二分查找的学习

来自：http://www.acmerblog.com/ubiquitous-binary-search-5345.html

我们都知道二分查找算法，实际上二分查找以及其扩展应用是很广泛的。这里收集了一些和二分查找有关的有趣问题。强烈建议大家看完问题后最小化浏览器，先尝试自己去解决，然后再看代码，问题都不是太难。

问题1描述

给一个已经排序的数组，其中有N个互不相同的元素。要求使用最小的比较次数找出其中的一个元素。(你认为二分查找在排序数组里找一个元素是最优的算法的吗？)

不需要太多的理论，这是一个典型的二分查找算法。先看下面的代码：

// 返回要查找元素的下标，-1为没有找到
int BinarySearch(int A[], int l, int r, int key)
{
    int m;
    while( l <= r )
    {
        m = l + (r-l)/2;

        if( A[m] == key ) //第一次比较
            return m;

        if( A[m] < key ) // 第二次比较
            l = m + 1;
        else
            r = m - 1;
    }

    return -1;
}

理论上，我们最多需要 logN+1 次比较。仔细观察，我们在每次迭代中使用两次比较，除了最后比较成功的一次。实际应用上，比较也是代价高昂的操作，往往不是简单的数据类型的比较。减少比较的次数也是优化的方向之一。

下面是一个比较次数更少的实现：

// 循环不变式： A[l] <= key &  A[r] > key
// 边界: |r - l| = 1
// 输入: A[l .... r-1]
int BinarySearch(int A[], int l, int r, int key)
{
    int m;
    while( r - l > 1 )
    {
        m = l + (r-l)/2;

        if( A[m] <= key )
            l = m;
        else
            r = m;
    }
    if( A[l] == key )
        return l;
    else
        return -1;
}

在while循环中，我们仅依赖于一次比较。搜索空间( l->r )不断缩小，我们需要一个比较跟踪搜索状态。

需要注意的，要保证我们恒等式（A[l] <= key & A[r] > key）正确，后面还会用到循环不变式。

自己可以实现一下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int binarysearch(int a[],int l,int r,int k){
    int mid;
    while(r-l>1){
        mid=(r+l)/2;
        if(a[mid]<=k)
            l=mid;
        else
            r=mid;
    }
    if(a[l]==k)
        return l;
    else
        return -1;
}
int main()
{
    int a[10];
    int n,m,i,j;
    for(int i=0;i<5;i++){
        cin>>a[i];
    }
    sort(a,a+5);
    scanf("%d",&n);
    m=binarysearch(a,0,5,n);
    if(m!=-1)
        printf("%d
",a[m]);
    else
        cout<<"NO"<<endl;
    return 0;
}