递归 | 二分查找

主要内容:

• 1.递归
• 2.列表查找  - 二分查找

1. 递归

1.1 递归的特点

• 调用自身
• 结束条件

判断下列函数是否是递归

def func(x):
    print(x)
    func(x-1)

#没有结束条件  --> 递归出口
def func(x):
    if x > 0:
        print (x)
        func(x +1)

# 递归调用之前对x进行 打印
def func(x):
    if x > 0:
        print(x)
        func(x-1)
func(3)

# 输出结果 3,2,1

#递归调用之后进行调用
def func(x):
    if x > 0:
        func(x-1)
        print(x)
func(3)

# 输出结果 1,2,3 

1.2 递归实例  --  斐波那契问题

斐波那契数列:

　　斐波那契数列数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。 例子:数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ..........

求解斐波那契第 n 项

• 使用递归  时间复杂度 O(2^n)

  #使用递归,但是注意此时最后的return 语句不是尾递归
  def func(n):
      if n==1 or n==2:
          return 1
      else:
          return func(n-1) + func(n-2)

  使用递归慢的原因: 由于需要多次的重复计算,导致很慢

• 使用递归的改进方法 : 通过记录值解决重复计算的问题,但是时间复杂度没有改变

  def func(n):
      #创建一个列表,此时列表中的元素 未被赋值前是-1 ,当赋值后变为正数
      lst = [-1 for i in range(n+1)]
      def fib(n):
          if  n == 0 or n == 1:
              return 1
          elif lst[n] >= 0:
              return lst[n]
          else:
              v = fib(n-1) + fib(n-2)
              #只是记录一下,下次再用的时候直接扔出去
              lst[n] = v
              return lst[n]
      return fib(n)

• 使用列表,将后一项添加到列表中,return 列表最后一项 时间复杂度O(n)

  def func(n):
      res = [1,1]
      for i in range(2,n+1):
          res.append(res[-1] + res[-2])
          return res[-1]

  上述方式的缺点: 虽然时间复杂度为O(n) ,但是创造了列表 ,空间复杂度增加

• 使用3变量的方式 ,时间复杂度为 O(n) ,但是省空间

  def func(n):
      if n == 0 or n == 1:
          return 1
      a = 1 
      b = 1
      c = 0  #c可以是任何值
      
      for i in range(2,n+1):
          c = a + b
          a = b
          b = c     
      return c 

  更优化版:

  def func(n):
      a = 1
      b = 1
      c = 1  
      for i in range(2,n+1):
          c = a + b
          a = b
          b = c
      return c

1.3 递归实例2  -  汉诺塔问题

问题描述:

• 假设有三个命名为 A B C 的塔座 ，在塔座A上插有n个直径大小不相同，由小到大编号为1 ，2 ，3 ，··· ，n的圆盘，要求将A座上的圆盘移至塔座C
• 并按同样的顺序叠排

圆盘移动规则：

• 每次只能移动一个圆盘
• 圆盘可以插在任意一个塔座上
• 任何时刻都不能将一个较大的圆盘放在一个较小的圆盘上

问题简化 :

• 将 n - 1  个圆盘 看成一个整体,将其从A经过C移动到B
• 将第 n个盘子从A移动到C
• 将开始的n - 1 个盘子从B 经过A移动到C

代码书写

• 汉诺塔移动次数的递推式 h(x) = 2h(x-1) +1

  def hanoi(n,A,B,C):
      '''
      :param n: 需要从A移到C 的盘子总数
      :param A: 移动盘子的起始柱子
      :param B: 移动过程中经过的柱子
      :param C: 移动结束的柱子
      '''
      if n > 0 :
          hanoi(n-1,A,C,B)            #将起始A柱子上的n-1个盘子通过C移动到B
          print("%s -> %s" %(A,C))    #将底层的盘子从A放到C
          hanoi(n-1,B,A,C)            #将B上的n-1 个盘子经由A移动到C

1.4 题目练习

问题描述:

• 一段有n个台阶组成的楼梯，小明从楼梯的最底层向最高处前进，
• 他可以选择一次迈一级台阶或者一次迈两级台阶。问：他有多少种不同的走法？

2. 列表查找  - 二分查找

列表查找 :从列表中查找指定元素

• 输入: 列表,带查找元素
• 输出: 元素下标或未查找到的元素

顺序查找:从列表的第一个元素开始,顺序进行搜索,直到找到为止

# 顺序查找代码,时间复杂度为O(n)
def linear_search(data,value):
    '''
    :param data: 查找的目标列表
    :param value:目标查找元素
    :return:
    '''
    for i in range(data):
        if data[i] == value:
            return i
    return

二分查找: 从有序列表的候选区data[0:n]开始,通过对待查找的值与候选区中间值的比较,可以使候选区减少一半

def binary_search(lst,val):
    left = 0
    right = len(lst) -1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if val == lst[mid]:
            return mid
        elif val < lst[mid]:
            right = mid -1
        else:
            left = mid +1
    return

递归版本的二分查找

def bin_search(lst,val,left,right):
    if left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if lst[mid] == val:
            return mid
        elif lst[mid] > val:
            return bin_search(lst,val,left,mid-1)
        else:
            return bin_search(lst,val,mid+1,right)
    else:
        return

# 上述return属于尾递归 ： 编译器会优化成迭代 但是Python没有针对尾递归进行优化