能合二为一或一分为二的数学素材

前言

将数学素材能一分为二或合二为一都是一种数学能力和数学素养。相关阅读整合与拆分；

合二为一

【1】、代数；解题过程中碰到(left{egin{array}{l}{x_1+x_2=-frac{b}{a}}\{x_1x_2=frac{c}{a}}end{array} ight.)，

则可知(x_1，x_2)应该是方程(x^2+cfrac{b}{a}x+cfrac{c}{a}=0)的两个根。

即(x_1，x_2)应该是方程(ax^2+bx+c=0)的两个根。

【2】、代数；解题过程中如碰到(left{egin{array}{l}{ax_1^2+bx_1+c=0}\{ax_2^2+bx_2+c=0}end{array} ight.)，

则可知(x_1，x_2)应该是方程(ax^2+bx+c=0)的两个根。

【3】、代数；解题过程中如碰到(left{egin{array}{l}{f(m)=km}\{f(n)=kn}end{array} ight.)，

则可知(m，n)应该是方程(f(x)=kx)的两个不等实根。

【4】、几何；解题过程中如碰到(left{egin{array}{l}{ax_1+by_1+c=0}\{ax_2+by_2+c=0}end{array} ight.)，

则可知经过点(P(x_1，y_1))和点(Q(x_2，y_2))的直线应该是(ax+by+c=0)。

【5】奇函数(y=left{egin{array}{l}{f(x)，x>0}\{-f(-x)，x<0}end{array} ight.=cfrac{|x|}{x}f(|x|))；偶函数(y=left{egin{array}{l}{f(x)，x>0}\{f(-x)，x<0}end{array} ight.=f(|x|))

【6】(y=left{egin{array}{l}{a，age b}\{b，a<b}end{array} ight.=max{a，b})；(y=left{egin{array}{l}{a，a< b}\{b，age b}end{array} ight.=min{a，b})；

【7】单调区间([2kpi-cfrac{pi}{2}，2kpi+cfrac{pi}{2}](kin Z))，其实是无穷多个类似于([-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])的等宽度和等间距的区间的并集。

【8】数列中(a_n>0(nin N^*))，其实是(a_1>0)，(a_2>0)，(cdots)，(a_n>0)的统一的代表性写法；

[left{egin{array}{l}{a_1>0}\{a_2>0}\{cdots}\{a_n>0}end{array} ight. Longleftrightarrow a_n>0(nin N^*) ]

【9】数列中出现(a_n-a_{n-1}=d(nge 2))，其实是(a_2-a_1=d)，(a_3-a_2=d)，(cdots)，(a_n-a_{n-1}=d)的统一的代表性写法；

[left{egin{array}{l}{a_2-a_1=d}\{a_3-a_2=d}\{cdots}\{a_n-a_{n-1}=d}end{array} ight. Longleftrightarrow a_n-a_{n-1}=d(nge 2，nin N^*) ]

【10】三角函数中，(left{egin{array}{l}{x=kpi+cfrac{pi}{4}=cfrac{pi}{2}cdot (2k)+cfrac{pi}{4}(kin Z)}\{x=kpi+cfrac{3pi}{4}=cfrac{pi}{2}cdot (2k+1)+cfrac{pi}{4}(kin Z)}end{array} ight.)

则可以统一写成一个式：(x=kcdot cfrac{pi}{2}+cfrac{pi}{4}=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{4}(kin Z))

【11】三角函数中，(left{egin{array}{l}{cfrac{pi}{2}omega +phi=k_1pi+cfrac{pi}{2}，k_1in Z }\{ cfrac{pi}{3}omega +phi=k_2pi+cfrac{pi}{2}，k_2in Z }end{array} ight.)

两式相减，((cfrac{pi}{2}-cfrac{pi}{3})omega=(k_1-k_2)pi=kpi)，故(omega=6k，kin Z)。

【12】已知直线(l_1：A_1x+B_1y+C_1=0)，直线(l_2：A_2x+B_2y+C_2=0)，

则(l_1perp l_2Longleftrightarrow A_1A_2+B_1B_2=0)；就是合二(有斜率和无斜率)为一的结果；

则(l_1// l_2Longleftrightarrow A_1B_2-A_2B_1=0)；就是合二(有斜率和无斜率)为一的结果；

【13】已知数列({a_{2n-1}})是首项为(a_1=1)，公差为(4)的等差数列，(a_{2n-1}=4n-3)；

(a_{2n-1}=1+cfrac{[(2n-1)-1]}{2} imes 4=4n-3=2(2n-1)-1)

数列({a_{2n}})是首项为(a_2=3)，公差为(4)的等差数列，(a_{2n}=4n-1)；

(a_{2n}=3+cfrac{(2n-2)}{2} imes 4=4n-1=2(2n)-1)

则以上两个数列能合二为一为数列({a_n})，且(a_n=2n-1)，(nin N^*)，

【14】已知函数(f(x)=bx(b eq 0))，求其在区间([-1，1])上的最值之和。

函数(f(x))在区间([-1，1])上是单调函数，故最值必然在端点处取到，

故函数的最大值为(|b|)，最小值为(-|b|)，则最值之和为(|b|-|b|=0)。

【15】则当(xge 0)时，(y=kx+2)；当(x<0)时，(y=-kx+2)；则合二为一时函数为(y=k|x|+2)；

【16】(asin heta+bcos heta=sqrt{a^2+b^2}sin( heta+phi);;(tanphi=cfrac{b}{a}))

【17】(f(0)=f(2-0))，(f(1)=f(2-1))，(f(2)=f(2-0))，(f(3)=f(-1))，(f(4)=f(-2))，(cdots)，(f(x)=f(2-x))，函数性质的刻画；

一分为二

【1】、数列的通项公式

(nge 2)时，(a_n=4n+1)，

由于(n=1)时，(a_1=6)，

不满足上式，故需要将通项公式写成分段函数形式，

即所求通项公式为(a_n=egin{cases}6，&n=1\4n+1，&nge 2end{cases})。

【2】、分段函数(f(x)=|x|=left{egin{array}{l}{x，xgeqslant 0}\{-x，x<0,}end{array} ight.)

(f(|x|)=left{egin{array}{l}{f(x)，xgeqslant 0}\{f(-x)，x<0,}end{array} ight.)

(f(-|x|)=left{egin{array}{l}{f(-x)，xgeqslant 0}\{f(x)，x<0,}end{array} ight.)

【3】已知函数(y=k|x|+2)，一分为二时，则有

则当(xge 0)时，(y=kx+2)；当(x<0)时，(y=-kx+2)；

典例剖析

例1【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第17题】

已知函数(f(x)=log_a(a^{2x}+t))，其中(a>0，a eq 1)，(第一问隐藏)

（2）若存在实数(m，n(m<n))，使得(xin [m，n])时，函数(f(x))的值域也为([m，n])，求(t)的取值范围；

分析：不论底数(a)取何值，复合函数(f(x)=log_a(a^{2x}+t))在给定定义域([m，n])上都是单调递增的，

故有(left{egin{array}{l}{f(m)=m}\{f(n)=n}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{log_a(a^{2m}+t)=m}\{log_a(a^{2n}+t)=n}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{a^{2m}+t=a^m}\{a^{2n}+t=a^n}end{array} ight.)，(left{egin{array}{l}{(a^m)^2-a^m+t=0}\{(a^n)^2-a^n+t=0}end{array} ight.)，

由于(a^m eq a^n)，且(a^m>0)，(a^n>0)，

故(a^m、a^n)是方程(x^2-x+t=0)的两个不相等正实根，

对方程(x^2-x+t=0)而言，有两个正实根的充要条件是(left{egin{array}{l}{Delta >0}\{x_1+x_2=1>0}\{x_1x_2=t>0}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{Delta=1-4t>0}\{x_1x_2=t>0}end{array} ight.)，解得(0<t<cfrac{1}{4})。

