限定条件下的均值不等式求最值

• 本博文曾用名：例说学习方法的改造和提升

我们之所以感觉高三或高四很辛苦，除过高中最后一学年是冲刺阶段，任务量大，知识难度大，知识使用灵活，综合程度高，考查频次高，学习强度大这些原因之外，还有一个很重要的原因，就是我们不少学生一直在低效率层次上运转，但愿下面的题组和知识的总结方法，或许能给你一些学习方法和数学思维上启迪。

选择案例，限定条件下的均值不等式使用，这本来也是重点和难点；

案例说明

使用方法：将鼠标放置到每个题目的虚线框内，点击后展开，再次点击则收拢；

静雅凤中$;cdot;$学法指导

模型详析
均值不等式中有一类常考题型，比如求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换或乘常数再除常数。
模型：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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分析如下：
$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}=cfrac{1}{2}cdot (2m+3n）(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})$

(=cfrac{1}{2}cdot (8+3+cfrac{2m}{n}+cfrac{12n}{m}))

(ge cfrac{1}{2}(11+4sqrt{6}))

当且仅当(left{egin{array}{l}{2m+3n=2}\{cfrac{2m}{n}=cfrac{12n}{m}}end{array} ight.)时取到等号；

思维模式：

(egin{gather*} &2m+3n=2 \ &cdots \&cdotsend{gather*}) (Bigg}xrightarrow[或间接推出]{直接给出} 2m+3n=2xrightarrow[乘常数除以常数]{其他式子}) (egin{cases} &cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n} \ &cfrac{1}{m}+cfrac{4}{n} \ &cdotsend{cases})

掌握了上述的模型，就能解决这一类问题了吗，回答是否定的，因为限定条件完全可能会以其他形式给出来。请通过下列的例子自行体会、把握。

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限定条件以简单变形形式给出
例2 ：已知$m>0，n>0，m+cfrac{3}{2}n=1$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。
又或已知$m>0，n>0，cfrac{1}{n}+cfrac{3n}{2m}=cfrac{1}{mn}$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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详解：此时只需要将已知条件转化为$2m+3n=2$，接下来，就转化为上述题目了，你就应该会了。

解后反思：注意数学表达式的等价变形。

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限定条件以直线的形式给出
例3已知点$P(m，n)$在直线$2x+3y=2，x>0，y>0$上，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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详解：则有$2m+3n=2$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值，又转化为上述问题了。

解后反思：注意其他数学知识的准确应用。

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限定条件以线性规划形式给出
例4如已知$x，y$满足约束条件$egin{cases} &x+yge 3 \ &x-yge -1 \ &2x-yleq 3 end{cases}$ ，
若目标函数$z=ax+by（a＞0，b＞0）$的最大值为10，则$cfrac{5}{a}+cfrac{4}{b}$的最小值为多少？

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详解：做出可行域可知，

当目标直线经过点((4，5))时，函数取得最大值，

即此时题目相当于已知(4a+5b=10)，求(cfrac{5}{a}+cfrac{4}{b})的最小值，不是又转化为上述问题了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确表达。

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限定条件以极限或定积分的形式给出
例5已知$limlimits_{x o 1^+} f(x)=limlimits_{x o 1^+}cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。
如已知$int_{1}^{2} x; dx=m+n，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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详解：你可能不会极限和定积分的运算，但是肯定能知道，运算到最后的结果必然是$m+n=$某个确定的值，比如$m+n=cfrac{1}{5}$，
这样题目就转化为已知$m+n=cfrac{1}{5}，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

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限定条件以二项式系数的形式给出
例6已知$(cfrac{x}{2}+1)^9$展开式中，含$x^3$项的系数为$m+n，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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详解：$(cfrac{x}{2}+1)^9$展开式中通项公式为$T_{r+1}=C_9^rcdot (cfrac{x}{2})^{9-r}cdot 1^r=C_9^rcdot x^{9-r}cdot (cfrac{1}{2})^{9-r}cdot 1^r$，
当$r=6$时，含$x^3$项的系数为$C_9^6cdot (cfrac{1}{2})^{9-6}=cfrac{21}{2}$
到此题目转化为已知$m+n=cfrac{21}{2}，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。
这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

