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  • APIO2010 巡逻

    1.题目描述

    Luogu-P3629

    Bzoj-1912

    2.分析

    1.对于原图,我们可以知道,若要回到节点1,每一条边至少经过两次(来一次,去一次),所以此时$ans=(n-1)*2$

    2.不妨设$L_1$为第一条路径长,$L_2$为第二条路径长,当$k=1$时,从贪心的角度来考虑,肯定是要将距离最远的两个点连接在一起

    3.若要找出距离最远的两个点,这两个点肯定是树的任意一条直径中的两个端点

    4.当我们将这两个点连接时,显然会形成一个环,此时$ans=(n-1)*2-L_1+1$

    5.故当$k=2$时,连接两个点$(u,v)$之后,又会形成一个环

    6.此时存在两种情况:

      1°两个环没有重叠部分

      2°两个环有重叠部分

    7.对于情况1,树上$(u,v)$之间原有的路径只需经过一次,$ans$继续减小

    8.对于情况2,如果我们依然按照$k=1$的情况建立新的路径,则两个环重叠的部分就不会有巡逻车经过,不满足原题要求。

    9.所以我们不得不让巡逻车必须经过这些边。

    10.最终,我们使得这些重叠的边又经过了两次,此时$ans=(n-1)*2-L_1+1-L_2+1$

    11.综上所述,算法如下:

      1°从原来的树上求出直径$L_1$,然后把该直径上的边权取反(从1变为-1,这样我们会强制使它被经过)

      2°再次求一遍直径$L_2$

    3.代码

     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstring>
     3 typedef long long ll;
     4 
     5 const ll N = 1e5 + 10, minx = -1e9 + 7;
     6 ll n, k, cnt, L1, L2, dq, l, r, ans;
     7 ll from[N], fa[N], ro[N], f[N];
     8 struct Edge {
     9     ll to, dis, nxt;
    10 }e[N << 1];
    11 
    12 inline ll max(ll a, ll b){
    13     return a > b ? a : b;
    14 }
    15 
    16 void addEdge (ll u, ll v) {
    17     e[++cnt] = (Edge){v, 1, from[u]};
    18     from[u] = cnt;
    19 }
    20 
    21 void dfs (ll s, ll &v, ll len,ll f) {
    22     if (len > dq) dq = len, v = s;
    23     fa[s] = f;
    24     for (register ll i = from[s]; i; i = e[i].nxt) {
    25         ll to = e[i].to;
    26         if (to == f) continue;
    27         ro[to] = i;
    28         dfs (to, v, len + e[i].dis, s);
    29     }
    30 }
    31 
    32 void dp (ll u,ll fa) {
    33     for (register ll i = from[u]; i; i = e[i].nxt) {
    34         ll v = e[i].to;
    35         if (v == fa) continue;
    36         dp (v,u);
    37         dq = max (dq, f[u] + f[v] + e[i].dis);
    38         f[u] = max (f[u], f[v] + e[i].dis);
    39     }
    40 }
    41 
    42 int main () {
    43     scanf ("%lld%lld", &n, &k);
    44     ans = (n - 1) << 1;
    45     for (register ll i = 1, u, v; i < n; ++i) {
    46         scanf ("%lld%lld", &u, &v);
    47         addEdge (u, v);
    48         addEdge (v, u);
    49     }
    50     dq = minx; dfs (1, l, 0, 0);
    51     dq = minx; dfs (l, r, 0, 0);
    52     ans -= (dq - 1);
    53     if (k == 2) {
    54         ll t = r;
    55         while (fa[t]) {
    56             e[ro[t]].dis = e[ro[t] + 1].dis = -1;
    57             t = fa[t];
    58         }
    59         dq = minx; dp (1, -1);
    60         ans -= (dq - 1);
    61     }
    62     printf ("%lld", ans);
    63     return 0;
    64 }
    Code

    4.总结

    这道题很好的运用了两种求树的直径方法:

      1°对于DFS/BFS,由于这种方法可以求出直径上具体有哪些点,所以适用于k=1

      2°对于DP,由于这种方法可以处理当树上存在非正权值边的情况,使用与k=2

    总之,这是一道很好的树的直径的练手题

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/water-mi/p/9365911.html
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