动态规划之石子归并

题目：有n堆石子排成一列，每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子，一次合并的代价为两堆石子的重量

       和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序，能够使得总合并代价达到最小。

输入：

第一行一个整数n（n<=100）

第二行n个整数w1,w2...wn  (wi <= 100)

输出：一个整数表示最小合并代价

  这是一个比较经典的动态规划问题，对于给定的石子，当合并完后，只会剩余一堆石子，而这一堆石子是由两堆石子合并而来的。

 通过倒推可以知道，第i~j堆已合并石子可以由i~k堆已合并石子与k~j堆已合并石子合并而来（i<=k<=j)。即dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j]

+sum[i][j];(sum[i][j]为这堆石子的合并代价）

于是可以有

for(j=1;j<=n;j++)
    {
        for(i=j-1;i>0;i--)
        {
            dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[i][j];

            for(k=i+1;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);
            }
        }
    }

其中dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);是找出第i~j堆石子合并的的最小带价。下面是全代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int min(int a,int b)//找出a,b的最小值。
{
    if(a>b) return b;
    else return a;
}
int main()
{
    int sum[101][101],dp[101][101],w[101];
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,i,j,k;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)//读入每个石子堆对应的代价。
    {
        cin>>w[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)//计算从i到j的石子堆的总代价，用sum[i][j]表示。
    {
        sum[i][i]=w[i];
        for(j=i+1;j<=n;j++)
        {
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+w[j];
        }
    }
    for(j=1;j<=n;j++)//通过动态规划找出最优的代价。
    {
        for(i=j-1;i>0;i--)
        {
            dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[i][j];

            for(k=i+1;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);//dp[i][k]，dp[k+1][j]表示合成这堆石子
                                                                    //的前两堆石子的合并的最小代价。
            }
        }
    }
    cout<<dp[1][n]<<endl;
    return 0;
}

实例：

输入：4

        4 1 1 4

输出：18

程序分析：sum[1][1]=4,sum[1][2]=5,sum[1][3]=6,sum[1][4]=10,

              sum[2][2]=1,sum[2][3]=2,sum[2][4]=6,...

              dp[1][2]=5,dp[2][3]=2,dp[1][3]=8.

            dp[1][2]+dp[2][3]+sum[1][3]=13

          dp[1][3]=min(dp[1][3],dp[1][2]+dp[2][3]+sum[1][3])=8;

          ...

最后可得结果为 18，