题面
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Special judge Yes
OS Windows
中文题意
把(n)块石头分成(k)堆，要求每堆石头的重量之和相等。输出是否可以实现要求。如果可以实现，还要输出每堆石头里每一块石头的重量
比赛惨状
赛场上看见的第一反应——dp？不会。然后就先扔给有点思路队友，写另一道主席树（这题）去了。主席树写到一半，想起来题目里有个条件，k是n的因子，然后想到(frac{n}{k})是整数，然后想到幻方，于是和刚这题的队友说了一下可以往幻方的方向思考一下，然后队友表示没有听说过幻方，于是我接着TLE我的主席树，直到结束也没A，两个队友刚的另外两题也没刚出来，包括这题。最后两题惨淡收场。
比赛结束后补题，补分解质因数这题的队友发现，有个循环变量(i)有个地方忘记加一了……我听着其他队说主席树那题的解法，直骂自己蠢，被最多(169)的(k)骗了。
我的走不通的思路
我们先令(m=frac{n}{k})。这里有一个结论（貌似这题的解法可以当做这个结论的构造性的证明？）——对于这个分石头的问题，如果石头总重量能被k整除，即每一堆石头重量都是整数，(k|frac{(1+n) imes n}{2})，那么一定存在一个解，使得这(k)堆石头，每堆石头都是(m)块。
应用这个结论，题意就变成了，让我们把(1)~(n)总共(n)个数字填入(k)行(m)列的矩阵中，使得矩阵每一行之和相等。
设每一堆石头重量(w=frac{(1+n) imes n}{2k}=frac{(1+n) imes m}{2})。
(m)是偶数的情况
此时(n)是偶数，那么(1)~(n)可以两两配对成(frac{n}{2})对重量为(n+1)的石头对。那么我们就可以把这些石头对两个两个地放进矩阵，填完一行填下一行，填满(k)行就完事了。为了更方便地用代码实现，我们可以蛇形填数字，像下面这样——
| 1 | 8 | 9 | 16 |
| 2 | 7 | 10 | 15 |
| 3 | 6 | 11 | 14 |
| 4 | 5 | 12 | 13 |
(m)是奇数的情况
k是偶数
由于(k imes m=n)，则(n)是偶数，((n+1))是奇数，(w=frac{(1+n) imes m}{2})，由于(m)也是奇数，所以每堆石头重量不是整数，无解。
k是奇数
则(w=frac{(1+n) imes m}{2})是整数（(n+1)是偶数），由上文的结论可知，这是有解的。
幻方的思路(想复杂了还走不通)
-
如果(mgeqslant k)，就是矩阵在横着的方向更长的情况，那么可以把前(k imes k)个数字按照奇数阶幻方的方式填入矩阵左边(k imes k)的部分。剩下((n-k imes k))个石头数量是偶数，要填入矩阵右边(k)行(m-k)列，而(m-k)是偶数（奇数减奇数等于偶数），于是问题转化为(m)是偶数的情况，蛇形填就好。
-
如果(mleqslant k)，就是矩阵竖着的方向更长的情况，先说我xjb搞出来的结论——使用幻方无解。下面的推导感觉价值不大
先摸索一番，如果是像上一种情况，把前(m imes m)个数字填进矩阵上方部分，那么剩下的数字都大于上方用过的(m^2)个，产生的石头堆超重了。于是想着调整一下，求出幻方以后，将幻方内的数字全部增加一个固定的数，使得幻方内数字的值域正好在([1,n])的正中间，那么填完幻方剩下的数字就可以两两配对了。这就差不多转化成了(m)是奇数、(k)是偶数的情况。下面的推导十分不严谨，漏洞百出……先留坑，以后完善一下吧。
但和(m)是奇数、(k)是偶数的情况有点区别，这里的总和不是(frac{(1+n) imes n}{2})，有(frac{n-m^2}{2})个数字增大了((m^2+frac{n-m^2}{2}))，所以剩下的数字总和变成了$$frac{(1+n) imes n}{2}+frac{n-m^2}{2} imes (m2+frac{n-m2}{2})$$
[=frac{(1+n) imes n}{2}+frac{n-m^2}{2} imes frac{n+m^2}{2} ][=frac{2n+3n^2-m^2}{4} ]现在我们的目的是，把这(n-m^2)个数字分成(k-m)行，每行数字之和相等。那么每行的数字之和应该是
