zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 莫比乌斯反演小结

    注意!!!!

    这里不是学习笔记,只是一些有关知识的总结!!

    狄利克雷卷积(符号:$ast$)

    如果$mathbf t=mathbf f ast mathbf g$

    则:
    $$
    mathbf t(n)=sum_{d|n}mathbf f(d)g(frac{n}{d})
    $$
    狄利克雷卷积还有以下性质:

    交换律,结合律,分配率,等等....

    一个函数($mathbf f$)的逆($mathbf g$):即$mathbf f ast mathbf g= epsilon$ 单位元$epsilon(n)=[n1]$
    $$
    mathbf g(n)=frac{1}{mathbf f(1)}([n
    1]-sum_{d|n,d eq1}mathbf f(d)g(frac{n}{d}))
    $$

    积性函数

    如果$mathbf f(nm)=mathbf f(n) imes mathbf f(m) $ 则函数$mathbf f$为完全积性函数。

    如果再加上约束条件$nperp m$,则函数为积性函数。一个完全积性函数一定是积性函数

    积性函数的特殊性质:

    1. 两个积性函数的狄利克雷卷积一定是积性函数
    2. 任意一个积性函数$mathbf f(1)=1$恒成立
    3. 积性函数的逆一定是积性函数(可以在第二条性质的基础上证明)

    一些常见的积性函数有(定义$n=prod_{i=1}tp_i{k_i}$,即唯一分解定理)

    $sigma_0(n)=prod_{i=1}t(k_i+1)$,$varphi(n)=prod_{i=1}tp_i{k_i-1}(p_i-1)=nprod_{i=1}t(1-frac{1}{p_i})$

    莫比乌斯反演(摘自xgzc的博客)

    定义一个函数$mu$使得$mu∗1=ϵ$,即$mu$为$mathbf 1(n)=mathbf {id}^0(n)=1$的逆

    这样的话,如果$mathbf g∗mathbf 1=mathbf f$,则$mathbf f∗mu =mathbf g$

    即:如果$mathbf f(n)=∑_{d|n}mathbf g(d)$,则$mathbf g(n)=∑_{d|n}mu(d)mathbf f(frac nd)$

    好难啊

    其他:整除分块

    如果要你求一个东西:
    $$
    sum_{i=1}^n lfloorfrac ni floor
    $$
    你可能会说,这当然是$O(n)$求啊!!!

    那么$nleq 10^{14}$呢??

    你可能会说,我打了个表,发现在一段连续的区间内,函数值相同。但好像没有什么关系??

    不,根据前人的经验,每一个连续的区间,它的右界在$n/(n/i)$,所以,我们就可以在$O(sqrt n)$算了。

    比如说:

    for(int l = 1; l <= n; l = r + 1) {
        r = n / (n / l);
        ans += (r - l + 1) * (n / l);
    }
    
  • 相关阅读:
    x64 平台开发 Mapxtreme 编译错误
    hdu 4305 Lightning
    Ural 1627 Join(生成树计数)
    poj 2104 Kth Number(可持久化线段树)
    ural 1651 Shortest Subchain
    hdu 4351 Digital root
    hdu 3221 Bruteforce Algorithm
    poj 2892 Tunnel Warfare (Splay Tree instead of Segment Tree)
    hdu 4031 Attack(BIT)
    LightOJ 1277 Looking for a Subsequence
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/water-mi/p/10183054.html
Copyright © 2011-2022 走看看