数论学习 算法模板（质数，约数）

今天看了一个前辈的模板挺好的 借鉴一下：https://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/51594851
https://blog.csdn.net/weixin_43093481/article/details/82229718
1.试除法判质数

bool is_prime(int n)
{
     if(n<2)return false;
     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
    if(ni==0)return flase;
    return true;
}
2.埃式筛


void prime(int n)
{ 
   memset(v,0,sizeof(v);
   for(int i=2;i<=n;i++)
  {
      if(!v[i])prime[++m]=i;
      for(int j=1;j<=n/i;j++)
       {
          v[i*j]=1;
       }
   }
}




3.线性筛法

const ll N = 1000000;
ll v[N],prime[N];

int inint(int n)
{
  int m=0;
  for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    if(!v[i])
    {
       v[i]=i;
       prime[++m]=i;
    }
    for（int j=1;j<=m;j++）
    {
       if(prime[j]>n/I||prime[j]>v[i])break;
         v[i*prime[j]]=prime[j];
    }
     }

}

4.试除法质因数分解


void divid(int n)
{
   m = 0;
   for(int i=2;i< = sqrt(n);i++)
   { 
     if(n%i)
      {
      p[++m]=i,c[m]=0;
      while(n%i==0)
     {
        n/=i;
        c[m]++;
     }
      }
   }
    if(n>1)
    p[++m]=n,
    c[m]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    cout <<p[i]<<" "<<c[i]<<endl;
}

5.求1~N每个数的正约数集合—————倍数法

vector<int>factor[500010];
   int n;
   cin >>n;
   for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=1;j<=n/i;j++)
     factor[i*j].push_back(i);
  }
     for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    for(intj=0;j<factor[i].size();j++)
         printf("%d ",factor[i][j]);
         puts(" ");
    }

6.更相减损术

适合于较大的数求最大公约数

若a>b:

gcd(a,b) = gcd(b,a-b) = gcd(a,a-b)

gcd(2a,2b) = 2gcd(a,b)

7.欧几里得算法

int gcd(int a，int b)
{
if (a < b)
swap(a, b);
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

9.欧拉函数
单个欧拉函数代码：
long long Euler( long long n ){

long long res = n;
for( long long i =2 ;i*i<=n;i++){

if( n %i == 0 ){
n/=i;
res = res - res/i;
}

while( n % i==0)
n/=i;

}
if( n > 1 )
res = res - res/n;
return res;
}
欧拉函数筛法：

for（int i=2;i<=N;i++)
euler[i]=i;
for(int i=2;i<=N;i++)
if(euler[i]==i)
for(int j=i;j<=n;j+=i)
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);

10.扩展欧几里得

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
d=a;
x=1;
y=0;
}
else
{
gcd(b,a%b,d,y,x);
y -=x*(a/b);
}
}

11.裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）
若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

12.

乘法逆元

看到一篇博客写的特别好，这里推荐一下

https://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595
什么叫乘法逆元？

a*x = 1（mod m）

这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1

看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0