算法笔记-动态规划

　　 动态规划：通过不停的缩小问题规模最终找到解。几乎都是求极限值。有以下几个特征：

　　　　　　①规模n问题和规模为n-1的问题，两个最优解可能相同也可能只差第n个元素，换句话说就是第n个元素是否属于最优解。如果不属于最优解那么规模为n的问题就可以换算为规模n-1的问题；如果属于最优解，那么规模为n的问题就可以换算为规模n-1的问题再补上第n个元素（可能有时候是n-k，但大部分是n-1）   

　　　　　　②规模缩减到一定程度（一般是0或者1的时候）有明确解，或者求解的方法 ，此类问题大部分用递归 

　　　　　　③缩减规模的方式可能有多种，再加上有时并不能直接判断第n个元素是否属于最优解，一般要用min或max取最优

（1）最长公共子序列

　　说明：假如有一个字符串是abcde。那么他的子序列包括a，ab，bc，ad，abc，abe等等（这个不一定非要连续，只要每个字符取自该字符串并且保持前后顺序就可以）。现在给定两个字符串cnblogs，belong，他们的公共的序列包括bl，bo等等，求其最长公共子序列

　　思路：其最长的子序列是blog。先理解一下书上的给的几个结论：

　　　　

　　最后的总结很重要，逻辑就是根据这个来的。

　　代码：

<?php
$str1 = 'cnblogs';
$str2 = 'belong';
function findStr($str1, $str2)
{
    if ($str1 == '' || $str2 == '')     //i=0或j=0         
        return '';              
    
    while ($str1 != '' && $str2 != '')
    {
        if ($str1[strlen($str1) - 1] == $str2[strlen($str2) - 1]) {     //X(i) = Y(j)
            $res = substr($str1, -1) . $res;
            list($str1, $str2) = [substr($str1, 0, -1), substr($str2, 0, -1)];            
        } else {            //X(i) != Y(j)
            list($r1, $r2) = [findStr(substr($str1, 0, -1), $str2), findStr($str1, substr($str2, 0, -1))];
            $res = strlen($r1) > strlen($r2) ? $r1 . $res : $r2 . $res;     //取max
            break;
        }
    }
    return $res;  
}
echo findStr($str1, $str2);    

 　　补充：忽然发现有些情况可能有多解（上面的逻辑只会返回其中一个解），比如cnb1a2ogs和beaon12g，最长公共子序列不仅有n12g还有b12g等等。补充下面的代码（主要16行解决多个解的问题，之前只是取了一个值）。

　　代码：

<?php
$str1 = 'cnb1a2ogs';
$str2 = 'beaon12g';
function findStr($str1, $str2)
{
    if ($str1 == '' || $str2 == '')     //i=0或j=0         
        return [];              
    
    while ($str1 != '' && $str2 != '')
    {
        if ($str1[strlen($str1) - 1] == $str2[strlen($str2) - 1]) {     //X(i) = Y(j)
            $res = substr($str1, -1) . $res;
            list($str1, $str2) = [substr($str1, 0, -1), substr($str2, 0, -1)];            
        } else {                                                        //X(i) != Y(j)
            list($r1, $r2) = [findStr(substr($str1, 0, -1), $str2), findStr($str1, substr($str2, 0, -1))];
            $tmp = strlen($r1[0]) > strlen($r2[0]) ? $r1 : (strlen($r1[0]) == strlen($r2[0]) ? array_merge($r1, $r2) : $r2);  //取max
            foreach ($tmp as $v) {
                $ret[] = $v . $res;
            }
            break;
        }
    }
    return isset($ret) ? array_unique($ret) : array_filter([$res]);
}
print_r(findStr($str1, $str2));

 （2）编辑距离

　　说明：如图（他那有个地方笔误了，第2种对齐是插入F，不是插入R）

　　思路：最短编辑距离为4。先理解一下书上的给的几个结论（画红框部分为重点，是主要逻辑）

 　　代码：

<?php
$str1 = 'family';
$str2 = 'frame';
function editDistance($str1, $str2)
{
    if ($str1 == $str2) return 0;                           //相等的话距离肯定为0
    list($len1, $len2) = [strlen($str1), strlen($str2)];    //如果有一个字符串长度小于2，我们也可以计算出长度来
    if ($len1 < 2 || $len2 < 2) {
        list($long, $short) = $len1 > $len2 ? [$str1, $str2] : [$str2, $str1];
        return strpos($long, $short) === false ? strlen($long) : strlen($long) - strlen($short);
    }
    $distance = substr($str1, -1) == substr($str2, -1) ? 0 : 1;
    return min([                                            //这就是那三个方式了
        $distance + editDistance(substr($str1, 0, -1), substr($str2, 0, -1)), 
        1 + editDistance($str1, substr($str2, 0, -1)),
        1 + editDistance(substr($str1, 0, -1), $str2),
        ]);
}
echo editDistance($str1, $str2);

