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  • 对dy和Δy的浅薄理解

    一、导数定义

    当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)df(x0)/dx

    二、微分定义

    设函数y= f(x),若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx),其中A为不依赖Δx的常数,ο(Δx)是Δx的高阶无穷小。则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分线性部分),记作dy,即dy=A×Δx,当x= x0时,则记作 (dy∣x=x_0)

    三、dy和Δy比较大小

    1、题目由来

    以后记住了但凡遇见f(a)-f(b)就往拉格朗日中值定理靠

    2、表示含义

    Δy是一个区间Δx上的y的差值;

    dy表示的是区间上Δx切线的差值

    3、几何表示

    4、凹凸函数比较大小

    (1)判别凹凸函数

    (2)比较

    比较dy与Δy的大小就是要看高阶无穷小o(dx)的符号。对于一般的函数f(x),o(dx)的符号不一定,无法比较。凹函数Δy>dy凸函数Δy<dy。 (这里的大小包含正负,指的是单纯的数值大小,而不是长度 ,比如Δy=-5,dy=-6,虽然长度上5<6,但因为需要包括正负号,所以Δy>dy)

    (3)案例:

    四、一道定义题目

    五、可导可微充分必要证明

    (1)可导推可微

    (2)可微推可导

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