【CCF CSP 2017-03-15】【Hard】引水入城II 动态规划

试题编号：	201703-5
试题名称：	引水入城
时间限制：	2.0s
内存限制：	512.0MB

 

　　MF城建立在一片高原上。由于城市唯一的水源是位于河谷地带的湖中，人们在坡地上修筑了一片网格状的抽水水管，以将湖水抽入城市。如下图所示：



　　这片管网由 n 行 m 列节点（红色，图中 n = 5，m = 6），横向管道（紫色）和纵向管道（橙色）构成。
　　行和列分别用 1 到 n 的整数和 1 到 m 的整数表示。第 1 行的任何一个节点均可以抽取湖水，湖水到达第 n 行的任何一个节点即算作引入了城市。
　　除第一行和最后一行外，横向相邻或纵向相邻的两个节点之间一定有一段管道，每一段管道都有各自的最大的抽水速率，并需要根据情况选择抽水还是放水。对于纵向的管道（橙色），允许从上方向下方抽水或从下方向上方放水；如果从图中的上方向下方抽水，那么单位时间内能通过的水量不能超过管道的最大速率；如果从下方向上方放水，因为下方海拔较高，因此可以允许有任意大的水量。对于横向的管道（紫色），允许从左向右或从右向左抽水，不允许放水，两种情况下单位时间流过的水量都不能超过管道的最大速率。
　　现在MF城市的水务负责人想知道，在已知每个管道单位时间容量的情况下，MF城每单位时间最多可以引入多少的湖水。

输入格式

　　由于输入规模较大，我们采用伪随机生成的方式生成数据。
　　每组数据仅一行包含 6 个非负整数 n, m, A, B, Q, X₀。其中，n 和 m 如前文所述，表示管网的大小，保证 2 ≤ n, m ≤ 5000；保证 1 ≤ A, B, Q, X₀ ≤ 10⁹。
　　A, B, Q, X₀ 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 { X_i }：
　　X_i+1 = ( AX_i + B) mod Q, (i ≥ 0)
　　我们将数列的第 1 项到第 (n-1)m 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 X_(s-1)m+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s+1 行第 t 列管道单位时间的容量；将数列的第 (n-1)m+1 项到第 (n-1)m+(n-2)(m-1) 项（即接下来的 (n-2)(m-1) 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 X_{(n-1)m+(s-2)(m-1)+t} 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s 行第 t+1 列管道单位时间的容量。

输出格式

　　输出一行一个整数，表示MF城每单位时间可以引入的水量。
　　注意计算过程中有些参数可能超过32位整型表示的最大值，请注意使用64位整型存储相应数据。

样例输入

3 3 10 3 19 7

样例输出

38

样例说明

　　使用参数得到数列 { X_i }={ 7, 16, 11, 18, 12, 9, 17, 2, 4, … }，按照输入格式可以得到每个管道的最大抽水量如下图所示：
　　在标准答案中，单位时间可以引水 38 单位。所有纵向管道均向下抽水即可，不需要横向管道抽水，也不需要向上放水。

样例输入

2 5 595829232 749238243 603779819 532737791

样例输出

1029036148

样例输入

5 2 634932890 335818535 550589587 977780683

样例输出

192923706

样例输入

5 5 695192542 779962396 647834146 157661239

样例输出

1449991168

评测用例规模与约定

　　共有10组评测数据，每组数据的参数规模如下所示：

测试点编号	n	m
1	=2	=1000
2	=1000	=2
3	=1000	=2
4	=5	=5
5	=10	=10
6	=100	=100
7	=500	=500
8	=1000	=1000
9	=2000	=2000
10	=5000	=5000

 

评测题解

这个题目也叫引水入城, 参考之前的引水入城I.https://www.cnblogs.com/wangzming/p/11466611.html

与之前的题目不同，之前的传输是以方格为单位，相邻的格子传输的,

而当前的传输就是点到点，方格本身不是城市。

 

根据这个题目的信息，也许可以用Ford-Fulkerson/Dicnic/EK算法求最大流，很可惜这个题目是反套路的，

因为它的结构太规整了，以至于不需要建图求最大流。另外它的边数大概是E=O(2 * V)，O(VE)达到了计算上限。

用动态规划，求每条边受到的限制，最后也是用动态规划（其实就是计算有约束的最小值的和）。

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include <cstdio>
const int maxn = 5000;
const long long inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int n,m,A,B,Q,X0,col[maxn][maxn],row[maxn][maxn];
long long dp[maxn],v;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B,&Q,&X0);
    // build the graph
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
        for (int j = 0; j < m; ++j)
            col[j][i] = X0 = ((long long)A*X0+B)%Q;
    for (int i = 1; i <= n - 2; ++i)
        for (int j = 0; j < m - 1; ++j)
            row[j][i] = X0 = ((long long)A*X0+B)%Q;
    /* the graph is marked as:
    cols: |    |    |    |    (i,j) = (0... n - 1, 0...m-1)
    rows:  ____ ____ ____     (i,j) = (1... n - 2, 0...m-2)
    */
    // compute the cap limit of col
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
        dp[i] = col[0][i];
    // the limit of col + row
    for (int i = 1; i < n - 1; ++i) {
        v = dp[i - 1] + row[0][i];
        dp[i] = dp[i] < v ? dp[i] : v;
    }
    for (int i = n - 3; i >= 0;--i) {
        v = dp[i + 1] + row[0][i + 1];
        dp[i] = dp[i] < v ? dp[i] : v;
    }
    // the sum of each col(with limit)
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        for (int j = 0; j < n - 1; ++j)
            dp[j] += col[i][j];
        for (int j = 1; j < n - 1; ++j) {
            v = dp[j - 1] + row[i][j];
            dp[j] = dp[j] < v ? dp[j] : v;
        }
        for (int j = n - 3; j >= 0; --j) {
            v = dp[j + 1] + row[i][j + 1];
            dp[j] = dp[j] < v ? dp[j] : v;
        }
    }
    long long res = inf;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
        res = res < dp[i] ? res : dp[i];
    printf("%I64d
",res);
    return 0;
}

References:

CCF认证系统 http://118.190.20.162/view.page?gpid=T53

CCF CSP 201703-5 引水入城 (100分) https://blog.csdn.net/u013944294/article/details/79620059