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限定条件以数列形式给出

例7已知正项等比数列({a_n})满足：(a_7=a_6+2a_5)，若存在两项(a_m，a_n)，使得(a_ma_n=16a_1^2)，求(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})的最小值。

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详解：由$a_7=a_6+2a_5$，得到$a_5cdot q^2=a_5cdot q+2a_5$，解得$q=2$或$q=-1$(舍去负值)，
这样由$a_mcdot a_n=16a_1^2$，得到$(a_1)^2cdot 2^{m-1}cdot 2^{n-1}=16a_1^2$，即$2^{m-1}cdot 2^{n-1}=16=2^4$
即$m+n=6，m >0，n >0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值，这样不就好解多了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

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限定条件以向量形式给出

例8【2017宝鸡市三检】设向量(overrightarrow{OA}=(1，-2))，(overrightarrow{OB}=(a，-1))，(overrightarrow{OC}=(-b，0))，其中(O)为坐标原点，(a，b>0)，若(A,B,C)三点共线，则(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b})的最小值为多少？

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详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数(lambda)，使得(overrightarrow{OA}=lambda overrightarrow{OB}+(1-lambda)overrightarrow{OC})，即((1，-2)=lambda(a，-1)+(1-lambda)(-b，0))
即(egin{cases}lambda a-(1-lambda)b=1\ -lambda=-2 end{cases})，即(2a+b=1)，
这样题目就转化为已知(2a+b=1，a>0，b>0)，求(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b})的最小值，这不就是上述题目吗？

<img src="https://img2018.cnblogs.com/blog/992978/201812/992978-20181207164502392-255267191.jpg" >

解后反思：注意三点共线的向量表示形式。

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限定条件以以对数方程的形式给出
例9已知$x>0$,$y>0$，$lg2^x+lg8^y=lg2$，求$cfrac{1}{x}+cfrac{1}{3y}$的最小值。

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详解：由已知条件可知，$lg2^x+lg2^{3y}=lg2$，即$lg2^{x+3y}=lg2$，即$x+3y=1$，
到此题目转化为$x+3y=1，x>0，y>0$，求$cfrac{1}{x}+cfrac{1}{3y}$，不就容易了吗？

解后反思：注意对数的运算性质和运算法则。

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限定条件直线过圆心或直线平分圆的形式给出

例10已知直线(ax+by-6=0(a，b>0))过圆(x^2+y^2-2x-4y=0)的圆心(或直线平分此圆)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

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详解：圆心即((1，2))，直线经过圆心，则有(a+2b-6=0)，即(a+2b=6)。

到此，题目为(a+2b=6，a>0，b>0)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

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限定条件以概率的形式给出

例11一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为(a)，得2分的概率为(b)，不得分的概率为(c)（(a,b,cin (0,1))）,已知他投篮一次得分的均值为2，求(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{3b})的最小值。

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详解：分析：由题目可知投篮一次得分的均值(EX=3a+2b=2(a>0,b>0))，求(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{3b})的最小值。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

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限定条件以解三角形和三角形的面积形式给出

例12已知点M是(Delta ABC)内的一点，且(overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC}=2sqrt{3})，(angle BAC=cfrac{pi}{6})，

若(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac{1}{2},x,y)，求(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{y})的最小值。

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详解：由$overrightarrow{AB}cdot overrightarrow{AC}=2sqrt{3}$，$angle BAC=cfrac{pi}{6}$，

故有(|overrightarrow{AB}|cdot |overrightarrow{AC}|coscfrac{pi}{6}=2sqrt{3})，得到(bc=4)，

所以(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}bcsincfrac{pi}{6}=1)，

又(Delta MBC,Delta MCA,Delta MAB)的面积分别为(cfrac{1}{2},x,y)，

故有(cfrac{1}{2}+x+y=1)，即(x+y=cfrac{1}{2})。

到此，题目为已知(x+y=cfrac{1}{2}，x>0，y>0)，求(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{y})的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意向量和三角形面积公式的使用。

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限定条件以导数和极值的形式给出

例13已知(a>0，b>0)，且函数(f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1)在(x=1)处有极值，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

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详解：(f'(x)=-3x^2+4ax+b)，(f'(1)=-3+4a+b=0)，到此即相当于已知(4a+b=3，a>0，b>0)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