[w=frac{2n+3n^2-m^2}{4(k-m)} ]将(k=frac{n}{m})代入，整理
不想整理了可得[w=frac{2nm+3n^2m-m^3}{4n-4m^2} ]如果能实现要求，那么(w)还应该满足最基本的条件(w=frac{(1+n) imes m}{2})。于是把这两个联立起来试试（开始xjb搞，各种不严谨）
[frac{2nm+3n^2m-m^3}{4n-4m^2}=frac{(1+n) imes m}{2} ]整理得
[2nm+3n^2m-m^3==2nm-2m^3+2n^2m-2nm^3 ][n^2==-m^2-2nm^2 ]因为(n)和(m)都是正数，所以上式不成立。所以这种情况使用幻方无解。
题解的思路
先把(m=1)的情况特判了。
对于(m)是偶数的情况，可以用我上面那个蛇形填的办法。
对于(m)是奇数的情况，题解的做法有点玄学，还没仔细证明过——
- 首先把矩阵的最左边三列用([1,3k])这些数填满
- 然后留下的右边部分就转化成了(m)是偶数的情况，蛇形填。
看不懂题解，最大的问题在于，左边这三列怎么填……题解也不说，咱也没机会问。
查了其他很多人的博客，他们都把这步一笔带过了……于是把代码复制下来，手动输入数据，看输出找规律。规律是挺明显的——
5行的情况
| 1 | 8 | 15 |
| 2 | 10 | 12 |
| 3 | 7 | 14 |
| 4 | 9 | 11 |
| 5 | 6 | 13 |
7行的情况
| 1 | 11 | 21 |
| 2 | 14 | 17 |
| 3 | 10 | 20 |
| 4 | 13 | 16 |
| 5 | 9 | 19 |
| 6 | 12 | 15 |
| 7 | 8 | 18 |
第一列顺着写下来，第二列和第三列从下到上，步长为2。还没想过为啥这是对的……先留坑
另一些思路
来自集训队队长的博客
源代码
这个是题解的思路
#include<queue>
#include<cstdio>
int T;
long long n, k;
std::queue<int> ma[100010];
int main()
{
// freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld", &n, &k);
long long sum=(1+n)*n>>1;
if(k!=1&&k==n||sum%k)
{
puts("no");
continue;
}
puts("yes");
for(int i=1;i<=k;i++)
while(!ma[i].empty()) ma[i].pop();
long long m=n/k;
if(m&1)//m为奇数
{
for(int i=1;i<=k;i++) ma[i].push(i);
int id=k+1,row=k;
for(;id<=3*k&&id<=n;id++,row-=2)//前3列
{
while(row<1) row+=k;
ma[row].push(id);
if(id%k==0) row--;
}
int delta=1;
for(row=1;id<=n;id++)//后面的蛇形填
{
if(row<1)
{
row=1;delta=1;
}
else if(row>k)
{
row=k;
delta=-1;
}
ma[row].push(id);
row+=delta;
}
}
else//整个蛇形填
{
int delta=1,row=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(row<1)
{
row=1;
delta=1;
}
else if(row>k)
{
row=k;
delta=-1;
}
ma[row].push(i);
row+=delta;
}
}
for(int i=1;i<=k;i++)
{
while(!ma[i].empty())
{
printf("%d ",ma[i].front());//还好不卡行末空格
ma[i].pop();
}
puts("");
}
}
return 0;
}