Dilworth定理的应用和最长？？序列

有这么一个题目 导弹拦截
问题描述：某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

简而言之，这个题目就是要求出最长的不递增序列和不递增序列的个数。
由Dilworth定理 （？？？什么东西） ，不递增序列的个数等于递增序列的最大长度。
所以我们只需要求出不递增序列的最大长度和递增序列的最大长度。（问题是这我也不会啊 ）

那么我们就要学习一下怎么求最大？？序列的长度。

1.O((n^2))

第一问很明显是求最长不上升子序列，利用dp的思想，我们设f[i]为以第i个数为开头的最长不上升子序列的长度，然后可以得到这样一段程序

for(int i=n;i>=1;i--){//注意！！因为它是以i开头的最长不上升子序列，所以这里要从n开始循环，不然会出现一些奇妙的bug 
        f[i]=1;//以第i个数为开头的最长不上升子序列的长度至少为1（当这个序列只有它本身这一个数） 
        for(int j=i+1;j<=n;j++){//用前面已经算好的来算现在正在算的这一个 
            if(a[j]<=a[i])//如果a[j]>a[i]的话就不满足不上升这个要求（毕竟a[j]在a[i]后面） 
                f[i]=max(f[i],f[j]+1); //更新f[i]~记得要+1啊 
        }
        ans1=max(ans1,f[i]);//更新ans1 
    }

2.小于O((n^2))

在朴素n^2算法中,用f[i]储存以i结尾的最长不上升子序列长度，如样例

i 1 2 3 4 5 6 7 8

a 389 207 155 300 299 170 158 65

f 1 2 3 2 3 4 5 6

发现当f的值相同时，越后面的导弹高度越高

用d[i]维护f值为i的最后一个导弹的位置，t记录当前已经求出最长不升子序列长度

递推求f时枚举a[d[t]]，a[d[t-1]]，。。。，a[d[1]]是否≥当前求的导弹高度，是就更新f

while(~scanf("%d",&a[++n]));//读入数据方法
    n--;//n是导弹数，由于某些原因要--
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        f[i]=1;
        for(int j=t; j>0; j--)
            if(a[i]<=a[d[j]])
            {
                f[i]=f[d[j]]+1;
                break;
            }
        t=max(t,f[i]);
        d[f[i]]=i;//简单的维护过程
        ans=max(ans,f[i]);
    }

3.O(nlogn)求出最长不上升子序列的长度

(即一套系统最多拦截数)(终于到二了)

1.实现方式
首先我们需要一个数组a，存储从第1个到第n个导弹的高度

然后一个数组d(其实是个栈)，存储不上升序列

把a中的每个元素挨个加到d里面：

(a中第i个元素为a[i]，d长度为len，d中最后一个(也是最小的一个)为d[len])

如果a[i] <= d[len]，说明a[i]可以接在d后面(而整个d还是有序的)，那就简单粗暴地把a[i]丟进d：

d[ ++len ] = a[i]

如果a[i] > d[len]，说明a[i]接不上
但是我们发扬瞎搞精神：接的上要接，接不上创造条件也要接！

强行把a[i]塞进去：
在d中找到第一个小于a[i]的数，把它踹了，用a[i]代替它！(为什么正确在下面）

2.为什么正确
显然成立

如果y在末尾，由于y < a[i]，所以y后面能接的不如a[i]多，y让位给a[i]可以让序列更长

如果y不在末尾，那y有生之年都不会再被用到了，直接踹了y就行，y咋样，who care？

4.最快做法

3方法增加二分 查找

参考：导弹拦截 题解
P3902 递增

5、dp做法

#include<bits/stdc++.h>
#define intn long long
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<stack>
#define _0for(i, a) for(int i = 0; i < (a); ++i)
#define _1for(i, a) for(int i = 1; i <=(a); ++i)
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define debug(x) 
(void)(cerr << "L" << __LINE__
			<< " : " << #x << " = " 
			<< (x) << endl )
using namespace std;
int dp1[200];
int dp2[200];
main(void)
{
	//前边要求单调递增dp1  
	//后边要求单调递减dp2
	//dp求最长升dp[i]表示以i为结尾的升序列的长度 
	int n;
	cin>>n;

	int ans=0;
	int a[200];
	a[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	a[n+1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)//当前状态 
	{
		for(int j=0;j<i;j++)//上一个状态 
		{
			if(a[j]<a[i])
			dp1[i]=max(dp1[i],dp1[j]+1); 
		} 
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)//当前状态 
	{
		for(int j=n+1;j>i;j--)//上一个状态 
		{
			if(a[j]<a[i])
			dp2[i]=max(dp2[i],dp2[j]+1);
		} 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	//	debug(dp1[i]);
	//	debug(dp2[i]);
		ans=max(ans,dp1[i]+dp2[i]-1);
	}
	cout<<n-ans;
}