1、二分类问题
在以前的博客中，我们介绍了用于处理二分类问题的Logistic Regression算法和用于处理多分类问题的Softmax Regression算法，典型的二分类问题，如图：
对于上图的二分类问题中，“.”表示的是正类，“。”表示的是负类。我们试图寻找到图中的分隔平面，能够分隔图中的正负样本，其中，分隔超平面为：
最终的到的分类决策函数：
其中，函数sign（x）为符号函数：
其中，当W*X+b*>0，时为正类。当W*X+b*<0时，为负类。
2、感知机算法
对于二分类问题，假设有m个训练样本{（X（1），y（1）），（X（2），y（2）），.......，（X（m），y（m））}其中，y∈{-1,1}。那么，应该如何从训练中的到分隔超平面W*X+b*=0？
在感知机算法中直接使用通误分类的样本到分隔超平面之间的距离作为其损失函数，并利用梯度下降法求得误分类函数额极小值，得到最终的分隔超平面。
设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为（Xo，Yo），则点 P 到直线 L 的距离为：
对于训练样本点X（i），其到分隔超平面的距离S为：
其中
为W的L2范数，样本点X（i）到分隔超平面的距离S如图：
在训练样本中，对于误分类的样本（X（1），y（1）），即预测值WX（i）+b与真实值y（i）异号，即：
则误分类样本到分隔超平面之间的距离为：
若不考虑
，即为感知机算法的损失函数，感知机算法的损失函数为：
通过求感知机损失函数的最小值
求得最终的分隔超平面。
2.1、感知机算法存在的问题
在感知机算法中，通过最小化误分类样本到分隔超平面的距离，求得最终的分隔超平面，但是对于感知机算法来说，分隔超平面参数W和b的初始值和选择误分类样本的顺序对最终的分隔超平面的计算都有影响，采用不同的初始化值或者不同的误分类点，最终的分隔超平面是不同的，如下图可以分隔除不同的超平面：
在图中的两个分隔超平面都能将正负样本区分开，对于感知机模型，采用不同的初始值或者不同的误分类点，最终的分隔超平面不同，在这些分隔超平面中是否存在一个最好的分隔超平面？
2.2、函数间隔和几何间隔
一般来讲，一个样本点距离分隔超平面的远近可以表示分类预测的确信度，在下图中样本点A离分隔超平面最远，若预测其为正类，就比较确信该预测是正确的；而样本点C离分隔超平面最远，若预测其为正类，就不是那么确信。为了能过表示分类预测的确信程度，我们分别定义函数间隔
函数间隔：
在感知机模型中，我们注意到分隔超平面W*X+b确定的情况下，
可以相对地表示样本点X（i）距离分隔超平面的远近，而当预测W*X（i）+b和样本标签y（i）同号时，表明最终分类是正确的，因此，可以使用y（i）*(W*X（i）+b)来表示分类的正确性和确信度，这便是函数间隔的定义。
对于给定额训练集{（X（1），y（1）），（X（2），y（2）），.......，（X（m），y（m））}和分隔超平面，定义隔超平面关于样本点（X（i），y（i））的函数间隔为：
同时，定义分隔超平面关于训练数据集的函数为分隔超平面关于训练集中所有样本点的函数间隔的最小值：
函数间隔可以表示分类预测的正确性和确定性。但是，在分隔超平面，如果其参数W和b同时扩大为原来点额2倍，这对于分隔超平面来说，并没有任何改变，但是对于函数间隔
来说，即扩大为原来的2倍。为了解决这个问题，我们引入几何间隔。
几何间隔：
为了能够使得间隔是一个确定值，可以对非分隔超平面的参数W加上默写约束，如归一化
。在上面的图中，对于样本X（i），其到分隔超平面之间的距离S为：
而当W*X（i）+b和样本标签y（i）同号时，表示预测正确，则样本X（i）到分隔超平面之间的距离S可以表示为：
