调递减区间是__________。

分析：由已知的分段函数(f(x))的解析式，可得分段函数(f(x-1))的解析式，

(f(x-1)=left{egin{array}{l}{1，x-1>0}\{0，x-1=0}\{-1，x-1<0}end{array} ight.)，即(f(x-1)=left{egin{array}{l}{1，x>1}\{0，x=1}\{-1，x<1}end{array} ight.)，

故函数(g(x)=x^2cdot f(x-1)=left{egin{array}{l}{x^2，x>1}\{0，x=1}\{-x^2，x<1}end{array} ight.)

做出其函数图像，从图像可知，单调递减区间是([0，1))。

注意：此题中单调递减区间不能写成([0，1])。

定义法

• 定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

例3【题目自拟，这一方法很少用】利用定义法求函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})的单调区间。

分析：定义域为((-infty，0)cup(0，+infty))；

任取(x_1<x_2in (0，+infty))，

则(f(x_1)-f(x_2)=x_1-cfrac{1}{x_1}-(x_2-cfrac{1}{x_2}))

(=(x_1-x_2)-(cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2}))

(=(x_1-x_2)-cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2})

(=(x_1-x_2)+cfrac{x_1-x_2}{x_1x_2})

(=(x_1-x_2)(1+cfrac{1}{x_1x_2})<0)

即(f(x_1)<f(x_2))，

故函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})在区间((0，+infty))上单调递增；

同理可以证明函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})在区间((-infty，0))上单调递增；

[或者利用(f(x))为奇函数，可以证明在区间((-infty，0))上单调递增]

【点评】：①以上述题目为例，如果在区间((0，+infty))上(f(x_1)-f(x_2))的差值不能确定一定为正或为负，

则说明需要再寻找新的分点，将上述的区间细化，比如将上述区间((0，+infty))细化为((0，x_0))和((x_0，+infty))，

然后分别在区间((0，x_0))和区间((x_0，+infty))上判断(f(x_1)-f(x_2))的正负，从而确定单调区间。

②注意有效使用函数的奇偶性，简化证明。

例4【定义法】【抽象函数的单调性-变形1】定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+y)=f(x)+f(y)-1)，且(x>0)时，(f(x)<1)，判定函数单调性。

分析：令(x_1<x_2in R)，则(x_2-x_1>0)，故(f(x_2-x_1)<1)；

则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1))

(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1))

(=f(x_2-x_1)-1<0)，

即(f(x_2)<f(x_1))，

故函数(f(x))在(R)上单调递减。

注意变形：(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1)

例5【定义法】【抽象函数的单调性-变形2】【2018·德州模拟】

已知定义在((0，＋infty))上的函数(f(x))，满足 (f(xy)＝f(x)＋f(y))，(x＞1) 时，(f(x)＜0)，判断函数$ f(x)$的单调性．

分析：令(0<x_1<x_2)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，故(f(cfrac{x_2}{x_1})<0)；

则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]-f(x_1))

(=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1))

(=f(cfrac{x_2}{x_1})<0)，

故函数(f(x))在((0，＋infty))上单调递减。

注意变形：(f(x_2)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1))

例6【定义法】【抽象函数单调性】

已知函数(f(x))的定义域为((0，＋infty))，且对一切(x＞0)，(y＞0)都有(f(cfrac{x}{y})＝f(x)－f(y))，当(x＞1) 时，有(f(x)＞0)，判断(f(x))的单调性。

分析：令(0<x_1<x_2)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，故(f(cfrac{x_2}{x_1})>0)；

则由题目可知，(f(x_2)-f(x_1)=f(cfrac{x_2}{x_1}))

由于(x_2>x_1>0)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，

故(f(cfrac{x_2}{x_1})>0)；

即(f(x_2)-f(x_1)>0)

故函数(f(x))在((0，＋infty))上单调递增。

转化法

• 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。

例7求函数(f(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})((cfrac{9}{4}leqslant xleqslant 6 ))的单调区间；

分析：(f(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2}xrightarrow{x-2=t}t+cfrac{1}{t})

那么参照函数(g(x)=x+cfrac{1}{x})的单调区间，在((0，1])上单调递减，在([1，+infty))上单调递增；

将(g(x))向右平移两个单位，得到(g(x-2))，即(f(x))的函数图像，其单调区间变为在((2，3])上单调递减，在([3，+infty))上单调递增；

故限定区间((cfrac{9}{4}leqslant xleqslant 6 ))上的单调性应该是在([cfrac{9}{4}，3])上单调递减，在区间([3，6])上单调递增；

例7【2019蚌埠模拟】已知(a>0)，设函数(f(x)=cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1})(（xin [-a,a]）)的最大值为(M)，最小值为(N)，那么(M+N)=【】

$A.2016$ $B.2018$ $C.4032$ $D.4034$

分析：(f(x)=cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018^xcdot 2018+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018(2018^x+1)-2}{2018^x+1}=2018-cfrac{2}{2018^x+1})

故函数(f(x))在区间([-a,a])上单调递增，故(M=f(x)_{max}=f(a))，(N=f(x)_{min}=f(-a))，

故(M+N=f(a)+f(-a)=2018-cfrac{2}{2018^a+1}+2018-cfrac{2}{2018^{-a}+1}=4036-2=4034)，故选(D).

导数法

• 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间，这是高中阶段使用的主要方法，属于通性通法。也是高中考查的重点和难点知识。

鉴于这一内容的重要性，重新开一篇博文：导数法判断函数的单调性的策略

复合函数法

• 复合函数作为一类比较特殊的函数，其单调区间的求解自然也比较特殊，故单独加以说明。

以(y=f(g(x)))的单调区间的求解为例，总结说明其求解步骤：

(1)确定函数的定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数(y＝f(u))，(u＝g(x))．

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增同减，则(y＝f(g(x)))为增函数；若一增一减，则(y＝f(g(x)))为减函数，即“同增异减”。

例8【求复合函数的单调性】已知函数(f(x)=log_2(x^2-3x+2))，求其单调区间。

分析：令(u=x^2-3x+2)，

则原复合函数拆分为外函数(y=f(u)=log_2u)和内函数(u=x^2-3x+2)

由(u=x^2-3x+2>0)，解得(xin (-infty，1)cup(2，+infty))，

即此复合函数的定义域为(xin (-infty，1)cup(2，+infty))。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由(u=x^2-3x+2=(x-cfrac{3}{2})^2-cfrac{1}{4})，

则内函数(u(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增，

而外函数(y=f(u)=log_2u)在((0，+infty))上单调递增，

故复合函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增。

例9【求复合函数的单调区间】【2018天津模拟】已知函数(y=f(x)(xin R))的图像如图所示，则函数(g(x)=f(log_ax))((0<a<1))的单调递减区间为【】

$A.[0，cfrac{1}{2}]$ $B.[sqrt{a}，1]$ $C.(-infty，0)cup[cfrac{1}{2}，+infty)$ $D.[sqrt{a}，sqrt{a+1}]$

分析：由图可知，外函数(f(x))在区间((-infty，0))和([cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，在区间([0，cfrac{1}{2}])上单调递增，

又(0<a<1)时，内函数(y=log_ax)在区间((0，+infty))上单调递减，

故要使得复合函数函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))单调递减，

则需要(log_axin [0，cfrac{1}{2}])，即(0leq log_axleq cfrac{1}{2})，

解得(xin [sqrt{a}，1])，故选(B)。

整理好后，传递到绝对值形函数