常见规则网络

三种常见的规则网络:全局耦合网络( Globally coupled network)、最近邻耦合网络( Nearest-neighbor coupled network)和星形耦合网络( Star coupled network)，如下所示：

1.全局耦合网络

如果一个网络中的任意两个节点之间都有边直接相连,那么就称该网络为一个全局耦合网络,简称全耦合网络。

规模不大的组织内部成员一般都相互认识,因此,如果我们定义两个相互认识的人之间有一条边,那么这些成员就构成了一个全耦合网络。例如,如果你是学生,那么你所在班级的所有同学就构成一个全耦合网络。但是,当一个组织规模大到一定程度之后,要使得所有成员之间都相互认识就变得极为困难甚至不可能了。例如,如果你在一所大学学习或工作,显然一般说来你不可能与这所大学的每一个人都相互认识。对于技术网络也存在同样的问题:如果一个通信网络中只有5个节点,那么在每两个节点之间都通过光纤等介质直接相连还是可以实现的;而对于今天的互联网,如果想要在任意两个路由器之间都直接物理相连就无异于天方夜谭了。

这些例子说明,要想构建和维护一个大规模的全耦合网络的成本是极其高昂的。例如,你即使每天其他什么事都不干,只在校园里面去认识人,那么要与校园里数以万计的人中的每一个都认识和交流,你所需花的时间也是难以想象的。这也反映了全耦合网络作为实际网络模型的局限性:大型实际网络一般都是稀疏的,它们的边的数目一般至多是O(N)而不是O(N²)。

另一方面,尽管从全局看大规模实际网络具有稀疏性,但是,网络中可能会存在不少稠密的甚至是全耦合的子图。为了有一个直观的感觉,下图给出了 Twitter上168个用户之间的稠密的关注关系：

基本拓扑性质：

N个节点构成的全耦合网络中有N(N-1)/2条边。在具有相同节点数的所有网络中,全耦合网络具有最多的边数、最大的聚类系数C_gc=1和最小的平均路径长度L_gc=1。

2.最近邻耦合网络

如果在一个网络中,每一个节点只和它周围的邻居节点相连,那么就称该网络为最近邻耦合网络。这是一个得到大量研究的稀疏的规则网络模型。

常见的一种具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含围成一个环的N个节点,其中每个节点都与它左右各K/2个邻居点相连,这里K是一个偶数(图(b))。例如,在做体育游戏或者跳舞等集体运动时,所有人手牵手排成一个长队或者围成一圈,从而形成一个最近邻耦合网络,其中的边定义为两个人之间有直接的接触(图(a))。传感器网络和机器人网络等许多技术网络中的节点也具有最近邻耦合的特征(图(b)):只有当两个节点之间的距离在传感器可以感知的范围内时,这两个节点之间才可以直接通信。这类网络的一个重要特征就是网络的拓扑结构是由节点之间的相对位置决定的,随着节点位置的变化网络拓扑结构也可能发生切换。

基本拓扑性质：

聚类系数:我们采用基于网络中三角形数量的聚类系数的定义来计算最近邻耦合网络【参考-三种规则网络(b)】的聚类系数。假设N充分大,K是一个与N无关的常数并且K<<N。首先注意这样一个事实:网络中任意一个三角形都可以看做是从一个节点出发,先沿着同一个方向(不妨取为顺时针方向)走两条边,然后再沿着反方向(逆时针方向)走一条边而形成的。由于反方向的边的最大的跨度为K/2,从一点出发的三角形的数量就等于从K/2个节点中选取2个节点的组合数,即为：

另一方面,网络中以任意一个节点为中心的连通三元组的数目为：

于是,最近邻耦合网络的聚类系数为：

平均路径长度:网络中一个节点能在一步到达的最远的节点与该节点的格子间距为K/2。两个格子间距为m的节点之间的距离为「2m/K⌉,即不小于2m/K的最小整数。该网络的平均路径长度为：

对固定的K值,当N→∞时,L_nc→∞。这可以从一个侧面帮助解释为什么在这样一个局部耦合的网络中很难实现需要全局协调的动态过程(如同步化过程)。

3.星形耦合网络

这是另外一个常见的规则网络,它有一个中心点,其余的N-1个点都只与这个中心点连接,而它们彼此之间不连接。这个模型也可推广到具有多个中心的情形。

如果一个实验室的个人电脑都连接到一个公共的服务器上,那么就形成了以该服务器为中心的一个星形网络。在社会网络中,我们也会看到一个团体中以一个人或者少数几个人为中心的例子。

基本拓扑性质：

聚类系数：

这是因为中心节点的N-1个邻居节点之间互不相连,从而中心节点的聚类系数为0。其他每一个节点只有一个邻居节点,在此情形,规定节点的聚类系数也为0。

平均路径长度：