nyist 42 一笔画 （欧拉回路 + 并查集）

nyoj42

分析：

若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。

若该路径是一个圈，则称为欧拉(Euler)回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

先说一下欧拉路径、欧拉回路的充要条件：

1.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；

2.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；

3.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度=出度

4.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）

5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环。

而我们这道题一笔画， 正是要经过图中的每条边一次。 也就是说我们判断一下所个图是否存在欧拉路径就可以啦。

首先求图是否连通（判断连通我们用并查集就好啦， 简单、易懂），

再判断图是否存在欧拉路径（所有点度数为偶数或者只有两个点度数为奇数，其它均为偶数）。

还有注意输出的是 Yes / No

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;

int t, n, m, sum, pre[1010], du[1010], v[1010][1010];
int find(int x)
{
    int i, j, r;
    i = x; r = x;
    while(r != pre[r])
        r = pre[r];
    while(pre[i] != r)
    {
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
    }
    return pre[x];
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(v, 0, sizeof(v));
        memset(du, 0, sizeof(du));
        for(int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = i;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            int fx = find(x);
            int fy = find(y);
            if(fx != fy)
                pre[fx] = fy;
            if(v[x][y] == 0)
            {
                v[x][y] = 1;
                v[y][x] = 1;
                du[x]++;//记录度数
                du[y]++;
            }
        }
        int ans = find(1);
        int flag = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)// 判断是否是连通图
        {
            int fx = find(i);
            if(fx != ans)  
            {
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        sum = 0;
        if(flag == 1)
        {
            for(int i = 1; i <= n; i++)// 若是连通图， 再判断节点度数为奇数共有几个
            {
                if(du[i] % 2 == 1)
                    sum++;
            }
            if(sum == 0 || sum == 2)
                printf("Yes
");
            else
                printf("No
");
        }
        else
            printf("No
");
    }
    return 0;
}