故求(t)的取值范围为((0，cfrac{1}{4}))；

例2【2019届高三理科数学资料所以题目】

对于函数(f(x))，若存在区间(A＝[m，n])，使得({ymid y＝f(x)，x∈A}＝A)，则称函数(f(x))为“同域函数”，区间(A)为函数(f(x))的一个“同域区间”．

给出下列四个函数：

①(f(x)＝coscfrac{pi}{2}x)；②(f(x)＝x^2-1)；③(f(x)＝|x^2－1|)；④(f(x)＝log_2(x－1))；

存在“同域区间”的“同域函数”的是________．(请写出所有正确的序号)

分析：区间(A)不一定是定义域或值域，但一定是定义域的子集。

故我们可以借助图像来解答此问题，如下图所示：

①中，取(A=[0，1])，则(xin [0，1])，(f(x)in [0，1])，故是同域函数；

②中，取(A=[-1，0])，则(xin [-1，0])，(f(x)in [-1，0])，故是同域函数；

③中，取(A=[0，1])，则(xin [0，1])，(f(x)in [0，1])，故是同域函数；

④中不存在这样的区间(A)，故不是同域函数；

下面加以证明，对④而言，设存在这样的区间(A=[m，n])，由于(f(x)＝log_2(x－1))，

定义域为((1，+infty))，且单调递增，

故有(f(m)=m)，且有(f(n)=n)，

即(log_2(m-1)=m)，且(log_2(n-1)=n)，

即(left{egin{array}{l}{2^m=m-1}\{2^n=n-1}end{array} ight.)，

若该方程组有解，则方程(2^x=x-1)应该有两个不同的实数解，

分别做出函数(y=2^x)和函数(y=x-1)的图像，显然两个图像没有公共点，

故不存在这样的区间(A)，满足题意。

故满足题意的有①②③；

例3已知二次函数(f(x))满足(f(2)=-1)，(f(-1)=-1)，且(f(x))的最大值是(8)，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，略。

法2：顶点式，略。

法3：两根式(零点式)，

由已知(left{egin{array}{l}{f(2)+1=0}\{f(-1)+1=0}end{array} ight.)，

则方程(f(x)+1=0)的两根(x_1=2)，(x_2=-1)，

故可设函数(f(x)+1=a(x+1)(x-2))，

即(f(x)=ax^2-ax-2a-1)，

又函数(f(x)_{max}=8)，

即(cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8)，

解得(a=-4)或(a=0(舍去))，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

解后反思：注意本题目中并不是函数(y=f(x))的两个零点为(x_1=2)，(x_2=-1)，

而是函数(y=f(x)+1)的两个零点为(x_1=2)，(x_2=-1)。

例4已知点(P(-3，2))在抛物线(C：y^2=2px(p>0))的准线上，过点(P)的直线与抛物线(C)相切于(A)，(B)两点，则直线(AB)的斜率为多少？

法1：常规方法，由于点(P(-3，2))在抛物线(C：y^2=2px(p>0))的准线上，

所以准线方程为(x=-cfrac{p}{2}=-3)，解得(p=6)，即(y^2=12x)，

抛物线为(y^2=12x)，在第一象限的方程为(y=2sqrt{3}sqrt{x})，

设切点(A(m，n))，则(n=2sqrt{3}sqrt{m})，

由导数可知，(y'=2sqrt{3} imes cfrac{1}{2}cfrac{1}{sqrt{x}}=cfrac{sqrt{3}}{sqrt{x}})，

则在切点(A)处的斜率为(cfrac{sqrt{3}}{sqrt{m}})

则直线(PA)的方程为：(y-n=cfrac{sqrt{3}}{sqrt{m}}(x-m))，

将点((-3，2))代入得到，(2-n=cfrac{sqrt{3}}{sqrt{m}}(-3-m))①

又(n=2sqrt{3}sqrt{m})②，

联立解得，(m=cfrac{11+2sqrt{10}}{3})，(n=2+2sqrt{10})，

即点(A(cfrac{11+2sqrt{10}}{3}，2+2sqrt{10}))

同理，可设切点(B(a，b))，则在切点(B)处的斜率为(-cfrac{sqrt{3}}{sqrt{a}})

