17.已知函数(f (x) = ln (x + 1) - frac{x}{x + 1}).
(1)求(f (x))的单调区间;
(2)求曲线(y = f (x))在点((1, f (1)))处的切线方程.
解:(1)函数(f (x) = ln (x + 1) - frac{x}{x + 1}), quad(f' (x) = frac{1}{x + 1} - frac{1}{(x + 1)^2}),
由(f' (x) > 0 Rightarrow x > 0); 由(f' (x) < 0 Rightarrow - 1 < x < 0);
所以(f (x))的单调增区间为(0,+{infty}),单调减区间为((- 1, 0) .)
(2)(f' (x) = frac{1}{x + 1} - frac{1}{(x + 1)^2}),
当(x = 1)时, (f' (1) = frac{1}{4})得切线的斜率为(frac{1}{4}),
所以(k = frac{1}{4});
所以曲线在点((1, f (1)))处的切线方程为:
(y - ln 2 + frac{1}{2} = frac{1}{4} imes (x - 1)), 即$x - 4 y + 4 ln 2
- 3 = 0$,
故切线方程为 (x - 4 y + 4 ln 2 - 3 = 0.)
解析
(1)先求出函数的定义域, 再求出函数的导数和驻点,
然后列表讨论, 求函数的单调区间和极值.
(2)欲求在点处的切线方程, 只须求出其斜率的值即可,
故先利用导数求出在处的导函数值, 再结合导数的几何
意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
18.已知(x, y)都是正实数, 且(x + y - 3 x y + 5 = 0).
(I)求(x y)的最小值; (II)求(x + y)的最小值
解(I)由题意知：(x + y = 3 x y - 5)
由于(x, y)均为正实数，
所以(x + y > 0) ,(x y > 0)
由于(x + y geqslant 2){sqrt{(x y)}}, 所以(3 x y - 5 geqslant 2 sqrt{x y})
令(sqrt{x y} = a), 则有(3 a^2 - 5 geqslant 2 a), 解得(a geqslant frac{5}{3}) ,
所以(x y geqslant frac{25}{9}),
(x + y = 3 x y - 5 geqslant frac{25}{3} - 5 = frac{10}{3})
所以(x y)的最小值是(25 / 9, x + y)的最小值是(frac{10}{3})
19.(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
表示，据统计，随机变量(xi)的概率分布如下：
{hspace{5em}}$ egin{array}{|c|c|c|c|c|}
hline
mstrong{ mname{}} msamp{} xi & 0 & 1 & 2 & 3
hline
p & a & 0.4 & 3 a & 0.2
hline
end{array}$
（I）求(a)的值和(xi)的数学期望；
（II）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,
求该企业在这两个
月内共被消费者投诉(4)次的概率.
解: (I)由概率分布的性质有(a + 0.4 + 3 a + 0.2 = 1)，解得(a = 0.1.)
(xi)的概率分布为$ egin{array}{|c|c|c|c|c|}
hline
mstrong{ mname{}} msamp{} xi & 0 & 1 & 2 & 3
hline
p & 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.2
hline
end{array}(，)xi(的数学期望为)E xi = 0 imes 0.1 + 1 imes 0.4 + 2
imes 0.3 + 3 imes 0.2 = 1.6$.
(II)设事件(A)表示两个月内共被消费者投诉(4)次事件，(A_i)表示两个月内有一个月
被投诉(i)次，另一个月被投诉(4 - i)次，则由事件的独立性得
(P (A_1) = C_2^1 imes 0.1 imes 0.2^{} = 0.04, P (A_2) = C_2^2 imes 0.2^2 = 0.04，)
(P (A) = P (A_1) + P (A_2) = 0.08.)
故该企业在这两个月内共被消费者投诉(4)次的概率为0.08.