图的基本概念

一、图的存储结构

图 1 图存储结构示意图

图 1 所示为存储 V1、V2、V3、V4 的图结构，从图中可以清楚的看出数据之间具有的"多对多"关系。例如，V1 与 V4 和 V2 建立着联系，V4 与 V1 和 V3 建立着联系，以此类推。

与链表不同，图中存储的各个数据元素被称为顶点（而不是节点）。拿图 1 来说，该图中含有 4 个顶点，分别为顶点 V1、V2、V3 和 V4。

图存储结构中，习惯上用 Vi 表示图中的顶点，且所有顶点构成的集合通常用 V 表示，如图 1 中顶点的集合为 V={V1,V2,V3,V4}。

注意，图 1 中的图仅是图存储结构的其中一种，数据之间 "多对多" 的关系还可能用如图 2 所示的图结构表示：

图 2 有向图示意图

可以看到，各个顶点之间的关系并不是"双向"的。比如，V4 只与 V1 存在联系（从 V4 可直接找到 V1），而与 V3 没有直接联系；同样，V3 只与 V4 存在联系（从 V3 可直接找到 V4），而与 V1 没有直接联系，以此类推。

因此，图存储结构可细分两种表现类型，分别为无向图（图 1）和有向图（图 2）。

1、图的基本常识

弧头和弧尾

有向图中，无箭头一端的顶点通常被称为"初始点"或"弧尾"，箭头直线的顶点被称为"终端点"或"弧头"。

入度和出度

对于有向图中的一个顶点 V 来说，箭头指向 V 的弧的数量为 V 的入度（InDegree，记为 ID(V)）；箭头远离 V 的弧的数量为 V 的出度（OutDegree，记为OD(V)）。拿图 2 中的顶点 V1来说，该顶点的入度为 1，出度为 2（该顶点的度为 3）。

(V1,V2) 和 <V1,V2> 的区别

无向图中描述两顶点（V1 和 V2）之间的关系可以用 (V1,V2) 来表示，而有向图中描述从 V1 到 V2 的"单向"关系用 <V1,V2> 来表示。

由于图存储结构中顶点之间的关系是用线来表示的，因此 (V1,V2) 还可以用来表示无向图中连接 V1 和 V2 的线，又称为边；同样，<V1,V2> 也可用来表示有向图中从 V1 到 V2 带方向的线，又称为弧。

集合 VR 的含义

并且，图中习惯用 VR 表示图中所有顶点之间关系的集合。例如，图 1 中无向图的集合 VR={(v1,v2),(v1,v4),(v1,v3),(v3,v4)}，图 2 中有向图的集合 VR={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。

路径和回路

无论是无向图还是有向图，从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径。如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为"回路"（或"环"）。

并且，若路径中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径"；同样，若回路中的顶点互不重复，此回路被称为"简单回路"（或简单环）。

拿图 1 来说，从 V1 存在一条路径还可以回到 V1，此路径为 {V1,V3,V4,V1}，这是一个回路（环），而且还是一个简单回路（简单环）。

在有向图中，每条路径或回路都是有方向的。

权和网的含义

在某些实际场景中，图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网。如图 3 所示，就是一个网结构：

图 3 带权的图存储结构

子图：指的是由图中一部分顶点和边构成的图，称为原图的子图。

2、图存储结构的分类

根据不同的特征，图又可分为完全图，连通图、稀疏图和稠密图：

完全图

若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为完全图（如图 4a)）。同时，满足此条件的有向图则称为有向完全图（如图 4b)）。

图 4 完全图示意图

• 具有 n 个顶点的完全图，图中边的数量为 n(n-1)/2

• 而对于具有 n 个顶点的有向完全图，图中弧的数量为 n(n-1)

稀疏图和稠密图

稀疏图和稠密图：这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为"稀疏图"；反之，则称此图为"稠密图"。

稀疏和稠密的判断条件是：e<nlogn，其中 e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量。如果式子成立，则为稀疏图；反之为稠密图。

二、连通图和强连通图

上文说到，图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是连通着的。例如下图 1 中，虽然 V1 和 V3 没有直接关联，但从 V1 到 V3 存在两条路径，分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此称 V1 和 V3 之间是连通的。

图 1 顶点之间的连通状态示意图

1、连通图

无向图中，如果任意两个顶点之间都能够有连通，则称此无向图为连通图。例如，下图 2 中的无向图就是一个连通图，因为此图中任意两顶点之间都是有连通的。

图 2 连通图示意图

若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。

由图中部分顶点和边构成的图为该图的一个子图，但这里的子图指的是图中"最大"的连通子图（也称"极大连通子图"）。

如图 3 所示，虽然图 3a) 中的无向图不是连通图，但可以将其分解为 3 个"最大子图"（图 3b)），它们都满足连通图的性质，因此都是连通分量。

图 3 连通分量示意图

提示，图 3a) 中的无向图只能分解为 3 部分各自连通的"最大子图"。

注意：连通分量的提出是以"整个无向图不是连通图"为前提的，因为如果无向图是连通图，则其无法分解出多个最大连通子图，因为图中所有的顶点之间都是连通的。

2、强连通图

有向图中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通，也就是都含有至少一条通路，则称此有向图为强连通图。如图 4 所示就是一个强连通图。

图 4 强连通图

与此同时，若有向图本身不是强连通图，但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质，则称该子图为强连通分量。

图 5 强连通分量

如图 5 所示，整个有向图虽不是强连通图，但其含有两个强连通分量。

3、总结

可以这样说，连通图是在无向图的基础上对图中顶点之间的连通做了更高的要求；而强连通图是在有向图的基础上对图中顶点的连通做了更高的要求。

三、生成树和生成森林

1、生成树

对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为生成树。

图 1 连通图及其对应的生成树

如图 1 所示，图 1a) 是一张连通图，图 1b) 是其对应的 2 种生成树。

连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的方式有多种，往往一张连通图可能有多种不同的生成树与之对应。

连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：

• 包含连通图中所有的顶点；

• 任意两顶点之间有且仅有一条通路；

因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。

2、生成森林

生成树是对应连通图来说，而生成森林是对应非连通图来说的。

我们知道，非连通图可分解为多个连通分量，而每个连通分量又各自对应多个生成树（至少是 1 棵），因此与整个非连通图相对应的，是由多棵生成树组成的生成森林。

图 2 非连通图和连通分量

如图 2 所示，这是一张非连通图，可分解为 3 个连通分量，其中各个连通分量对应的生成树如图 3 所示：

图 3 生成森林

注意：图 3 中列出的仅是各个连通分量的其中一种生成树。

因此，多个连通分量对应的多棵生成树就构成了整个非连通图的生成森林。