多重部分和问题

有n种不同大小的数字ai,每种各mi个。判断是否可以从这些数字之中选出若干使它们的和恰好为K。

限制条件 1<=n<=100,1<=ai,mi<=100000,1<=K<=100000.

dp[i+1][j]:用前i种数字能否加和成K

为了前i种数字能加和成K，需要能用前i-1种数字加和成j,j-a...j-mi*ai中的某一种

因此dp[i+1][j]=(0<=k<=mi且k*ai<=j时存在使得dp[i][j-k*ai]为真的k)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
#define INF 10000000
using namespace std;
const int max_n=101;
int a[max_n+1];
int m[max_n+1];
int n,r,K;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i]>>m[i];
    }
    cin>>K;
    bool dp[n+1][K+1];
    fill(dp[0],dp[0]+K+1,false);
    dp[0][0]=true;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=K;j++)
        {
            for(int k=0;k*a[i]<=j&&k<=m[i];k++)
            {
                dp[i+1][j]|=dp[i][j-k*a[i]];
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][K]<<endl;
    return 0;
}

优化如下

dp[i+1][j]:用前i种数加和得到j时第i种数最多能剩余多少个

dp[i+1][j]=mi  (dp[i][j]>=0)

　　　　　　-1  (j<ai||dp[i+1][j-ai]<=0)

　　　　　　dp[i+1][j-ai]-1  (其他)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
#define INF 10000000
using namespace std;
const int max_n=101;
int a[max_n+1];
int m[max_n+1];
int n,r,K;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i]>>m[i];
    }
    cin>>K;
    int dp[K+1];
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=K;j++)
        {
            if(dp[j]>=0)
            {
                dp[j]=m[i];
            }
            else if(j<a[i]||dp[j-a[i]]<=0)
            {
                dp[j]=-1;
            }
            else
            {
                dp[j]=dp[j-a[i]]-1;
            }
        }
    }
    cout<<dp[K]<<endl;
    return 0;
}