这便是几何间隔的定义。
对于给定的训练集{（X（1），y（1）），（X（2），y（2）），.......，（X（m），y（m））}和分隔超平面，定义分隔超平面关于样本点（X（i），y（i））的几何间隔为：
同时，定义分隔超平面关于训练数据集的几何间隔为分隔超平面关于训练集中所有样本点的几何间隔的最小值：
从上面的定义不难发现，几何间隔其实就是样本到分隔超平面的距离，对于几何间隔和函数间隔，有如下关系：
3、支持向量机
与感知机算法不同，在支持向量机（Support Vector Machines，SVM）中，求解出的分隔超平面不仅能够正确的划分训练数据集，而且几何间隔最大。
1、间隔最大化
对于几何间隔最大的分隔超平面：
同时，对于每一个样本，需要满足：
考虑到几何间隔和函数间隔之间的关系，则上述的几何间隔最大的分隔超平面可以等价为：
在函数间隔中，函数间隔
的取值并不影响到最优问题的解，如上所述，当参数W和b同时扩大为原来的2倍。函数间隔也会同时扩大为原来的2倍，这对于上述的优化问题和约束条件并没有影响，因此，可以取
，显然，为了最大化间隔，仅需最大化
，这等价于最小化
则上述问题变为：
2、支持向量和间隔边界
对于上图中所示的线性可分的二分类问题，在m个训练样本中，与分隔超平面距离最近的样本称为支持向量（Support Vector）。支持向量对应的约束条件为;
当y（i）=+1时，支持向量所在的超平面为：
当y（i）=-1时，支持向量所在的超平面为：
对于支持向量所在的超平面H1和H2 ，如图所示：
在图中，超平面H1和超平面H2之间的距离成为间隔，超平面H1和超平面H2又称为间隔边界，在确定最终的分隔超平面时，只有支持向量在起作用，其他的样本点并没有起到作用，由于支持向量在确定分隔超平面中起着重要的作用，因此，在这种分类模型被称支持向量机。
3、线性支持向量机
在上图所示的数据集中，其条件极为苛刻，要求所有的样本点都是线性可分的，即存在分隔超平面，能够将所有的则正样本正确的区分开，但是 实际情况中数据集很难满足这个条件，对于一个数据集，其中存在部分特异点，但是将这些特异点去除后，剩下的大部分样本定组成的集合线性可分的。
对于线性不可分的某些样本点（X（i），y（i））意味着其不能满足函数间隔最大于或等于1的约束条件，为了解决这个问题，可以对每个样本点（X（i），y（i））引进一个松弛变量ζi>=0，使得函数间隔加上松弛变量大于或等于1，这样，约束条件变为：
同时，对每个松弛变量ζi，支付一个代价C，此时，目标函数变为：
此时的优化目标为：
4、支持向量机的训练
通过以上问题的分析，我们可以知道，在SVM中。对分隔超平面的求解转化为对如下带有约束的最小化问题的求解：
对于带约束的优化问题，可以使用拉格朗日乘数法，将其转化为无约束优化问题的求解。对于上述的带约束的优化问题，可以转化成如下拉格朗日函数：
其中，α=(α1,α2,.......,αm),β=(β1,β2,......βm),且αi≧0,βi≧0,向量α,β称为拉格朗日乘子向量.上述的最小优化问题即为:
根据拉格朗日对偶性,原始问题的对偶问题为:
先求
,在对拉格朗日函数L(W,b,ζ,α,β)中的W,b和ζ求偏导,并令其为0.
化简得:
将上述代入到
中,得到:
在对
求α的极大,即的对偶问题:
同时,将求解最大化问题,转化为求解最小化问题,则上述优化问题转化为:
当α*为上述对偶问题的最优解是，根据
可以求得原始问题的最优解：
对于b的最优解b*，选择α*的一个分量α*j，其中α*j满足：
b*为：
由线性支持向量机到非线性支持向量机
对于一个非线性可分的问题，可以采用核函数的方式将非线性问题转化为线性问题，这里使用高斯核函数：
对于非线性支持向量机，此时的优化目标为：
