分式型函数

前言

分式型函数是高中数学中非常常见的一类函数，常常和三角函数，齐次函数，二次函数，对勾函数，幂函数等纠缠融合在一起，在判断函数的单调性和值域(或最值)时经常出现，比较特殊，学生感觉难以掌握，现对其作以归纳总结。

变形汇总

代数换元法，配凑法，分式裂项法，同除构造法，数形结合法，

常用变形

案例研究函数(f(x)=frac{x^2}{3-x})的图像或者单调性

常常需要将函数做以下变形[由于常用，提醒注意理解记忆]

• ①[配凑法]变形，(cfrac{x^2}{3-x}=-cfrac{x^2}{x-3}=-cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3})(=-(x-3)-cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-cfrac{9}{x-3}-6)(=-[(x-3)+cfrac{9}{x-3}]-6)；

其图像可以借助(f(x)=x+cfrac{9}{x})的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；

• ②[换元法]变形，令(3-x=t)，则(x=3-t)，则(f(x)=cfrac{x^2}{3-x}=cfrac{(3-t)^2}{t})(=cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+cfrac{9}{t}-6=(3-x)+cfrac{9}{3-x}-6)(=-[(x-3)+cfrac{9}{x-3}]-6)；

③也可以使用导数法研究，但是和上述方法[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质]相比，感觉繁琐，

多项式型

①分子分母一次型，如(f(x)=cfrac{x+2}{x+1})；

• 注意对称性：如(f(x)=cfrac{1-x}{1+x})，对称中心为((-1，-1))，

• 注意奇偶性的判断，由于(g(-x)=lgcfrac{1+x}{1-x}=lg(cfrac{1-x}{1+x})^{-1}=-lgcfrac{1-x}{1+x}=-g(x))，故(g(x)=lgcfrac{1-x}{1+x})就是奇函数。

• 注意单调性，常用配凑法+分离常数法，或配凑法+分式裂项法，

• 注意值域；如(f(x)=cfrac{x+2}{x+1}=1+cfrac{1}{x+1})；

• 换元可以转化为上述形式的，如(f(x)=cfrac{2^x-1}{2^x+1})，

分子分母二次型，如(f(x)=cfrac{x^2+2x-3}{x^2+x+1})求值域；判别式法；

②分子二次分母一次型，如(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})，

• 常用配凑法+分离常数法，或配凑法+分式裂项法，或换元法，

如[配凑法](h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})，

或[换元法]令(x-2=t)，则(x=t+2)，

故(h(x)=cfrac{(t+2)^2-4(t+2)+5}{t}=cfrac{t^2+1}{t}=t+cfrac{1}{t})

即(h(x)=t+cfrac{1}{t}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})

(f(x)=cfrac{9^x+1}{3^x})，

③分子一次分母二次型，如(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；

• 常用取倒数法，或换元法，或配凑同除法

如(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；则(n(x)=cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}=cfrac{1}{(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1})

如(g(t)=cfrac{t}{t^2+9}=cfrac{1}{t+frac{9}{t}})；如(h(t)=cfrac{t+2}{t^2}=cfrac{1}{t}+2(cfrac{1}{t})^2=2m^2+m);

三角齐次型

④分子分母是一次齐次式，(f(x)=cfrac{cosx+2sinx}{sinx-2cosx})；

针对④型的，常用分子分母同除以(cosx)法，

⑤分子分母是二次齐次式，(h( heta)=cfrac{2sin^2 heta+cos^2 heta}{sin^2 heta-3cos^2 heta})

针对⑤型的，常用分子分母同除以(cos^2 heta)法，

⑥分母为(1) 的二次齐次式，(g( heta)=cos2 heta=cfrac{cos2 heta}{1}=cfrac{cos^2 heta-sin^2 heta}{sin^2 heta+cos^2 heta})

针对⑥型的，转化为⑤型的再处理；

均值不等式型

⑦分母之和为定值的类型，(f(x)=cfrac{1}{x}+cfrac{4}{2-x}(0<x<2))

针对⑦型的，转化为利用均值不等式处理；

• 当(x>cfrac{1}{2})时，求(f(x)=x+cfrac{8}{2x-1})的最小值。

⑧可以转化为上述分式型的，

引例如求函数(y=cfrac{sinalphacdot cosalpha}{sinalpha+cosalpha}，alphain [0，cfrac{pi}{2}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=cfrac{1}{2}(t-cfrac{1}{t})，tin [1，sqrt{2}])

引例求函数(y=cfrac{sinalpha+cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}，alphain [0，cfrac{pi}{2}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{2}{t-frac{1}{t}}，tin [1，sqrt{2}])

引例求函数(y=cfrac{sinalpha-cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}，alphain [cfrac{pi}{2}，cfrac{3pi}{4}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha-cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha-cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{1-t^2}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{2}{frac{1}{t}-t}，tin [1，sqrt{2}])

二元函数型

⑨线性规划型，如求(cfrac{3x+4y+10}{x+3})的取值范围。

• 化为部分分式的形式，转化为斜率型，由数转化为形。

如求(cfrac{3x+4y+10}{x+2}=cfrac{(3x+6)+4y+4}{x+2}=3+4 imes cfrac{y+1}{x+2}=3+4 imes cfrac{y-(-1)}{x-(-2)})的取值范围。