 （3）游艇租赁

　　说明：如下图

　　思路：假如有5个出租站，求第1个到第5个的最少租金。可以求（1直接到5的租金），和(1-2最少租金+2-5最少租金)，和(1-3最少租金+3-5最少租金)，和（1-4最少租金+4-5最少租金）的最小值。然后第1个为例(1-2最少租金+2-5最少租金)，1-2是可以直接求出来的（问题规模缩减到可求解），2-5的最小租金还是按照1-5的方案求。如下：

　　代码：

<?php
$arr = [
    [0, 2, 6, 9, 15, 20],
    [null, 0, 3, 5, 11, 18],
    [null, null, 0, 3, 6, 12],
    [null, null, null, 0, 5, 8],
    [null, null, null, null, 0, 6],
    [null, null, null, null, null, 0],
];

function minTravel($arr, $s, $e)
{
    if ($s + 1 == $e) return $arr[$s][$e];
    $res[] = $arr[$s][$e];
    for ($i=$s; $i<$e - 1; $i++) {
        $res[] = minTravel($arr, $s, $i + 1) + minTravel($arr, $i + 1, $e);
    }
    return empty($res) ? 0 : min($res);
}
echo minTravel($arr, 0, 5);

 　　补充：上面的代码只是算出最少的租金，下面的代码会算出路径和最少租金

<?php
$arr = [
    [0, 2, 6, 9, 15, 20],
    [null, 0, 3, 5, 11, 18],
    [null, null, 0, 3, 6, 12],
    [null, null, null, 0, 5, 8],
    [null, null, null, null, 0, 6],
    [null, null, null, null, null, 0],
];

function minTravel($arr, $s, $e)
{
    if ($s + 1 == $e) return [$s . '-' . $e => $arr[$s][$e]];
    $res[$s . '-' . $e] = $arr[$s][$e];
    for ($i=$s; $i<$e - 1; $i++) {
        list($p1[], $p2[]) = [minTravel($arr, $s, $i + 1) , minTravel($arr, $i + 1, $e)];
    }
    array_map(function($v1, $v2) use (& $res){
        $res[key($v1) . '-' . key($v2)] = current($v1) + current($v2);
    }, $p1, $p2);
    asort($res);
    return [key($res) => current($res)];
}
print_r(minTravel($arr, 0, 5));

 （4）矩阵连乘

　　说明：

　　

 　　思路：

　　代码：如果想观察到合并过程可以在函数结尾的地方打印newArr（是倒叙的）

<?php
$arr = [[3, 5], [5, 10], [10, 8], [8, 2], [2, 4]];
function matrix($arr)
{
    if (($c = count($arr)) < 3)
            return ($arr[0] ? array_product($arr[0]) : 0) * ($arr[1][1] ?: 1);

    for ($i=0; $i<$c-1; $i++) {
        $param = array_product($arr[$i]) * $arr[$i+1][1];
        $newArr = $arr;
        array_splice($newArr, $i, 2, [[$arr[$i][0], $arr[$i+1][1]]]);
        $res[] = $param + matrix($newArr);
    }
    return min($res);
}
echo matrix($arr);

 （5）最优三角剖分

　　说明：以最短的切割路径之和，把一个凸多边形切分为多个三角形

　　思路：如上图，假如v0-v3是最优解的第一步，那么问题转化为1+多边形（v0，v3，v4，v5）+多边形（v0，v1，v2，v3）；第一也可能是v0-v2等等，返回最小值就可以了。

　　代码：

<?php
$map = [
    [0, 2, 3, 1, 5, 6],
    [2, 0, 3, 4, 8, 6],
    [3, 3, 0, 10, 13, 7],
    [1, 4, 10, 0, 12, 5],
    [5, 8, 13, 12, 0, 3],
    [6, 6, 7, 5, 3, 0],
];
$points = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
function cutting($points) {
    global $map;
    list($pointsCount, $lines, $res) = [count($points), array(), array()];
    for ($i=0; $i<$pointsCount; $i++) {
        for ($j=0; $j<$pointsCount; $j++) {                                     //不是相同的点，不是重复的连线：相连  lines用于记录连接过得点，避免重复计算
            if ($i != $j && ! in_array($points[$i] . '_' . $points[$j], $lines)) {
                $blocks = array();                                              //连接不相邻的两个点，将多边形分为两块  $twoPoints是这两个点
                $lines = array_merge($lines, [$points[$i] . '_' . $points[$j], $points[$j] . '_' . $points[$i]]);
                $twoPoints = $points[$i] < $points[$j] ? [$points[$i], $points[$j]] : [$points[$j], $points[$i]];
                foreach ($points as $point) {
                    if (! in_array($point, $twoPoints))
                        $point > $twoPoints[0] && $point < $twoPoints[1] ? $blocks[0][] = $point : $blocks[1][] = $point;
                }
                if (count($blocks[0]) == 0 || count($blocks[1]) == 0) continue; //判定为相邻的两个点
                list($path, $distance) = [array($points[$i] . '_' . $points[$j]), $map[$points[$i]][$points[$j]]];         
                foreach ($blocks as $block) {                                   //path用于记录路径，distance用于记录距离
                    if (count($block) > 1) {                                    //等于1为三角形，没必要再分
                        $blockRes = cutting(array_merge($block, $twoPoints));
                        $distance += current($blockRes); $path[] = key($blockRes);
                    }
                }
                $res[join(':', $path)] = $distance;
            }
        }
    }
    asort($res);
    return [key($res) => current($res)];
}
print_r(cutting($points));    //'3_5:0_3:2_0' => 9

