2019.8.4刷题统计

第一题：1105

这道题极其简单。

AC代码：

第二题：1106

这道Dijkstra的模板题我竟然提交了三遍才过。但我的错误并不在Dijkstra里面，而是在主程序中的一些细节。

第一次提交：

看到上面红圈中的内容，就可以知道这份代码一定是会超时的了。

Dijkstra函数在每一次计算中都重复调用了2(p-1)次！

Dijkstra算法的时间复杂度是O(边数log₂点数)，所以我的代码时间复杂度就是O(n*2p*log₂(p)*q)，虽然n的数据范围没有给出，但是光是一个p*q的时间复杂度就接受不了（最大是2*10¹²），再乘上n和log₂(p)，大概就达到10¹⁴级别的复杂度了。

而这个上面程序中的算法有一个非常明显的优化：Dijkstra执行一遍可以知道一个点到其它所有点的距离，这样的话在循环中就只需要执行一次Dijkstra算法了。如果这样，时间复杂度会降为O(n*p*log₂(p)*q)，但这样优化只不过是一个常数优化，复杂度仍然只是比10¹⁴级别低一点的。

这个算法还可以以类似的形式继续优化：如果反向建边，那么从结点1~所有其他节点的最短路长度之和=原来没有反向建边时所有结点~结点1的最短路之和。

这样时间复杂度变为O(n*log₂(p)*q)，理论上时间复杂度可能是10⁸，但是n一般不会很大，所以在10⁷就能跑过了。

贴上第二份代码：

这份代码虽然在给定时间内执行完了，但是却还是错误的。

而这份代码的错误原因非常低级——竟然是因为没有初始化！

有些人可能认为外循环每执行一次进行一次clear或memset就行了，对于一般程序这样可以，但在这个程序中外循环每执行一次，Dijkstra算法却执行了两次，所以需要初始化两次（或者在函数中初始化也行）。

AC代码：

虽然这份代码不是最优的（比如可以在Dijkstra函数中初始化v数组），但它绝对是没问题的。

这道题标题上写着可以用SPFA和Dijkstra两种算法做，虽然SPFA很容易被卡（出题人可以专门造几个卡SPFA的数据），而且这道题也没有负边权，更没有负环，不过这道题中的图是一个稀疏图，而且这道题说了可以用SPFA，应该是没问题的。

SPFA的理论复杂度是O(k边数)，其中k为常数（每个节点平均入队次数），一般情况下大概在2左右，一般不会超过4。但是如果遇到出题人特意造卡SPFA的数据，k最大可以和点数相等，这个时候SPFA一般就不能通过（在这道题中复杂度为O(k*10⁶)，最坏情况下则是(10¹²）)。

这道题用SPFA算法也能AC。

AC代码：

这份代码主程序部分和Dijkstra基本相同，而函数就是SPFA模板，就不再加注释了。这道题中边权都是正的，所以不可能存在负环，就没判断负环。

在这道题中，SPFA算法无论是时间还是空间，都比Dijkstra要差，所以遇到没有负权的题目还是首选Dijkstra（一定要用堆优化）。