则直线(PB)的方程为：(y-b=-cfrac{sqrt{3}}{sqrt{a}}(x-a))，

将点((-3，2))代入得到，(2-b=-cfrac{sqrt{3}}{sqrt{a}}(-3-a))①

又(b=-2sqrt{3}sqrt{a})②，

联立解得，(m=cfrac{11-2sqrt{10}}{3})，(n=2-2sqrt{10})，

即点(B(cfrac{11-2sqrt{10}}{3}，2-2sqrt{10}))，

故直线(AB)的斜率为(k=cfrac{(2+2sqrt{10})-(2-2sqrt{10})}{frac{11+2sqrt{10}}{3}-frac{11-2sqrt{10}}{3}}=3)

故所求斜率为(3).

法2：【特殊方法】导数法+同一法，由题目先得到抛物线方程(y^2=12x)，对此式两边同时针对(x)求导，^[1]

得到(2ycdot y'=12)，即(y'=cfrac{6}{y})，故经过抛物线上任意一点切线的斜率(k=y'=cfrac{6}{y})，

则以点(A(x_1,y_1)) ，(B(x_2,y_2))为切点的切线方程分别为

(y-y_1=cfrac{6}{y_1}(x-x_1))；(y-y_2=cfrac{6}{y_2}(x-x_2))；

将点(P(-3，2))坐标代入以上两个式子，

得到(2-y_1=cfrac{6}{y_1}(-2-x_1))；(2-y_2=cfrac{6}{y_2}(-3-x_2))；

又因为(y_1^2=12x_1)，(y_2^2=12x_2)，代入上式，

解得(y_1=3x_1-9)；(y_2=3x_2-9)

说明点(A(x_1,y_1)) ，(B(x_2,y_2))都在同一条直线(y=3x-9)上，

即直线(AB)的方程为(y=3x-9)，故所求斜率为(3).

例5给定(odot C_1：(x-1)^2+(y-1)^2=4)①，(odot C_2：(x+1)^2+(y+1)^2=4)②，求两圆的相交弦所在的直线方程。

分析：设两个圆相交后的公共点为(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，

则由点(A)满足圆(C_1)和圆(C_2)，，得到((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4)，((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4)，

两式相减整理得到，(y_1=-x_1)；

由点(B)满足圆(C_1)和圆(C_2)，，得到((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4)，((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4)，

两式相减整理得到，(y_2=-x_2)；

说明点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))都在直线(y=-x)上，故两圆的相交弦所在的直线方程为(y=-x)。

简单操作：由①-②得到，经过两个圆的相交弦方程为(-2x-2x-2y-2y=0)，即(y=-x)；

例6【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第12题】设函数(f(x))的定义域为(R)，满足(f(x+1)=2f(x))，且当(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))，若对于任意(xin (-infty，m])，都有(f(x)geqslant -cfrac{8}{9})，则(m)的取值范围是【】

$A.(-infty，cfrac{9}{4}]$ $B.(-infty，cfrac{7}{3}]$ $C.(-infty，cfrac{5}{2}]$ $D.(-infty，cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，

给定条件“(f(x+1)=2f(x))”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；

给定条件“(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；

给定条件“(xin (-infty，m])，都有(f(x)geqslant -cfrac{8}{9})”，是让我们做出函数(y=f(x))的图像和(y=-cfrac{8}{9})的图像，从图像上判断，在函数(y=f(x))的哪一段上满足(f(x))的图像一直在直线(y=-cfrac{8}{9})的上方。

解析：令(x+1=t)，则(x=t-1)，即给定条件(f(x+1)=2f(x))变形为(f(t)=2f(t-1))，

即(f(x)=2f(x-1)star)，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；

由于(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))①，

则当(xin (1，2])时，(x-1in (0，1])，则由(star)和①式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2))②；

当(xin (2，3])时，(x-1in (1，2])，则由(star)和②式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2 imes 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3))③；

以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，

当(xin (3，4])时，(x-1in (2，3])，则由(star)和③式得到，此时(f(x)=2f(x-1)=2 imes 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4))④；