⑩线性规划型，如(z=cfrac{x^2+y^2}{xy}=cfrac{x}{y}+cfrac{y}{x}=k+cfrac{1}{k})；

⑪函数与导数中的导函数如(f'(x)=cfrac{(x-2)(x+1)}{x})；(f'(x)=cfrac{e^x(x-1)(x+m)}{x^2})等；

补充，函数(f(x)=sqrt{x+1}-sqrt{x}=cfrac{1}{sqrt{x+1}+sqrt{x}})，函数单调递减；

⑫碰到(d=cfrac{|k+1|}{sqrt{k^2+1}})时，可以考虑先平方得到，(d^2=cfrac{(k+1)^2}{k^2+1}=1+cfrac{2k}{k^2+1}leq 1+1=2)，再考虑求解(d)；

⑬(|OP|^2=cfrac{(m^2+1)(m^2+16)}{(m^2+4)^2})，令(m^2+4=lambda>4)，则(|OP|^2=cfrac{(lambda-3)(lambda+12)}{lambda^2}=-cfrac{36}{lambda^2}+cfrac{9}{lambda}+1)

(=-36(cfrac{1}{lambda}-cfrac{1}{8})^2+cfrac{25}{16}leq cfrac{25}{16}).

⑭

隐含性质

①如(f(x)=cfrac{x+2}{x+1}=1+cfrac{1}{x+1})，则可知其对称中心为((-1，1))，

则其必然满足关系：(f(x)+f(-x-2)=2)或者(f(-x)+f(x-2)=2)。

如若不信，你可以验证，(f(-x)=cfrac{-x+2}{-x+1}=cfrac{x-2}{x-1})；(f(x-2)=cfrac{x-2+2}{x-2+1}=cfrac{x}{x-1})，

则(f(-x)+f(x-2)=cfrac{x-2+x}{x-1}=cfrac{2(x-1)}{x-1}=2)；

其实，表达式(f(-x)+f(x-2)=2)就是刻画函数的对称性的。

②同理同法，我们可知函数(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})，

是中心对称的，其对称中心为((2，0))。也就是说，其必然满足(f(x)+f(4-x)=0)。

典例剖析

例1求函数(f(x)=cfrac{2+x}{1+x})的值域。

分析：函数(f(x)=cfrac{2+x}{1+x}=1+cfrac{1}{1+x})，由于(cfrac{1}{1+x} eq 0)，则函数(f(x) eq 1)，故值域为((-infty，1)cup (1，+infty))。

例2【利用对称性求值】若(f(x)=cfrac{3x-2}{2x-1})，则(f(cfrac{1}{11})+f(cfrac{2}{11})+f(cfrac{3}{11})+cdots+f(cfrac{10}{11}))的值是多少？

法1：结合要求解的条件，我们尝试求解(f(x)+f(1-x))的值，结果会发现：(f(x)+f(1-x)=3)，

故有(f(cfrac{1}{11})+f(cfrac{10}{11})=3);(f(cfrac{2}{11})+f(cfrac{9}{11})=3)；等等，

所以(f(cfrac{1}{11})+f(cfrac{2}{11})+f(cfrac{3}{11})+cdots+f(cfrac{10}{11}))

(=5[f(cfrac{1}{11})+f(cfrac{10}{11})]=5 imes 3=15).

法2：将函数(f(x))化为部分分式为(f(x)=cfrac{3}{2}-cfrac{1}{2(2x-1)})，

故函数(f(x))的对称中心是((cfrac{1}{2}，cfrac{3}{2}))，

故根据函数的对称性的数学表达可以写出(f(x)+f(1-x)=3)；

故所求式等于(5 imes 3=15).

法3：本题目也可以说明倒序相加求和法。

例14【2019天津滨海新区七所重点学校联考】若正实数(x)，(y)满足(x+2y=5)，则(cfrac{x^2-3}{x+1}+cfrac{2y^2-1}{y})的最大值为_____________。

分析：由题可知，(x>0)，(y>0)，又由于(x+2y=5)，则((x+1)+2y=6)，

(cfrac{x^2-3}{x+1}+cfrac{2y^2-1}{y}=cfrac{(x+1)^2-2(x+1)-2}{x+1}+2y-cfrac{1}{y})

(=x+1-2+2y-(cfrac{2}{x+1}+cfrac{1}{y}))

(=x+2y-1-(cfrac{2}{x+1}+cfrac{1}{y}))

(=4-(cfrac{2}{x+1}+cfrac{1}{y}))

(=4-cfrac{1}{6}(cfrac{2}{x+1}+cfrac{1}{y}) imes [(x+1)+y])

(=4-cfrac{1}{6}(2+2+cfrac{4y}{x+1}+cfrac{x+1}{y}))

(leqslant 4-cfrac{1}{6}(4+2sqrt{4})=cfrac{8}{3}),

当且仅当(x+2y=5)，(x+1=2y)，即(x=2)，(y=cfrac{3}{2})时取到等号；

则(cfrac{x^2-3}{x+1}+cfrac{2y^2-1}{y})的最大值为(cfrac{8}{3}).