解后反思：注意导数的运算。

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限定条件以正态分布的形式给出
例14已知随机变量$X$服从正态分布$X sim N(10，sigma^2)$，$P( X > 12)=m$ ，$P(8leq X leq 10)=n$ ，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。

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详解：由正态分布图像的对称性可知，$m+n=cfrac{1}{2}$
到此，题目转化为已知$m+n=cfrac{1}{2}$，$m >0，n >0$，求$ cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。仿模型求解即可。

解后反思：注意正态分布的知识点的应用。

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限定条件以函数在点处的切线斜率的形式给出
例15已知函数$f(x)=ax^2+bx(a>0，b>0)$的图像在点$(1，f(1))$处的切线的斜率为2，求$cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b}$的最小值。

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详解：由题目可知，$f'(1)=2a+b=2$，即已知$2a+b=2，a >0，b >0$，求$cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b}$的最小值，仿模型求解。

解后反思：注意导数的几何意义。

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限定条件以函数的性质的形式给出

例16已知函数(f(x)=2x-sinx)，若正实数(a，b)满足(f(a)+f(2b-1)=0)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

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详解：函数(f(x))为奇函数，(f'(x)=2-cosx>0)，故增函数，故(f(a)+f(2b-1)=0)，即(f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b))，即转化为(a+2b=1)，

到此，转化为已知(a+2b=1)，(a>0，b>0)，求(cfrac{4}{a}+cfrac{1}{b})的最小值。

解后反思：注意抽象函数的性质的应用。

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限定条件以隐含条件的形式给出
例17求$f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}(0< x <2)$的最小值。

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详解：注意到隐含条件$x+(2-x)=2，x>0，2-x>0$，则容易看到题目其实为

已知(x+(2-x)=2)，(x >0，2-x >0)，求(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}(0< x <2))的最小值。

(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x})

(=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}) imes 2)

(=cfrac{1}{2}(cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)])

(=cfrac{1}{2}(1+4+cfrac{2-x}{x}+cfrac{4x}{2-x}))，

(ge cfrac{1}{2}(5+2sqrt{4})=cfrac{9}{2})，

当且仅当(cfrac{2-x}{x}=cfrac{4x}{2-x})且(0< x <2)时，

即(x=cfrac{2}{3})时取得等号。

故(f(x))的最小值为(cfrac{9}{2})。

【引申】求(f(x)=cfrac{x+1}{x}+cfrac{6-x}{2-x}(0< x < 2))的最小值。

分析：(f(x)=1+cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}+1)

(=2+cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x})

解后反思：此处相当于$x=a，2-x=b，a+b=2;;$，求$f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}=cfrac{1}{a}+cfrac{4}{b}$

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限定条件不直接给出+拼凑项

例18已知函数(f(x)=2x-sinx)，若正实数(a，b)满足(f(a)+f(2b-1)=0)，求(cfrac{4}{a+1}+cfrac{1}{2b+1})的最小值。

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详解：函数(f(x))为奇函数，增函数，故(f(a)+f(2b-1)=0)，即(f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b))，即转化为(a+2b=1)，

到此，转化为已知(a+2b=1)，(a>0，b>0)，再变形为((a+1)+(2b+1)=3)，

即最后转化为已知((a+1)+(2b+1)=3)，(a>0，b>0)，求(cfrac{4}{a+1}+cfrac{1}{2b+1})的最小值。

解后反思：本题目和例16相比较，仅仅多了一步拼凑系数的变形。

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利用点线距的形式给出

例19【2017浙江嘉兴一中模拟】已知直线(sqrt{2}ax+by=1)(其中(ab eq0))与圆(x^2+y^2=1)相交于(A、B)两点，(O)为坐标原点，且(angle AOB=120^{circ})，则(cfrac{1}{a^2}+cfrac{2}{b^2})的最小值为_____________.

