算法题9 动态规划之最长公共子序列&最长公共子串

题目

　　如果字符串1的所有字符按其在字符串中的顺序出现在另外一个字符串2中，则字符串1称之为字符串2的子序列。

　　注意，并不要求子子序列（字符串1）的字符必须连续出现在字符串2中。

　　请编写一个函数，输入两个字符串，求它们的最长公共子串，并打印出最长公共子序列。

　　例如：输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB，字符串BCBA和BDAB都是是它们的最长公共子序列，则输出它们的长度4，并打印任意一个子序列。

分析

　　本问题是典型的动态规划问题，子字符串的最优解为字符串提供了决策依据。有两个字符串str1和str2，设c[i,j]为子串str1[0-i]和str2[0-j]的最长公共子序列的长度，

　　如果str1[i]=str2[j]，则c[i,j]=c[i-1,j-1]+1;

　　如果str1[i]!=str2[j]，则c[i,j]要么等于str1[0,i-1]和str2[0,j]的最长公共子序列的长度，要么等于str1[0,i]和str2[0,j-1]的最长公共子序列的长度，取两者的最大值即是c[i,j]

　　如图一个示例

　　　　　　　　

　　状态转移方程：

　　c[0,j]=0;

　　c[i,0]=0;

　　c[i,j]=c[i-1,j-1]+1, 若str1[i]=str2[j];

　　c[i,j]=max{c[i-1,j],c[i,j-1]}

代码

int Lcslen(char* stra,char* strb,int** c)
{
    int len_a=strlen(stra);
    int len_b=strlen(strb);

    for(int i=1;i<=len_a;i++)
    {
        for(int j=1;j<=len_b;j++)
        {
            if(stra[i-1]==strb[j-1])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            }else
            {
                c[i][j]=(c[i][j-1]>c[i-1][j])?c[i][j-1]:c[i-1][j];
            }
        }
    }

    return c[len_a][len_b];
}

void lcs(char* stra,char* strb)
{
    if(stra==NULL||strb==NULL)
        return;
    int len_a=strlen(stra);
    int len_b=strlen(strb);
    int** c=new int*[len_a+1];
    for (int i=0;i<=len_a;i++)
    {
        c[i]=  new int[len_b+1]();
    }

    int k=Lcslen(stra,strb,c);

    char* lcs=new char[k];

    int i=len_a+1;
    int j=len_b+1;
    while(k>=0)
    {
        if(c[i][j]==c[i][j-1])
        {
            j--;
        }else if(c[i][j]==c[i-1][j])
        {
            i--;
        }else if(c[i][j]==c[i-1][j-1])
        {
            lcs[k--]=stra[i-1];
            i--;
            j--;
        }
    }

    for (int i=0;i<=len_a;i++)
    {
        delete[] c[i]; 
    }
    delete[] c;
}

动态规划之最长公共子串

　　本题和上题的区别是子串要求是连续的。那么当str1[i]!=str2[j]的时候，前面的公共子串到此结束，c[i,j]重新等于0，开始寻找下一个公共子串。

　　状态转移方程式变为：

　　c[0,j]=0;

　　c[i,0]=0;

　　c[i,j]=c[i-1,j-1]+1, 若str1[i]==str2[j];

　　c[i,j]=0, 若str1[i]!=str2[j]

　　最大子串长度max_dis=max{c[i][j]}

代码

int ContinuousLCS(char* stra,char* strb)
{
    if(stra==NULL||strb==NULL)
        return -1;

    int len_a=strlen(stra);
    int len_b=strlen(strb);

    //new space of int[][]
    int** c=new int*[len_a+1];
    for (int i=0;i<=len_a;i++)
    {
        c[i]=  new int[len_b+1]();
    }

    int max_dis=0,index=0;
    for(int i=1;i<=len_a;i++)
    {
        for(int j=1;j<=len_b;j++)
        {
            if(stra[i-1]==strb[j-1])
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            }else
            {
                c[i][j]=0;
            }

            if (max_dis<=c[i][j])
            {
                max_dis=c[i][j];
                index=i;
            }
        }

    }

    //output result
    for (int i=index-max_dis;i<index;i++)
    {
        cout<<stra[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;

    //free
    for (int i=0;i<=len_a;i++)
    {
        delete[] c[i]; 
    }
    delete[] c;

    return max_dis;
}