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  • (最长链) bzoj 1143

    1143: [CTSC2008]祭祀river

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    Submit: 1285  Solved: 645
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    Description

    在遥远的东方,有一个神秘的民族,自称Y族。他们世代居住在水面上,奉龙王为神。每逢重大庆典, Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口,并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然,水系中不会有环流(下图描述一个环流的例子)。

     

    由于人数众多的原因,Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重,这些祭祀地点的选择必须非常慎重。准确地说,Y族人认为,如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点,那么祭祀就会失去它神圣的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上,选择尽可能多的祭祀的地点。

    Input

    第一行包含两个用空格隔开的整数N、M,分别表示岔口和河道的数目,岔口从1到N编号。接下来M行,每行包含两个用空格隔开的整数u、v,描述一条连接岔口u和岔口v的河道,水流方向为自u向v。

    Output

    第一行包含一个整数K,表示最多能选取的祭祀点的个数。

    Sample Input

    4 4
    1 2
    3 4
    3 2
    4 2

    Sample Output

    2

    【样例说明】
    在样例给出的水系中,不存在一种方法能够选择三个或者三个以上的祭祀点。包含两个祭祀点的测试点的方案有两种:
    选择岔口1与岔口3(如样例输出第二行),选择岔口1与岔口4。
    水流可以从任意岔口流至岔口2。如果在岔口2建立祭祀点,那么任意其他岔口都不能建立祭祀点
    但是在最优的一种祭祀点的选取方案中我们可以建立两个祭祀点,所以岔口2不能建立祭祀点。对于其他岔口
    至少存在一个最优方案选择该岔口为祭祀点,所以输出为1011。

    HINT

    对于每个测试点:如果你仅输出了正确的被选取的祭祀点个数,那么你将得到该测试点30%的分数;如果你仅输出了正确的被选取的祭祀点个数与一个可行的方案,那么你将得到该测试点60%的分数;如果你的输出完全正确,那么你将得到该测试点100%的分数


    【数据规模】 N ≤ 100 M ≤ 1 000

    Source

    在有向无环图中,有如下的一些定义和性质:

    链:一条链是一些点的集合,链上任意两个点x, y,满足要么 x 能到达 y ,要么 y 能到达 x 。

    反链:一条反链是一些点的集合,链上任意两个点x, y,满足 x 不能到达 y,且 y 也不能到达 x。

    那么很显然这道题就是求最长反链长度了。

    一个定理:最长反链长度 = 最小链覆盖(用最少的链覆盖所有顶点)

    对偶定理:最长链长度 = 最小反链覆盖                                                                  

    那么我们要求出的就是这个有向无环图的最小链覆盖了。最小链覆盖也就是路径可以相交的最小路径覆盖。

    直接 floyd求闭包,然后匈牙利算法AC....

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<cstdlib>
    #include<string>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    #include<stack>
    #include<set>
    using namespace std;
    int n,m,mp[101][101],mark[101],lnk[101];
    bool dfs(int x)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(mp[x][i]&&mark[i]==-1)
            {
                mark[i]=1;
                if(lnk[i]==-1||dfs(lnk[i]))
                {
                    lnk[i]=x;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    int main()
    {
        int x,y;
        memset(lnk,-1,sizeof(lnk));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            mp[x][y]=1;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    mp[i][j]|=mp[i][k]&mp[k][j];
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            memset(mark,-1,sizeof(mark));
            if(dfs(i))
                ans++;
        }
        printf("%d
    ",n-ans);
        return 0;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/water-full/p/4470409.html
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