【USACO 2.3.4】Cow Tours 牛的旅行

题目描述

农民 John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧场通过任何路径都不连通。这样，Farmer John就有多个牧场了。

John想在牧场里添加一条路径(注意，恰好一条)。对这条路径有以下限制：

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离(本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离)。考虑如下的有5个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：

 
               (15,15) (20,15)
                  D       E
                  *-------*
                  |     _/|
                  |   _/  |
                  | _/    |
                  |/      |
          *-------*-------*
          A       B       C
      (10,10)  (15,10) (20,10)

这个牧场的直径大约是12.07106, 最远的两个牧区是A和E，它们之间的最短路径是A-B-E。

这里是另一个牧场：

                           *F(30,15)
                         _/ 
                       _/  
                     _/    
                    /      
                   *-------* 
                   G       H
                (25,10) (30,10)

添加C至G一条路径后便是：

        (15,15)  (20,15)        (30,15)
           D       E               F
           *-------*               *
           |     _/|             _/
           |   _/  |           _/
           | _/    |         _/  
           |/      |        /    
   *-------*-------*-------*-------*    
   A       B       C       G       H
(10,10) (15,10) (20,10) (25,10) (30,10)

整个牧场直径约为22.071068。 在目前的情景中，他刚好有两个牧场。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

输入文件包括牧区、它们各自的坐标，还有一个如下的对称邻接矩阵：

　 A  B  C  D  E  F  G  H 
A  0  1  0  0  0  0  0  0
B  1  0  1  1  1  0  0  0
C  0  1  0  0  1  0  0  0
D  0  1  0  0  1  0  0  0
E  0  1  1  1  0  0  0  0
F  0  0  0  0  0  0  1  0
G  0  0  0  0  0  1  0  1
H  0  0  0  0  0  0  1  0

其他邻接表中可能直接使用行列而不使用字母来表示每一个牧区。输入数据中不包括牧区的名字。

输入文件至少包括两个不连通的牧区。

请编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，这个更大的新牧场有最小的直径。输出在所有牧场中最小的可能的直径。

第1行: 一个整数N (1 <= N <= 150), 表示牧区数

第2到N+1行: 每行两个整数X,Y (0 <= X ,Y<= 100000), 表示N个牧区的坐标。注意每个 牧区的坐标都是不一样的。

第N+2行到第2*N+1行: 每行包括N个数字(0或1) 表示如上文描述的对称邻接矩阵。

只有一行，包括一个实数，表示所求直径。数字保留六位小数。

只需要打到小数点后六位即可，不要做任何特别的四舍五入处理。

SAMPLE INPUT

8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010

SAMPLE OUTPUT

    22.071068

题解

1. 朴素的想法：Floyd 算法求各个节点间的距离，不同的连通分支(即内部的牧区能够互达的区域)间通过枚举连接后更改了拓扑结构，再应用Floyd 求得最大距离，该算法的复杂度是O(N^5), N 可以是150，超时。

2. 优化方法：

    2.1 片区内的节点互联没有意义，因为要求是片区间连接一条路。所以一开始通过并查集将连通分支划分好, 去掉片区内的互联。

    2.2 Floyd 算法计算所有片区内的直径, 复杂度O(N^3), 之后再在枚举的过程中计算相连后的大片区直径, 这样可以简单地更新大片区的直径，不需要在枚举过程中再次使用Floyd算法。

    2.3 以上是参考foreverpiano的。

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 2000000
#define maxn 200
using namespace std;
double minum=inf;
int x[maxn],y[maxn];
int  Map[maxn][maxn];
double dis[maxn][maxn],mdis[maxn];
int pre[maxn];
int n;

double Dis(int i,int j) {
    return (sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j])));
}

void init() {
    cin >> n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      cin>>x[i]>>y[i];
      char c;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=1;j<=n;j++)
      {
         cin>>c;
         if (c=='1')
            dis[i][j]=Dis(i,j);
         else dis[i][j]=inf;
         if (i==j) dis[i][j]=0;
     }
}

int Find(int x) {//会替换的Find
    return pre[x]==x?x:pre[x]=Find(pre[x]);
}

int merge(int x,int y) {
    int fx=Find(x),fy=Find(y);
    if (pre[fx]!=fy) {
        pre[fx]=fy;
        return 1;
    }
    return 0;
}

void Disjoint() {
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        pre[i]=i;
    }
    int count=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (int j=1;j<=n;j++) {
            if (dis[i][j]&&dis[i][j]!=inf) {
                merge(i,j);
            }
         }
    }
}


int find(int x) {//不会替换值find
    return pre[x]==x?x:find(pre[x]);
}


void Floyd() {
    for (int k=1;k<=n;k++) {
       for (int i=1;i<=n;i++)
       {
           if (find(k)==find(i))
           {
            for (int j=1;j<=n;j++)

                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
             }
       }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
         if (dis[i][j]>mdis[i]&&dis[i][j]!=inf)
           mdis[i]=dis[i][j]; // i 所在连通分支的最大直径
}

int create() {
    double Swap;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        if (dis[i][j]==inf)
        {
            Swap=mdis[i]+Dis(i,j)+mdis[j];
            if (Swap<minum)
            minum=Swap;
        }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (mdis[i]>minum)
        minum=mdis[i];
}

int main() {
    init();
    Disjoint();
    Floyd(); //求出i连通分支的牧场的最长的距离。
    create();
    printf("%.6f",minum);
    return  0;
}

References

http://www.cnblogs.com/foreverpiano/p/6903288.html