抽签问题的思考(二分算法)

问题:
将写有数字的N个纸片放入口袋中,你可以从口袋中抽取4次纸片,每次记下纸片上的数字后都将其放回口袋中.如果这4个数字的和是M,就是你赢,否则就是你的朋友赢.

很容易就可以写出下边的代码:

for(int a=0; a<n; a++){
    for(int b=0; b<n; b++){
        for(int c=0; c<n; c++){
            for(int d=0; d<n; d++){
                if(k[a] + k[b] + k[c] + k[d]==m){
                    f = true;
                }
            }
        }
    }
}

上面是最初所记载的程序的循环部分.最内侧关于d的循环所做的事就是:

     检查是否有d使得Ka+Kb+Kc+Kd=M

通过对式子移向,就能得到另一种表达方式:

     检查是否有d使得Ka=M-Kb+Kc+Kd

就是检查数组K中所有元素,判断是否有M-Kb+Kc+Kd.

这样的快速查找,就要用到二分搜索的算法.

1.二分搜索与O(n³logn)

排序O(nlogn)时间

循环O(n³logn)时间

int n,m,k[MAX];

bool binary_search(int x){
    //x的存在范围是k[l],k[l+l]...k[r-l]
    int l=0,r=n;
    //反复操作直到存在范围为空
    while(r-l>=l){
        int i=(l+r)/2;
        if(k[i]==x) return true;//找到x
        else if(k[i]<x)   l=i+1;
        else r=i;
    }
    //没找到x
    return false;
}

viod solve(){
    //为了找到二分查找需要先排序
    sort(k,k+n);

    bool f=false;
    for(int a=0; a<n; a++){
        for(int b=0; b<n; b++){
            for(int c=0;c<n; c++){
                //将最内则的循环替换成二分查找
                if(binary_search(m-k[a]-k[b]-k[c])){
                    f=true;
                }
            }
        }
    }
    if(f)   puts("Yes");
    else   puts("No");
}

排序O(n²logn)时间

循环O(n²logn)时间

int n,m,k[MAX];
int kk[MAX*MAX];

bool binary_search(int x){
    //x的存在范围是kk[l],kk[l+l]...kk[r-l]
    int l=0,r=n*n;
    //反复操作直到存在范围为空
    while(r-l>=l){
        int i=(l+r)/2;
        if(kk[i]==x) return true;//找到x
        else if(kk[i]<x)   l=i+1;
        else r=i;
    }
    //没找到x
    return false;
}

viod solve(){
    //枚举k[c]+k[d]的和
    for(int c=0; c<n; c++){
        for(int d=0; d<n; d++){
            kk[c*n+d]=k[c]+k[d];
        }
    }
    //排序以便进行二分搜索
    sort(kk,kk+n*n);

    bool f=false;
    for(int a=0; a<n; a++){
        for(int b=0; b<n; b++){
            //将内则的两个循环替换成二分搜索
            if(binary_search(m-k[a]-k[b])){
                f=true;
            }
        }
    }
    if(f)   puts("Yes");
    else   puts("No");
}

本问题既需要二分搜索这一基础算法知识,也需要将四个数分成两两考虑的想象力.像这样从复杂度较高的算法出发,不断降低复杂度知道满足问题要求的过程,也是设计算法时常会经历的过程.

<<挑战程序设计竞赛>>读后感