先验概率与后验概率

从原因到结果的论证称为“先验的”，而从结果到原因的论证称为“后验的”。

    先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的 ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 。后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率。

先验概率的分类：

利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；

当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。

后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。

先验概率和后验概率的区别：

先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；

　　先验概率的计算比较简单，没有使用贝叶斯公式；而后验概率的计算，要使用贝叶斯公式，而且在利用样本资料计算逻辑概率时，还要使用理论概率分布，需要更多的数理统计知识。

下面转自其他博客

先验概率与后验概率

"概率就是无知, 而不是事务本身是随机的".

    事情有N种发生的可能,我们不能控制结果的发生,或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力. 新发一个物种, 到底是猫,还是小老虎呢(朱道元的经典例子)? 是由于我们的无知才不能确定判断.

 

先验概率 ( Prior probability)

先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量; 而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率.  先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计. 比如在法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p,  在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性.

 

后验概率 ( posterior probability)

 Def: Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.  

后验概率可以根据通过Bayes定理, 用先验概率和似然函数计算出来.  下面的公式就是用先验概率密度乘上似然函数,接着进行归一化, 得到不定量X在Y=y的条件下的密度,即后验概率密度: