高数基础知识整理2.极限

二、极限

1、极限的定义

• ① 数列极限的定义
  对于数列{X_n}，常数a，若对∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<ε，则称a为{x_n}的极限，或者称{x_n收敛于a}，记为 $$limlimits_{x o ∞ }x_n=a$$

• ② 当 x→∞时 f(x)的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃正数X，当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→∞时的极限，记为 $$limlimits_{x o ∞ }f(x)=A$$

• ③ 当 x→x₀(x₀为有限值) f(x)的极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的极限，记为 $$limlimits_{x o x_0 }f(x)=A$$

• ④ 当 x→x₀时 (x₀为有限值) f(x)的左右极限
  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<x-x₀<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的右极限，记为

  [limlimits_{x o x_0^+ }f(x)=A或f(x_0+0)=A ]

  若存在常数A，∀ε>0，∃δ>0，当0<x₀-x<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→x₀时的左极限，记为

  [limlimits_{x o x_0^- }f(x)=A或f(x_0-0)=A ]

2、数列极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果{x_n}收敛，那么它的极限唯一。
• ② 收敛数列的有界性
  如果{x_n}收敛，那么{x_n}一定有界。
• ③ 收敛数列的保号性
  如果 $$limlimits_{n o infty }x_{n}=a$$ ，且a>0(或a<0)，那么∃正整数N，当n>N时，都有x_n>0(或x_n<0)。
  • 推论1
    如果 $$limlimits_{n o infty }x_{n}=a $$ , $$limlimits_{n o infty }y_{n}=b $$ ，且a>b，那么∃正整数N，当n>N时，x_n>y_n。
  • 推论2
    如果∃正整数N，当n>N时，x_n≥0(或x_n/≤0)，$$limlimits_{n o infty }x_{n}=a $$，那么a≥0(或a≤0)。
• ④ 收敛数列与其子数列间的关系
  如果{x_n}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

3、函数极限的基本性质

• ① 极限的唯一性
  如果 $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=A$$ ， $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=B$$ ，那么A=B。
• ② 函数极限的局部有界性
  如果 $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=A$$ ，那么∃δ>0，f(x)在{x|0<|x-x₀|<δ}内有界。
• ③ 函数极限的局部保号性
  如果 $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=A$$ ，而且A>0(或A<0)，那么∃常数δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0)。
  如果在x0的某空心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且 $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=A$$ ，那么A≥0(或A≤0)；
• ④ 函数极限与数列极限的关系
  如果 $$limlimits_{x o x_{0} }f(x)=A$$ 存在，{x_n}为f(x)的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足x_n≠x₀，那么 $${f(x_n)}$$必收敛，且 $$limlimits_{n o ∞}f(x_n)=A$$ 。
• ⑤ 复合函数的极限
  设y=f(u)在点u=a处连续，又 $$limlimits_{x o x_{0} }φ(x)=a$$ ，则 $$limlimits_{x o x_{0} }f[φ(x)]=f(a)$$ 。

4、无穷小量与无穷大量

4.1 定义

• 无穷小量
  如果 $$lim f(x)=0(x→x_0 或 x→∞)$$ ，那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷小量。
• 无穷大量
  如果 $$lim f(x)=∞(x→x_0 或 x→∞)$$ ，那么称函数f(x)为(当x→x0或x→∞时的)无穷大量。

4.2 性质

• 性质 1
  [lim f(x)=A Leftrightarrow A+α(x) ，其中α(x)是(x→x0或x→∞)无穷小量 ]
  有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
  有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量；
  无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量；

4.3 无穷小量的比较

设在自变量x的同一变化过程中(如x→x0或x→∞)， α(x)，β(x) 都是无穷小：
如果 $$limfrac{α(x)}{β(x)}=0$$ ，则称α(x)是β(x)的 高阶无穷小 ，记作 $$α(x)=ο(β(x))$$ 。

如果 $$limfrac{α(x)}{β(x)}=∞$$ ，则称α(x)是β(x) 的 低阶无穷小 。

如果 $$limfrac{α(x)}{β(x)}=c(c≠0)$$ ，则称α(x)与β(x)是 同阶无穷小 。

如果 $$limfrac{α(x)}{β(x)}=1$$ ，则称α(x)与β(x)是 等阶无穷小 ，记作 $$α(x)∼β(x)$$ 。

如果 $$limfrac{α(x)}{β(x)^{k}}=c(c≠0)$$，则称α(x)是β(x)的 k阶无穷小 。

• 等价无穷小替换定理
  设在自变量x的同一变化过程中, α1(x) ， α2(x) ， β1(x) ， β2(x) 都是无穷小，而且α1(x) ~ α2(x)，β1(x) ~ β2(x)，如果 $$limfrac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ ，则 $$limfrac{α_{1}(x)}{β_{1}(x)}=limfrac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ 。

4.4 常用等价无穷小

当x→0时，有

[sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼e^x−1∼ln(1+x)∼x ]

[1−cosxsim frac{1}{2}x^{2} ]

[a^x−1∼xlna ]

((1+x)^m−1∼mx)

5、极限的四则运算

6、极限存在的判别方法

• ① 单调有界定律
  单调增加(或单调减小)且有上界(或有下界)的数列{x_n}必有极限
• ② 夹迫定律
  如果数列{x_n}，{y_n}，{z_n}满足下列条件：y_n≤x_n≤z_n(n=1,2,⋅⋅⋅) $$limlimits_{n o infty }y_{n}=a，limlimits_{n o infty }z_{n}=a$$ ，那么数列{x_n}的极限存在，且 $$limlimits_{n o infty }x_{n}=a$$