算法设计与分析——背包问题求解

假设，有4个体积分别为2,3,5,6；价值分别为3,4,5,7的物品；背包容量为11。求解下列背包问题。

1、简述0-1背包问题，给出此问题求解问题

问题描述：

设U={u₁，u₂，...u_n}是一个准备放入容量为C的背包中n项物品的集合，0-1背包问题是用U中的一些物品来装满背包，这些物品的总体积不超过C，然而需要使它们的总价值最大。

S 体积：2,3,5,6

V 价值：3,4,5,7

C 容量：11

n 物品总数：4

关系递推式如下：

自下而上填表法：

①创建表格并为了防止越界补0

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0

②当i=1时，此时S_i=2，V_i=3

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
2	0
3	0
4	0

③当i=2时，此时S_i=3，V_i=4

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7	7	7	7
3	0
4	0

④当i=3时，此时S_i=5，V_i=5

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7	7	7	7
3	0	0	3	4	4	7	7	8	9	9	12	12
4

⑤当i=4时，此时S_i=6，V_i=7

i\j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
2	0	0	3	4	4	7	7	7	7	7	7	7
3	0	0	3	4	4	7	7	8	9	9	12	12
4	0	0	3	4	4	7	7	8	10	11	12	14

可得出选得的物品最大价值为14。

2、简述分数背包问题，给出此问题的求解过程

问题描述：

分数背包问题是在背包问题的限制内将物品装满背包，使其物品的总价值最大。不同之处在于，可以装入一件物品的一部分。首先装入V_i/S_i最大的物品，若V_i/S_i < S，则装入V_i/S_i第二大的物品，以此类推，将背包装满为止。若V_i/S_i > S时，可以只装入该物品的一部分，直至装满背包。（V_i为第i个物品的价值，S_i为第i个物品的体积 ）

S 体积：2,3,5,6

V 价值：3,4,5,7

C 容量：11

n 物品总数：4

number	1	2	3	4
Si	2	3	5	6
Vi	3	4	5	7
Vi/Si	1.5	1.34	1	1.16

按照比例，从大到小依次放入背包

①

∵V₁/S₁=3/2=1.5

∴将物品1装入背包

此时，背包剩余空间为11-2=9，价值为0+3=3

②

∵V₂/S₂=4/3=1.34

∴将物品2装入背包

此时，背包剩余空间为9-3=6，总价值为3+4=7

③

∵V₄/S₄=7/6=1.16

∴将物品4装入背包

此时，背包剩余空间为6-6=0，总价值为3+4+7=14

可得出选得的物品最大价值为14。