解后反思：本题目用到分式变形，拆添项，常数代换，乘常数除常数等多种变形技巧。

例1方程(2log_2x-log_2(x-1)=m+1)有两个不同的解，求参数(m)的取值范围；

分析：先求解定义域，为(x>1)，再将原方程变形为(log_2cfrac{x^2}{x-1}=m+1)，即函数(y=log_2cfrac{x^2}{x-1})与函数(y=m+1)的图像应该有两个交点，

重点研究函数(y=log_2cfrac{x^2}{x-1})的性质，令(x-1=t>0)，则(cfrac{x^2}{x-1}=cfrac{(t+1)^2}{t}=t+cfrac{1}{t}+2)，对勾型函数

故函数(y=log_2cfrac{x^2}{x-1}=log_2(t+cfrac{1}{t}+2))，故复合函数当(tin (0，1])上单调递减，当(tin[1，+infty))上单调递增，

在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图可知，两个函数图像要有两个交点，则(m>1).

例5【2019蚌埠模拟】已知(a>0)，设函数(f(x)=cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1})(（xin [-a,a]）)的最大值为(M)，最小值为(N)，那么(M+N)=【】

$A.2016$ $B.2018$ $C.4032$ $D.4034$

分析：(f(x)=cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018^xcdot 2018+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018(2018^x+1)+2}{2018^x+1}=2018-cfrac{2}{2018^x+1})

故函数(f(x))在区间([-a,a])上单调递增，故(M=f(x)_{max}=f(a))，(N=f(x)_{min}=f(-a))，

故(M+N=f(a)+f(-a)=2018-cfrac{2}{2018^a+1}+2018-cfrac{2}{2018^{-a}+1}=4036-2=4034)，故选(D).

例6已知(a_n=cfrac{n-4}{n-frac{9}{2}})，求数列({a_n})的最小项和最大项；

分析：我们依托数列所对应的函数(f(x)=cfrac{x-4}{x-frac{9}{2}}=cfrac{2x-8}{2x-9}=cfrac{2x-9+1}{2x-9}=1+cfrac{1}{2x-9})

做出其图像，其对称中心为点((4.5，1))，

由图可知，当(nleqslant 4)时，数列({a_n})单调递减，且有(1>a_1>a_2>a_3>a_4)；

当(ngeqslant 5)时，数列({a_n})单调递减，且有(a_5>a_6>a_7>cdots > 1)；

故数列({a_n})的最小项为(a_4)，最大项为(a_5)；

高考相关

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第21题】部分解答过程集锦

(S_{ riangle PQG}=cfrac{8(y_0x_0^3+x_0y_0^3)}{2x_0^4+2y_0^4+5x_0^2y_0^2}) (xlongequal[化简整理得到]{给分子分母同除以x_0^2y_0^2}) (cfrac{8(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})}{2(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})^2+1})

令(t=frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})，则(tgeqslant 2)，

则(S_{ riangle PQG}=cfrac{8t}{2t^2+1}=cfrac{8}{2t+frac{1}{t}})

利用对勾函数(f(t)=2t+cfrac{1}{t})在([2，+infty))上的单调性可知，

(f(t)geqslant 4+cfrac{1}{2}=cfrac{9}{2})(当(t=2)时取到等号)

所以(S_{ riangle PQG}leqslant cfrac{8}{frac{9}{2}}=cfrac{16}{9})

方程消参

1、已知参数方程为(left{egin{array}{l}{x=p(k^2+cfrac{1}{k^2})}\{y=p(k-cfrac{1}{k})}end{array} ight.)，则其普通方程是什么。

2、已知参数方程(left{egin{array}{l}{x=frac{3}{1+k^2}①}\{y=frac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.(|k|< frac{2sqrt{5}}{5}))，消参求其普通方程；

3、已知参数方程(left{egin{array}{l}{x=frac{1-t^2}{1+t^2}①}\{y=frac{4t}{1+t^2}②}end{array} ight.(t为参数))，消参求其普通方程；

补遗

对函数(f(x)=cfrac{4x}{x^2+2})的变形思考：

思路1：当(x eq 0)时，常用变形(f(x)=cfrac{4x}{x^2+2}=cfrac{4}{x+frac{2}{x}})，当仅仅(x>0)时，或者(x<0)时也可以用均值不等式求最值；

思路2：用导数判断其单调性，

(cfrac{q^4}{q^2-1}=cfrac{[(q^2-1)+1]^2}{q^2-1}=(q^2-1)+2+cfrac{1}{q^2-1}geqslant 2sqrt{(q^2-1)cdot cfrac{1}{q^2-1}}+2=4)

(g(x)=cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}=cfrac{(e^{x}-e^{-x})^2+2}{e^x-e^{-x}})

(=e^x-e^{-x}+cfrac{2}{e^x-e^{-x}})，

(h(x)=cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}=cfrac{(e^{x}+e^{-x})^2-2}{e^x+e^{-x}})

(=e^x+e^{-x}-cfrac{2}{e^x+e^{-x}})，