同理，我们还可以求得(xin (-1，0])时的解析式；

则当(xin (-1，0])时，(x+1in (0，1])，则由(f(x+1)=2f(x))得到，即(f(x)=cfrac{1}{2}f(x+1)=cfrac{1}{2}x(x+1))⑤；

在坐标系中做出分段函数在区间((-1，3])上的图像以及直线(y=-cfrac{8}{9})，

由图像可知，我们求解方程(4(x-2)(x-3)=-cfrac{8}{9})，解得(x=cfrac{7}{3})或(x=cfrac{8}{3})(结合图像舍去)

即(m=cfrac{7}{3})，故选(B)。

解后反思：

• 1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；

• 2、对表达式(f(x)=2f(x-1))的理解，它是两种变换，比如平移变换(f(x)=f(x-1))和振幅变换(f(x)=2f(A))的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，(f(x-1))的意思是将基础图像(y=x(x-1))向右平移一个单位，再乘以(2)，意思是在原来平移的图像的基础上在(y)轴方向扩大(2)倍，这样做图像就快多了。

• 3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点((1，0))和((2，0))，则解析式为(y=a(x-1)(x-2))，且知道最低点为((cfrac{1}{2}，-cfrac{1}{2}))，可知(a=2)，即(xin (1，2])时，(f(x)=2(x-1)(x-2))；

• 4、能不能不做变换，直接利用(f(x+1)=2f(x))来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量(x)的取值不放，

比如(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))，由(f(x+1)=2f(x))，先求得(f(x+1)=2x(x-1))，注意到(x+1in (1，2])，要求解(xin (1，2])上的解析式，还得换元，令(x+1=tin (1，2])，则(x=t-1)，代入(f(x+1)=2x(x-1))，变形得到(f(t)=2(t-1)(t-2))，(tin (1，2])，即(f(x)=2(x-1)(x-2))，(xin (1，2]).

• 5、注意函数的解析式的写法和理解。

形式一：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2(x-1)(x-2)，xin(1，2]}\{4(x-2)(x-3)，xin(2，3]}\{8(x-3)(x-4)，xin(3，4]}\{cdots，cdots}end{array} ight.)

形式二：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2f(x-1)，x>1}end{array} ight.)

例4【2014高考全国卷Ⅰ】已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，(a_1=1)，(a_n eq 0)，(a_na_{n+1}=lambda S_n-1)，其中(lambda)为常数，

(1)证明：(a_{n+2}-a_n=lambda)；

分析：先想办法消掉(S_n)类，让条件中只剩下(a_n)类，故求解如下：

由题设知道，(a_na_{n+1}=lambda S_n-1)①，

则有(a_{n+1}a_{n+2}=lambda S_{n+1}-1)②，

②-①得到，(a_{n+1}a_{n+2}-a_na_{n+1}=lambda(S_{n+1}-S_n))

即(a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=lambda a_{n+1})

由于(a_{n+1} eq 0)，约掉(a_{n+1})得到，

(a_{n+2}-a_n=lambda)；

【注意】上式表明，数列({a_n})中，奇数项成等差数列，首项为(a_1)，公差为(lambda)；

偶数项成等差数列，首项为(a_2)，公差为(lambda)；

(2)是否存在(lambda)，使得({a_n})为等差数列，并说明理由。

分析：存在满足题意的实数(lambda)，使得数列({a_n})成等差数列，理由如下：

由题设可知，(a_1=1)，令(n=1)，则(a_1a_2=lambda S_1-1)，解得(a_2=lambda-1)；

又由(a_{n+2}-a_n=lambda)可知，当(n=1)时，(a_3=lambda+1)，

令(2a_2=a_1+a_3)，即(2(lambda-1)=1+lambda+1)，解得(lambda=4)，

故(a_{n+2}-a_n=4)，且可知

数列({a_{2n-1}})是首项为(a_1=1)，公差为(4)的等差数列，(a_{2n-1}=4n-3)；

(a_{2n-1}=1+cfrac{[(2n-1)-1]}{2} imes 4=4n-3=2(2n-1)-1)