 （6）石子合并

　　说明：假如有6堆石子，个数分别是5, 8, 6, 9, 2, 3；将这6堆石子合并成一堆，一次合并两堆，只有相邻的两堆才能合并。比如：

　　　　　　第一次合并  13,6,9,2,3  　　　　5,8合并代价是13

　　　　　　第二次合并  13,15,2,3　　　　   6,9合并代价是15

　　　　　　第三次合并  13,15,5 　　　　　 2,5合并代价是5

　　　　　　第四次合并   28,5　　　　　　  13,15合并代价是28

　　　　　　第四次合并   33　　　　　　　  28.5合并代价是33

　　总代价：13+15+5+28+33，求总代价最小的合并方法，这个和上面矩阵相乘的差不多。

　　代码：

<?php
$arr = [5, 8, 6, 9, 2, 3];
function unionNum($arr) {
    if (($numCount = count($arr)) < 3) return array_sum($arr);
    for ($i=0; $i<count($arr) - 1; $i++) {
        $newArr = $arr;
        array_splice($newArr, $i, 2, $arr[$i] + $arr[$i + 1]);
        $res[] = $arr[$i] + $arr[$i + 1] + unionNum($newArr);
    }
    return min($res);
}
echo unionNum($arr);

 （7）0-1背包问题

　　说明：假如有5个物品，质量分别是2, 5, 4, 2, 3；价值分别是6, 3, 5, 4, 6。背包承载的最大重量是10。装哪些物品可以价值最大化。

 　　代码：

<?php
$arr = [[2, 6], [5, 3], [4, 5], [2, 4], [3, 6]];
function zeroOne($arr, $limit) {
    $res = [];
    for ($i=0; $i<count($arr); $i++) {
        if ($limit > $arr[$i][0]) {
            $nextArr = $arr; unset($nextArr[$i]);
            $others = zeroOne(array_values($nextArr), $limit - $arr[$i][0]);
            $key = key($others) ? join('-', $arr[$i]) . ':' . key ($others) : join('-', $arr[$i]);
            $res[$key] = $arr[$i][1] + current($others);
        }
    }
    arsort($res);
    return $res ? [key($res) => current($res)] : [0];
}
print_r(zeroOne($arr, 10));     //[3-6:4-5:2-6] => 17

 （8）最优二叉搜索树

　　说明：有点长。。。

 

 　　思路：假如最优树的根是20（第5个点，定义为s5，搜索概率为p5，左支搜索不到概率为q4，右支搜索不到概率为q5），那么问题转化为p5 * 深度 + [9, 5, 12, 15]最优树 + [24]最优树 ，后面两个分别是比20小的数组和比20大的数组，如果没有比20小的数组则替换为q4*深度；如果没有比20大的数组则替换为q5*深度；

　　代码：

<?php
$nums = [5, 9, 12, 15, 20, 24];
$prs = [[6, 4, 8], [8, 9, 10], [10, 8, 7], [7, 2, 5], [5, 12, 5], [5, 14, 10]];

function bestTree($nums, $prs, $level = 1) {
    $numsCount = count($nums);
    if ($numsCount == 1) return array_sum($prs[0]) * $level;
    for ($i=0; $i<$numsCount; $i++) {
        list($max, $min) = [array(), array()];
        for ($j=0; $j<$numsCount; $j++) {
            if ($nums[$i] > $nums[$j]) {
                list($min['nums'][], $min['prs'][]) = [$nums[$j], $prs[$j]];
            } elseif ($nums[$i] < $nums[$j]) {
                list($max['nums'][], $max['prs'][]) = [$nums[$j], $prs[$j]];
            }
        }
        $res[] = $prs[$i][1] * $level
                + ($max['nums'] ? bestTree($max['nums'], $max['prs'], $level + 1) : $prs[$i][2] * $level)
                + ($min['nums'] ? bestTree($min['nums'], $min['prs'], $level + 1) : $prs[$i][0] * $level);
    }
    return min($res);
}
echo bestTree($nums, $prs);    //252