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详解：分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为(d=cfrac{1}{2})，

即(d=cfrac{1}{2}=cfrac{|sqrt{2}a imes 0+b imes0-1|}{sqrt{2a^2+b^2}})，即(2a^2+b^2=4)，

到此题目转化为已知(2a^2+b^2=4)，求(cfrac{1}{a^2}+cfrac{2}{b^2})的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

新题补充

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知函数(f(x)=ln(x+1)+x^2-ax)，其中(0<a<1)，若曲线(y=f(x))在((0，f(0)))处的切线为(y=bx)，则(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{2b})的最小值为【】

$A.5$ $B.cfrac{9}{2}$ $C.4$ $D.cfrac{7}{2}$

分析：由题目可知，(f'(x)=cfrac{1}{x+1}+2x-a)，又(f'(0)=b)，即(1-a=b)，则有(a+b=1)，

则(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{2b}=(a+b)(cfrac{2}{a}+cfrac{1}{2b})=2+cfrac{1}{2}+cfrac{2b}{a}+cfrac{a}{2b}geqslant cfrac{5}{2}+2=cfrac{9}{2})，

当且仅当(a=2b)时取到等号，即(a=cfrac{2}{3})，(b=cfrac{1}{3})时取得等号。故选(B)。

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设(O)为坐标原点，第一象限内的点(M(x，y))的坐标满足约束条件(left{egin{array}{l}{2x-y-6leqslant 0}\{x-y+2geqslant 0}end{array} ight.)，若(z=ax+by(a>0,b>0))的最大值为(80)，则(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})的最小值为_________。

分析：相当于已知(4a+5b=40)，求(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})的最小值，提示：(cfrac{9}{40}+cfrac{sqrt{5}}{10})。

例3【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数(f(x)=|2x-4|+|x-3|)，

（1）求不等式(f(x)<8)的解集；

提示：分区间讨论法，转化为分段函数不等式求解，解集((-3，1))。

（2）若(a>0)，(b>0)，且方程(f(x)=3a+2b)有且仅有一个实数根，求(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值；

分析：由（1）可知，(f(x)=left{egin{array}{l}{-3x-1，xleqslant -2}\{x+7，-2<x<3}\{3x+1，xgeqslant 3}end{array} ight.)

故函数(f(x))在((-infty，-2))上单调递减，在([-2，+infty))上单调递增，

由于方程(f(x)=3a+2b)有且仅有一个实数根，故可知(3a+2b=f(-2)=5)，

[备注：此时(3a+2b)理解为一个整体，比如(3a+2b=m)，即方程(f(x)=m)有且仅有一个根，即函数(y=f(x))与(y=m)仅有一个交点。]

即((2a+b)+(a+b)=5)，且(a>0)，(b>0)，求(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值；

(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b}=cfrac{1}{5}(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b}) imes 5)(cfrac{1}{5}(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})[(2a+b)+(a+b)])

(=cfrac{1}{5}(9+4+cfrac{9(a+b)}{2a+b}+cfrac{4(2a+b)}{a+b})geqslant cfrac{13}{5}+cfrac{1}{5} imes 2sqrt{frac{9(a+b)}{2a+b} imes frac{4(2a+b)}{a+b}})(=cfrac{13}{5}+cfrac{12}{5}=5)

当且仅当(cfrac{9(a+b)}{2a+b}=cfrac{4(2a+b)}{a+b})，即(a=b=1)时取等号。

故(cfrac{9}{2a+b}+cfrac{4}{a+b})的最小值为(5).

例4【2020届高三数学试题】已知函数(f(x)=log_a(x+3)-1(a>0,a eq 1))的图像恒过定点(A)，若点(A)在直线(mx+ny+4=0)上，其中(mn>0)，则(cfrac{1}{m+1}+cfrac{2}{n})的最小值为______________。

分析：点(A(-2，-1))满足直线方程，故得到(2m+n=4)，即(2(m+1)+n=6)，

故(cfrac{1}{m+1}+cfrac{2}{n}=cfrac{1}{6} imes [2(m+1)+n](cfrac{1}{m+1}+cfrac{2}{n})=cdots geqslant cfrac{4}{3})，

然后验证等即可，故所求的最小值为(cfrac{4}{3})。

静雅凤中$;cdot;$反思提升

解后反思：总结了以上的类型后，够不够用呢？

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【模型1】：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}$的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

分析如下：(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}=cfrac{1}{2}cdot (2m+3n）(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n})=cfrac{1}{2}cdot (8+3+cfrac{2m}{n}+cfrac{12n}{m})=cdots)

【模型2】：已知(cfrac{4}{m}+cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0)，求 (2m+3n)的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)

【对照1】：已知(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0)，求 (cfrac{2}{a-1}+cfrac{1}{b-2})的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)

【对照2】：已知(2a+b=1，a>0，b>0)，求 (a^2+2b^2)的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；