数列({a_{2n}})是首项为(a_2=3)，公差为(4)的等差数列，(a_{2n}=4n-1)；

(a_{2n}=3+cfrac{(2n-2)}{2} imes 4=4n-1=2(2n)-1)

所以(a_n=2n-1)，(nin N^*)，即(a_{n+1}-a_n=2)。^[2]

因此存在满足题意的实数(lambda)，使得数列({a_n})成等差数列。

例6【2020陕西省质量检测一文科第16题】已知数列({a_n})的各项均为正数，(a_1=1)，(a_n^2a_{n+1})(+a_na_{n+1}^2)(=)(2^na_n+)(2^na_{n+1})，则(a_n)=________________；({a_n})的前(10)项的和(S_{10})=______________。

分析：由已知(a_n^2a_{n+1}+a_na_{n+1}^2=2^na_n+2^na_{n+1})，

变形得到(a_na_{n+1}cdot (a_n+a_{n+1})=2^ncdot (a_n+a_{n+1}))，

由于(a_n+a_{n+1}>0)，两边约分得到，(a_na_{n+1}=2^n)①，

仿照①式，构造得到(a_{n+1}a_{n+2}=2^{n+1})②，

则由(cfrac{②}{①})相比得到，(cfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=2)；

又由(a_1=1)，(a_n^2a_{n+1})(+a_na_{n+1}^2)(=)(2^na_n+)(2^na_{n+1})，

令(n=1)，得到(a_1^2a_{2})(+a_1a_{2}^2)(=)(2^1a_1+)(2^1a_{2})，解得(a_2=2)(舍去(a_2=-1))，

辅助说明，数列的各项的值如下图所示：

(a_1=1)		(a_3=2)		(a_5=4)		(a_7=8)		(a_9=16)
	(a_2=2)		(a_4=4)		(a_6=8)		(a_8=16)

故数列({a_n})的奇数项是以(a_1=1)为首项，(q=2)为公比的等比数列；

数列({a_n})的偶数项是以(a_2=2)为首项，(2)为公比的等比数列；

[为了便于表达，我们采用先分后合的策略来分析，即先分析奇数项的通项公式，后分析偶数项的通项公式，]

当(n=2k-1)时，则(a_{2k-1}=a_1cdot 2^{frac{2k-1-1}{2}}=1cdot 2^{k-1}=2^{k-1}=2^{frac{(2k-1)-1}{2}})，^[3]

当(n=2k)时，则(a_{2k}=a_2cdot 2^{frac{2k-2}{2}}=2cdot 2^{k-1}=2^{k}=2^{frac{2k}{2}})，

故所求的通项公式为(a_n=left{egin{array}{l}{2^{frac{n-1}{2}}，n为奇数}\{2^{frac{n}{2}}，n为偶数}end{array} ight.)

则(S_{10}=(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)+(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}))

(=cfrac{1cdot(1-2^5)}{1-2}+cfrac{2cdot(1-2^5)}{1-2}=93)；

例14已知点(P)是椭圆(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{4}=1)上的动点，过(P)作圆(N：x^2+y^2=1)的两条切线(PA，PB)，(A，B)分别为切点，直线(AB)与(x)，(y)轴分别相交于(M，N)两点，则( riangle MON)((O)为坐标原点)的最小面积为____________。

分析：根据题意设点(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，(P(x_0,y_0))，

由于(PA)是圆的切线且切点为(A)，则(PA)的方程为(x_{1}x+y_{1}y=1)，^[4]

同理(PB)的方程为(x_{2}x+y_{2}y=1)，

由于点(P(x_0,y_0))在切线(PA)上，则有(x_{1}cdot x_{0}+y_{1}cdot y_{0}=1)；

点(P(x_0,y_0))在切线(PB)上，同理则有(x_{2}cdot x_{0}+y_{2}cdot y_{0}=1)

