算法设计与分析——最长公共子序列问题

题目描述：

简述最长公共子序列问题及求解方法。

设两个长度为n和m的字符串A和B

A=a₁,a₂,...a_n

B=b₁,b₂,...b_n

令L[i,j]表示a₁,a₂,...a_i和b₁,b₂,...b_j的最长公共子序列的长度，则A和B最长公共子序列的关系递推式为：

例如，Z={b,c,d,b}是序列X={a,b,c,b,d,a,b}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定2个序列X和Y，当另一个序列Z即是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

例题：

		B	z	x	y	y	z	x	z
		0	1	2	3	4	5	6	7
A	0	0	0	0	0	0	0	0	0
x	1	0	0	1	1	1	1	1	1
z	2	0	1	1	1	1	2	2	2
y	3	0	1	1	2	2	2	2	2
z	4	0	1	1	2	2	3	3	3
z	5	0	1	1	2	2	3	3	4
y	6	0	1	1	2	3	3	3	4
x	7	0	1	2	2	3	3	4	4

最长公共子序列：

xyzz
zyzz

代码实现（根据递推式记忆）

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int L[][MAXLEN])
{
    //字符串x长度为m，字符串y长度为n，L中存放最长公共子序列长度
    int i,j;
    for(i=0;i<=m;i++)
        L[i][0]=0;
    for(j=1;j<=n;j++)
        L[0][j]=0;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(x[i]==y[i])
            {
                L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;  //记忆
            }
            else if(x[i]!=y[i])  //记忆
            {
                L[i][j]=L[i-1][j];
            }
            else
            {
                L[i][j]=L[i][j-1];
            }
        }
    }
    return L[m][n];  //记忆
}