对数函数习题

前言

相关延申

• 对数函数(f(x)=log_a^;x)，其抽象函数为(f(x)+f(y)=f(xcdot y))； (f(x)-f(y)=)(f(cfrac{x}{y}))；

典例剖析

例1【2016浙江高考题】已知(a>0)，(b>0)，且(a eq 1)，(b eq 1)，若(log_ab>1)，则【D】

$A、(a-1)(b-1)<0$ $B、(a-1)(a-b)>0$ $C、(b-1)(b-a)<0$ $D、(b-1)(b-a)>0$

分析： 由(log_ab>1=log_aa)可得，

①当(a>1)时，得到(b>a)，即(b>a>1)，则有(b-a>0)且(b-1>0)；

②当(0<a<1)时，得到(b<a)，即(b<a<1)，则有(b-a<0)且(b-1<0)；

综上可得，((b-1)(b-a)>0)，故选(D).

例2【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第9题】若实数(a)的值能使得函数(f(x)=) (log_a(x^2+cfrac{3}{2}x)) ((a>0，a eq 1))在区间((cfrac{1}{2}，+infty))内恒有(f(x)>0)，则(f(x))的单调递增区间为【】

$A.(0，+infty)$； $B.(2，+infty)$； $C.(1，+infty)$； $D.(cfrac{1}{2}，+infty)$；

分析： 设内函数(g(x)=t=x^2+cfrac{3}{2}x=(x+cfrac{3}{4})^2-cfrac{9}{16})，对称轴为(x=-cfrac{3}{4})

令(g(x)>0)，解得(x<-cfrac{3}{2})或(x>0)，即定义域为((-infty，-cfrac{3}{2})cup(0，+infty))，

则对内函数(y=g(x))而言，在区间((-infty，-cfrac{3}{2}))上单调递减，在区间((0，+infty))上单调递增，

若(0<a<1)，则外函数(y=log_at)在((0，+infty))上单调递减，

故复合函数(y=f(x))在区间((0，+infty))上单调递减，故在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上也单调递减，

而(f(cfrac{1}{2})=0)，故当(x>cfrac{1}{2})时，必有(f(x)<f(cfrac{1}{2})=0)，故不满足在区间((cfrac{1}{2}，+infty))内恒有(f(x)>0)，

故底数(a>1)，即外函数(y=log_at)在((0，+infty))上单调递增，

此时复合函数的单调递增区间为((0，+infty))，故选(A)。

解后反思：本题目的叙述有些模糊，导致题意理解多少有点偏差，其实前半句的用意是为了告诉你，底数(a>1)。

例3【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第16题】设函数(f(x)=log_a(1+x)+log_a(3-x)) ((a>0，a eq 1))，且(f(1)=2)，

（1）求(a)的值及(f(x))的定义域；

分析：由于(f(1)=log_a4=2)，解得(a=2)；

由(left{egin{array}{l}{1+x>0}\{3-x>0}end{array} ight.)，

解得(-1<x<3)，故定义域为((-1，3))。

（2）求函数(f(x))在区间([0，cfrac{3}{2}])上的最大值；

分析：(f(x)=log_a(1+x)+log_a(3-x)=log_2[(1+x)(3-x)])

(=log_2[-(x-1)^2+4])，

当(xin (-1，1])时，(f(x))为增函数；当(xin (1，3))时，(f(x))为减函数；

故(f(x)_{max}=f(1)=2)。

例4【2019届高三理科数学对数与对数函数课时作业第17题】已知函数(f(x)=log_a(a^{2x}+t))，其中(a>0，a eq 1)，

（1）当(a=2)时，若(f(x)<x)无解，求(t)的取值范围；

分析：当(a=2)时，(f(x)=log_2(4^x+t))，定义域为(R)，

则由(f(x)<x)无解，可知不等式(f(x)< x)的解集为(xin varnothing)，

则不等式(f(x)ge x)的解集为(xin R)，即(f(x)ge x)在(R)上恒成立，

即(log_2(4^x+t)ge x=log_22^x)在(R)上恒成立，

故(4^x+tge 2^x)在(R)上恒成立，分离参数得到，

(tge 2^x-4^x)在(R)上恒成立，

令(2^x=k>0)，则(2^x-4^x=k-k^2=g(k)(k>0))，需要求(g(k)_{max})，

又(g(k)=-k^2+k=-(k-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4})，

故(g(k)_{max}=g(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{4})，

故(tge cfrac{1}{4})，即(tin [cfrac{1}{4}，+infty))。

（2）若存在实数(m，n(m<n))，使得(xin [m，n])时，函数(f(x))的值域也为([m，n])，求(t)的取值范围；

分析：不论底数(a)取何值，复合函数(f(x)=log_a(a^{2x}+t))在给定定义域([m，n])上都是单调递增的，

故有(left{egin{array}{l}{f(m)=m}\{f(n)=n}end{array} ight.)，即(left{egin{array}{l}{log_a(a^{2m}+t)=m}\{log_a(a^{2n}+t)=n}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{a^{2m}+t=a^m}\{a^{2n}+t=a^n}end{array} ight.)，(left{egin{array}{l}{(a^m)^2-a^m+t=0}\{(a^n)^2-a^n+t=0}end{array} ight.)，

由于(a^m eq a^n)，且(a^m>0)，(a^n>0)，

故(a^m、a^n)是方程(x^2-x+t=0)的两个不相等正实根，

对方程(x^2-x+t=0)而言，有两个正实根的充要条件是(left{egin{array}{l}{Delta >0}\{x_1+x_2=1>0}\{x_1x_2=t>0}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{Delta=1-4t>0}\{x_1x_2=t>0}end{array} ight.)，解得(0<t<cfrac{1}{4})。

故求(t)的取值范围为((0，cfrac{1}{4}))；

例6已知函数(f(x)=log_{2}(2x)cdotlog_{4}(2x))，(xin[cfrac{1}{4}, 4])，则(f(x))的最小值为_____________.

解析：(f(x)=log_{2}(2x)cdotlog_{4}(2x))，

(=(1+log_2x)cdot cfrac{1}{2}(log_22+log_2x))

(=cfrac{1}{2}(1+log_2x)cdot(1+log_2x))

故可将函数化简为:(f(x)=cfrac{1}{2}(log_{2}x+1)^{2})，

令(log_{2}x=t)，则(y=cfrac{1}{2}(t+1)^{2})，

因为(xin [cfrac{1}{4}, 4])，所以(tin[-2,2])

根据二次函数的性质得到：当(t=-1)时，(y)取得最小值(0)，

故(f(x))的最小值为(0)，故答案为(0)。

延申阅读：1、一元二次方程根的分布；2、能合二为一的素材