又由于直线(AB)同时与直线(PA)和(PB)相交，

则由相同结构的两个表达式(left{egin{array}{l}{x_{1}cdot x_{0}+y_{1}cdot y_{0}=1}\{x_{2}cdot x_{0}+y_{2}cdot y_{0}=1}end{array} ight.)，

可以得到直线(AB)的方程为(x_{0}x+y_{0}y=1)，^[5]

则(M)的坐标为((cfrac{1}{x_{0}}, 0))，(N)的坐标为((0, cfrac{1}{y_{0}}))，^[2:1]

(S_{ riangle OMN}=cfrac{1}{2}|OM|cdot|ON|=cfrac{1}{2}cdotleft|cfrac{1}{x_{0} y_{0}} ight|)

又由点(P)是椭圆(M:cfrac{x^{2}}{16}+cfrac{y^{2}}{4}=1)的动点，则有(cfrac{x_{0}^{2}}{16}+cfrac{y_{0}^{2}}{4}=1)

则有(1=cfrac{x_{0}^{2}}{16}+cfrac{y_{0}^{2}}{4}geqslant 2sqrt{cfrac{x_{0}^{2} y_{0}^{2}}{64}}=cfrac{1}{4}left|x_{0} y_{0} ight|)，

即(left|x_{0} y_{0} ight|leqslant 4)

(S_{ riangle OMN}=cfrac{1}{2}|OM||ON|left|=cfrac{1}{2}cdot ight|cfrac{1}{x_{0} y_{0}}mid geqslantcfrac{1}{8})

即( riangle OMN)面积的最小值为(cfrac{1}{8}).

解后反思：本题目的综合程度比较高，对学生的数学素养要求也比较高。

①过圆上任意一点的切线方程的求法；②合二为一的数学策略；③直线的截距式方程；④均值不等式在椭圆中的应用，⑤不等式性质；

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1. 右端针对(x)求导，为(12)容易理解，左端针对(x)求导时，实际应该按照复合函数求导，故结果为(2ycdot y'). ↩︎

2. 将直线(AB)的方程为(x_{0}x+y_{0}y=1)变形为(cfrac{x}{frac{1}{x_0}}+cfrac{y}{frac{1}{y_0}}=1)[直线的截距式方程，由方程可以直接看出(x)截距和(y)截距]，
   故得到此直线和坐标轴的交点的坐标。(Mleft(cfrac{1}{x_{0}}, 0 ight))，(Nleft(0, cfrac{1}{y_{0}} ight)). ↩︎ ↩︎

3. 对等比数列的通项公式的解释：
   (a_n=a_1cdot q^{n-1})，其中(n-1)应该理解为第(n)项与第(1)项之间间隔的项数；
   当只统计所有奇数项时，第(2k-1)项与第(1)项之间间隔的项数为(cfrac{2k-1-1}{2}=k-1)； ↩︎

4. 过圆(x^2+y^2=r^2)上的点(P_0(x_0，y_0))的切线方程是(x_0x+y_0y=r^2)；
   证明：由于点(P_0(x_0，y_0))在圆(x^2+y^2=r^2)上，故有(x_0^2+y_0^2=r^2)，
   又由于直线(OP)的斜率(k_1=cfrac{y_0}{x_0})，故和直线(OP)垂直的圆的切线的斜率为(k_0=-cfrac{x_0}{y_0})
   由点斜式可得，过圆上的点(P_0(x_0，y_0))的切线方程为(y-y_0=k_0(x-x_0))，
   
   即(y-y_0=-cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0))，整理为(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2)，又(x_0^2+y_0^2=r^2)，
   故整理得到切线方程为(x_0x+y_0y=r^2)。 ↩︎

5. 此处用到数学中的合二为一的策略，直线(PA:x_{1}x_{0}+y_{1}y_{0}=1),直线(PB:x_{2}x_{0}+y_{2}y_{0}=1)，
   故直线(AB)同时经过点(A)和点(B)，由两点确定一条直线可知，此时只需要将同一结构的表达式中的(x_1)，(x_2)换成(x)，将(y_1)，(y_2)换成(y)，即得到直线(AB)的方程(AB:x_{0}x+y_{0}y=1)。 ↩︎